高中数学-并集和交集

第一章
集合与函数概念
1.1.3 集合的基本运算
第一课时 并集和交集
第一章 集合与函数概念
自主预习
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第一章 集合与函数概念
已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少
是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断
定义
自然 语言
符号 语言
并集
交集
一般地，由所有属于集合 A_或____ 一般地，由属于集合 A__且___属于集
集合 B 的元素组成的集合，称为集 合 B 的所有元素组成的集合，称为 合 A 与 B 的并集，记作_A_∪__B__ 集合 A 与 B 的交集，记作_A_∩_B___
A∪B＝{x|__x_∈__A_，或 x∈B}
(2)结合数轴，
分析可得 A∪B＝{x|－1≤x≤3}．
(3)方法一：利用并集的性质及子集的含义求解．
∵A∪B＝A，∴B⊆A，又 A＝{1,3， m}，B＝{1，m}，
数
∴m＝3 或 m＝ m.
学
必 修
由 m＝ m得 m＝0 或 m＝1.
①
· 人
但 m＝1 不符合集合中元素的互异性，故舍去，故 m＝0 或 m＝3，故选 B．
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第一章 集合与函数概念
2．(2016·全国卷Ⅰ文，1)设集合 A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则 A∩B＝
( B) A．{1,3}
B．{3,5}
C．{5,7}
D．{1,7}
[解析] 集合A与集合B公共元素有3,5，故A∩B＝{3,5}，选B．
[思路分析] (1)先求出集合 N 中的元素再求 M、N 的交集．(2)借助数轴求 A∩B.(3)集合 A 和 B 的元素是有序实数对(x，y)，A、B 的交集即为方程组43xx＋ ＋y2＝y＝67 的解集．
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第一章 集合与函数概念
[解析] (1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}故选 B． (2)将集合 A、B 表示在数轴上，由数轴可得 A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故选 D．
吗？
事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给
出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须
数 学
知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．应用本小节集合运算的知识，我们就
必
修 ①
能清晰地描述并解决上述问题了．
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人
教
A
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第一章 集合与函数概念
1．并集和交集的定义
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学 必
{1,2,3,4,6}，故选C．
修
①
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第一章 集合与函数概念
4．已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合 A∪B 中元素的个数为__5__. [解析] A∪B＝{1,2,3,4,5}，故填5.
5．已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则 m＝__3__.
数
学 必
法求解，但要注意端点的值能否取到．
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①
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教
A
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第一章 集合与函数概念
〔跟踪练习 1〕
(1)已知集合 A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则 A∪B＝__{_0_,_1_,2_,_3_,4_,_5_}__．
(2)若集合 A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，则 A∪B＝___{_x|_－__1_≤_x_≤_3_}____．
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第一章 集合与函数概念
3．设集合 A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是 ( C )
A．{2,4,6}
B．{1,3,6}
C．{1,2,3,4,6}
D．{6}
[解析] 图中阴影表示A∪B，又因为A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝
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第一章 集合与函数概念
2．并集和交集的性质
简单 性质
常用 结论
并集
A∪A＝__A__； A∪∅＝_A___
A∪B＝B∪A； A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)；
A∪B＝B⇔A⊆B
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交集 A∩A＝__A__；
A∩∅＝_∅___ A∩B＝B∩A；
(2)关注点：当集合 A⊆B 时，若集合 A 不确定，运算时要考虑 A＝∅的情况，
否则易漏解．
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第一章 集合与函数概念
〔跟踪练习 3〕 已知集合 M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}． (1)当 m＝2 时，求 M∩N，M∪N； (2)当 M∩N＝M 时，求实数 m 的值．
教
A
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第一章 集合与函数概念
方法二：利用排除法求解． ∵B＝{1，m}，∴m≠1，∴可排除选项 C、D． 又当 m＝3 时，A＝{1,3， 3}，B＝{1,3}， ∴A∪B＝{1,3， 3}＝A，故 m＝3 适合题意，故选 B．
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第一章 集合与函数概念
A∩B＝{x|x∈A，且__x_∈__B__}
数
学
必 修
图形
① ·
语言
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教
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第一章 集合与函数概念
[知识点拨] (1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是 集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只 能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元 素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不 同点是：生成新集合的法则不同．
(3)已知集合 A＝{1,3， m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则 m＝( B )
A．0 或 3
B．0 或 3
C．1 或 3
D．1 或 3
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第一章 集合与函数概念
[解析] (1)A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．
数 学
(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝x，y43xx＋＋y2＝y＝67
必
修 ①
{(1,2)}．
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教
A
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＝
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第一章 集合与函数概念
『规律方法』 求集合A∩B的方法与步骤 (1)步骤 ①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式； ③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求 交集为∅)．
命题方向2 ⇨交集的概念及其运算
(1)设集合 M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}则 M∩N＝( B )
A．{－1,0,1} B．{0,1}
C．{1}
D．{0}
(2)若集合 A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1 或 x>4}，则集合 A∩B 等于( D )
A．{x|x≤3 或 x>4}
(A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B； A∩B＝B⇔B⊆A
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第一章 集合与函数概念
1．(2017·全国卷Ⅱ文，1)设集合 A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则 A∪B＝ ( A )
A．{1,2,3,4}
B．{1,2,3}
C．{2,3,4}
D．{1,3,4}
[解析] A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，故选A．
∴q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，∴p＋q＋r＝－14.
(2)∵A∩B＝B，∴B⊆A.∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或 B≠∅.
当 B＝∅时，方程 ax＋1＝0 无解，此时 a＝0，满足 B⊆A.
数
当 B≠∅时，此时 a≠0，则 B＝－1a，
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∴－1a∈A，即－1a＝－2，得 a＝12.综上，得 a＝0 得 a＝12.
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修
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第一章 集合与函数概念
命题方向3 ⇨集合交集、并集运算的性质及应用
(1)(2016～2017·临沂高一检测)已知集合 A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝ {x|x2＋qx＋r＝0}，且 A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则 p＋q＋r＝__－__1_4__.
__a_＝_(_20_)_设或__12集__合___A_＝_. {－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若 A∩B＝B，则 a 的值为
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第一章 集合与函数概念
『规律方法』 并集运算应注意的问题
(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，
还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．
(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元
素只能算一个．
(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析
[解析] 因为 A∩B＝{2,3}，所以 3∈B.所以 m＝3.
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第一章 集合与函数概念
互动探究
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第一章 集合与函数概念
命题方向1 ⇨并集的概念及运算
(1)设集合 A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求 A∪B； (2)设集合 A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|2<x≤6}，求 A∪B.
D．∅
(2)已知集合 A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜5}，则 A∩B＝( C )
A．{2}
B．{x|1＜x＜3} C．{x|2＜x＜3} D．{x|3＜x＜5}
(3)已知 A＝{x|x 是等腰三角形 }，B＝{x|x 是直角三角形 }，则 A∩B＝
数
学 必
___{_x_|x_是__等__腰__直__角__三__角__形__}______．
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第一章 集合与函数概念
(2)方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两
集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程
组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解但要注意，利用数轴表示不等
式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用虚点表示．
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第一章 集合与函数概念
〔跟踪练习 2〕
(1)(2015·广东卷理科，1 题)若集合 M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－
1)＝0}，则 M∩N＝( D )
A．{1,4}
B．{－1，－4} C．{0}
B．{x|－1<x≤3}
C．{x|3≤x<4}
D．{x|－2≤x<－1}
数
(3) 已 知 A ＝ {(x ， y)|4x ＋ y ＝ 6} ， B ＝ {(x ， y)|3x ＋ 2y ＝ 7} ， 则 A∩B ＝
学 必 修
____{_(1_,_2_)_}_____.
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第一章 集合与函数概念
[思路分析] (1)－2是不是方程x2－px－2＝0的根？怎样确定集合B?
数 学
(2)条件中的A∩B＝B应如何转化？
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第一章 集合与函数概念
[解析 代入 x2－px－2＝0，得 p＝－1，∴A＝{1，－2}，
∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2,5}，
[思路分析] 第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．
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第一章 集合与函数概念
[解析] (1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}． (2)画出数轴如图所示：
∴A∪B＝{x|－3<x≤5}∪{x|2<x≤6}＝{x|－3<x≤6}．
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第一章 集合与函数概念
『规律方法』 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到 A∪B＝B，A∩B＝A
等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集
合间的关系求解，如 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B.
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第一章 集合与函数概念
[解析] (1)M＝{－4，－1}，N＝{4,1}，M∩N＝∅，故选 D． (2)在数轴上表示集合 A、B，如下图所示，则 A∩B＝{x|2＜x＜3}，故选 C．
(3)既是等腰又是直角的三角形为等腰直角三角形．所以 A∩B＝{x|x 是等腰直
数 学
角三角形}．