自动控制原理7.47.5离散系统数学模型,稳定性分析

r * (t )
R( z )
G(s)
c* (t )
C ( z)
n
c(nT ) z G ( z ) C ( z ) / R( z ) n r (nT ) z
所谓零初始条件，是指在 t<0 时，输入脉冲序列各采样值 以及输出脉冲序列各采样值 c(T ), c(2T ),... 均为零。
（2）数字控制系统的典型结构
E(s)
C( z) Gc ( z)G( z) E( z) E ( z ) R( z ) B( z )
B( z ) Gc ( z )GH ( z ) E ( z )
GH ( z ) Z L1 G (s ) H ( s )
Gc ( z )G( z ) C( z) ( z ) R( z ) 1 Gc ( z )GH ( z )
栗忍
7.4.4、开环系统脉冲传递函数
1 eTs s G( s) 1 1 G( z ) Z [ G( s)] Z [(1 eTs s ) ] Z [ G( s)] Z [ G( s) e Ts s ] s s s s Z [G2 ( s)] Z [G2 ( s) e Ts s ]
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7.4.4、开环系统脉冲传递函数
（2）典型情况之二：串联环节之间无采样开关
G( z) Z{L1[G1 (s) G2 (s)]} G1G2 ( z)
例：G1 ( s )
1 s
G2 ( s )
10 s 10
① ： G( z) G ( z) G
1
2
( z)
②
:
G( z) G1G2 ( z)
G( z ) z 1 10 z 10 z 0.950 z z 1 z 0.905 z 0.905
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7.4.5、闭环系统脉冲传递函数
1 eTs s 1 1 2 2.041 0.041 G( s) H ( s) (1 eTs s ) s s 0.1 s 5 s s 0.1 s 5
当s平面上的点沿虚轴ω从-∞移到∞时，z平面上的点已 经沿着单位圆转过了无穷多圈。 s z eT , z T
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7.4.4、开环系统脉冲传递函数
例：采样控制系统如图所示，试求其脉冲传递函数。
解：
1 1 10 10 0.1 1 0.1 G( s) 2 2 s s s( s 10) s ( s 10) s s 10 s
Ts z 1 0.1 1 0.1 0.1z 0.1z Z [ G( s)] Z [ 2 ][ ] 10Ts 2 s s s s 10 z 1 ( z 1) z e
②
1 10 1 1 G1 ( s) G2 ( s) s s 10 s s 10
1
1 1 1 G ( z ) Z L [G1 ( s) G2 ( s)] Z L [ ] s s 10 z z (1 e10Ts ) z 2 10Ts z 1 z e z (1 e10Ts ) z e10Ts
mn
解法： （1）迭代法：从初值出发，按照差分方程一步步递推出输出 序列。 （2）z变换法：对差分方程两端取z变换，并利用z变换的实 数位移定理，得到z为变量的代数方程，然后对代数方程的解 C(z)取z反变换，求得输出序列c(k)。
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2、脉冲传递函数
G( z ) c (t )
r (t )
B ( z ) E ( z ) GH ( z )
H(s)
GH ( z ) Z L1 G ( s ) H ( s )
e ( z) E ( z) 1 R ( z ) 1 GH ( z )
C ( z) G( z) ( z ) R ( z ) 1 GH ( z )
∴
G1 ( z) G2 ( z) G1G2 ( z)
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7.4.4、开环系统脉冲传递函数
2.带有零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数
零阶保持器
连续环节
1 eTs s G( s) 1 1 G( z ) Z [ G( s)] Z [(1 eTs s ) ] Z [ G( s)] Z [ G( s) e Ts s ] s s s s Z [G2 ( s)] Z [G2 ( s) e Ts s ]
脉冲传 递函数
Tz 1 z 1 0.1z 0.1z G( z ) (1 z 1 ) Z [ G( s)] [ s 2 ] 10Ts s z z 1 ( z 1) z e (Ts 0.1 0.1e10Ts ) z (0.1 Ts e10Ts 0.1e10Ts ) ( z 1)( z e10Ts )
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7.4.5、闭环系统脉冲传递函数
例、已知离散控制系统结构如上图所示，前向传递函数 G ( s ) 反馈传递函数 解：G ( s )
1 s 0.1
H (s) 5 s5
，Ts 1s 试计算系统的闭环脉冲传递函数。
1 s 0.1
，
z z z z e 0.1Ts z e 0.1 z 0.905 1 5 1.02 1.02 G ( s) H ( s) s 0.1 s 5 s 0.1 s 5 r (t ) e(t ) e* (t ) 1.02 z 1.02 z 1.02 z 1.02 z GH ( z ) b (t ) z e0.1Ts z e 5Ts z e 0.1 z e 5 0.916 z ( z 0.905)( z 0.007) G( z)
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7.4.5、闭环系统脉冲传递函数
闭环系统的特征方程： D( z ) 1 GH( z) 0
开环脉冲传递函数：
GH( z )
应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从 对应的连续系统传递函数的z变换直接得到。
( z ) Z [(s)] e ( z ) Z [ e ( s)]
第七章
• 线性离散系统的分析与校正
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1、差分方程
c(k ) a1c(k 1) anc(k n) b0r(k ) b1r(k ) bmr(k m)
c(k ) ai c(k i) b j r (k j )
i 1 j 0 n m
上式第二项可以写为
Z[G2 (s) eTs s ] Z[ g2 (t Ts )] z 1 Z[G2 ( s)]
采样后带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为
1 G ( z ) Z [G2 ( s )] z 1 Z [G2 ( s )] (1 z 1 ) Z [ G ( s)] s
c (t )
G(s) H(s)
( z )
G( z) z ( z 0.905) 1 GH ( z ) 1 0.916 z ( z 0.905)( z 0.007) z ( z 0.007) z 2 0.004 z 0.006
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7.4.5、闭环系统脉冲传递函数
脉冲传递函数：定义，求法(定义、G(s) G(z))
开环系统脉冲传递函数：有串联环节、有零阶保持器
闭环系统脉冲传递函数
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7.5、离散系统的稳定性与稳态误差
1. 2. 3. 4.
s域到z域的映射 离散系统稳定的充要条件 离散系统的稳定性判据 离散系统的稳态误差
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7.5.1、s域到z域的映射
离散系统的稳定性的分析方法：将线性连续系统在 s平面上分析
r (T ), r (2T ),...
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课前复习
例：已知差分方程如下，试用迭代法求出 c(k),k=0,1,2,3,4; 求出该离散系统脉冲传递函数。
c(k ) r (k ) 2c(k 1)
其中，r(k)=1, c(0)=0, c(1)=1。
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7.4 离散系统的数学模型
1. 2. 3. 4. 5.
通过与上面类似的方法可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉冲
传递函数。见课本P319。但只要误差信号e(t)处没有采样开关，则输入采样信号
r*(t)就不存在，此时不能写出闭环系统对于输入量的脉冲传递函数，而只能求出 输出采样信号的Z变换函数C(z)。
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小结
离散系统的数学定义
线性常系数差分方程及其解法：迭代法、z变换法
1 解： ① G1 ( s ) s 10 G2 ( s ) s 10
z G1 ( z ) z 1
G2 ( z ) z z e 10Ts
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7.4.4、开环系统脉冲传递函数
∴
z z z2 G( z) G1 ( z)] G2 ( z) 2 10Ts z 1 z e z (1 e10Ts ) z e10Ts
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7.4.5、闭环系统脉冲传递函数
由于系统采样开关配置的多样性，故系统无唯一结构形式。 （1）闭环离散系统的典型结构
e(t ) r (t ) b(t )
r (t ) b (t )
e(t ) e* (t )
G(s)
cБайду номын сангаас(t )
E ( z ) R( z ) B( z )
C ( z ) E ( z ) G( z )
C( z) X ( z) G2 ( z) R( z)G1 ( z) G2 ( z)
结论：被理想采样开关隔开的n个线性环节串联时，其脉 冲传递函数为每个环节所对应的脉冲传递函数之积
G( z) Z[G1 (s)]Z[G2 (s)] Z[Gn (s)] G1 ( z)G2 ( z) Gn ( z)
离散系统的数学定义 线性常系数差分方程及其解法 脉冲传递函数 开环系统脉冲传递函数 闭环系统脉冲传递函数
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7.4.4、开环系统脉冲传递函数
1、有串联环节时的开环系统脉冲传递函数
（1）典型情况之一：串联环节之间有采样开关
G( z ) C( z) Z [G1 ( s)] Z [G2 ( s)] G1 ( z ) G2 ( z ) R( z )
GH ( z )
z 1 2z 2.041z 0.041z z z 1 z 0.905 z 0.007
Gc ( z )G( z) 0.950bz( z 0.007) ( z ) 1 Gc ( z )GH ( z ) ( z 1)( z 0.905)( z 0.007) bz (0.153z 0.035)
稳定性的结果 回忆z变换的定义：
离散线性系统在 z平面上的稳定性。
一、s 域到 z 域的映射关系
nTs e ( nT ) e
E *(s )
n 0
令z=eTs
s 域和 z 域的关系
E(z)
n 0
n e ( nT ) z

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7.5.1、s域到z域的映射
s 域和 z 域的关系 z=eTs
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7.4.5、闭环系统脉冲传递函数
例已知离散控制系统结构如图所示，试计算系统的闭环脉冲传递函数。
Ts 1s
解：
Gc ( s )
b s
Gc ( z )
bz z 1
1 eTs s 1 10 10 G( s) (1 eTs s ) s s 0.1 s s 0.1
s j
z eT ,
z eTs eT ( j ) eT e jT
z T 2
s 令σ=0，相当于取s平面的虚轴，当ω从-∞变到∞时，映 射到z平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆。
j
s
2
s平面
Im
z平面
1
0
Re
0 s
2
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7.5.1、s域到z域的映射