数理统计学总复习(大连理工出版社 滕素珍等著)

2
独立，则称变量
t
X Y n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为 t ~ t ( n).
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t分布的性质：
1. 具有自由度为n的t分布t ~ t ( n), 其数学期望 与方差为：E ( t ) 0, D( t ) n ( n 2)
pF F ( n1 , n2 )
F ( n1 ,n2 )
( y )dy
1 F1 ( n1 , n2 ) F ( n2 , n1 )
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3、t 分布
定义: 设X～N(0,1) , Y～
(n) , 且X与Y相互
L( ) L( ; x1 ,, xn ) p( x1; ) p( x2 ; ) p( xn ; )
称为样本的似然函数。
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ˆ ˆ 如果某统计量 ( x ,, x ) 满足 1 n ˆ L( ) max L( )
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样本k阶原点矩 n 1 k Ak X i n i 1 样本k阶中心矩
1 k Bk ( X i X ) n i 1
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n
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定理
设总体X的均值为，方差为 2，X 1 , X 2 ,, X n 是 来自总体的一个样本，则样本均值X和样本方差S 2有
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推论2 设 X1, X2,…, Xn 是来自 X ~ N (1,12 ) 2 的样本， 1 , Y2 ,Ym是来自Y ~ N ( 2 , 2 ), 且X与Y。 Y
独立。以X ,Y , S , S 表示它们的均值和方差，则
2 1 2 2
1)
X Y ( 1 2 )
n m
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k 1, 2,..., n 1
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§1.4 三大抽样分布
1 分布: 、
2
定义: 设 X 1 , X 2 ,, X n相互独立, 都服从正态分布
N(0,1), 则称随机变量：
X X2 Xn
2 2 1 2
2
所服从的分布为自由度为 n 的
观测值。其中
X(1)=minX1, X2,…, Xn称为 最小次序统计量 X(n)=maxX1,X2,…, Xn称为最大次序统计量。
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二、单个顺序统计量的分布
定理 设总体X的密度函数为p(x)，分布函 数为F(x)， X1, X2,…, Xn为样本，则第k个顺 序统计量X(k)的密度函数为
1 n X Xi n i 1
1 n S ( X i X )2 n 1 i 1
2
X ~ N (0,1) 则有 1) U / n
t X S/ n
2) (n1) s2/2 2(n1)。 3) t(n1)。
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总体的三层含义：
• 研究对象的全体； • 数据——数量指标集； • 分布——描述总体规律性。
总体用一个随机变量及其分布来描述. 统计中，总体这个概念的要旨 是：总体就是一个概率分布.
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二、样本
样本:从总体中抽取的部分个体或子样。
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第1-2章 基本概念复习
§1.1 总体与样本 §1.2 数据的整理与显示
§1.3 统计量及其分布
§1.4 三大抽样分布
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§1.1
总体与样本
一、总体和个体
1.总体
研究对象的全体称为总体， 总体中每个成员称为X 1 , X 2 ,, X n )是X 1 , X 2 ,, X n的函数，若g 中不含未知参数，则g ( X 1 , X 2 ,, X n )称是一 个统计量.
设X1 , X 2 , X n 是来自总体X的一个样本 , x1 , x2 , xn 是一个样本的观察值, 则g ( x1 , x2 , xn )也是统 计量g ( X1 , X 2 , X n )的观察值.
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§1.2 样本数据的整理与显示 1、 搜集数据方法 2、数据整理——频数，频率分布表 3、样本数据的图形显示 (1)直方图(2)折线图。
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§1.3 统计量与经验分布函数 定义 设X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体X的一个样本，
2 1
2 2
~ N (0,1)
2)
S12 / 12 ~ F (n 1, m 1) 2 2 S2 / 2
特别，若12 =22 ，则 F=s12/s22 F(n1,m1)
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推论3
在推论5.4.2的记号下，设 12 =22 = 2 ，
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样本均值 样本方差
1 X Xi n i 1 n 1 2 2 S ( Xi X ) n 1 i 1
1 n S ( X i X )2 n 1 i 1
n
样本标准差
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记为
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2 2
分布.
2
~ (n)
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2分布的性质 1. 设 X 1 , X 2 ,, X n相互独立, 都服从正态分布 1 n N ( , 2 ), 则 2 2 ( X i )2 ~ 2 (n)
2．设 X 1 ~
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第3章
§3.1 §3.2 §3.4 §3.5
参数估计
点估计的几种方法 点估计的评价标准 贝叶斯估计 区间估计
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参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。
设总体X 服从分布 F(x, ）， 为未知参数 设 x1, x2,…, xn 是来自总体 X 的一个样本，我们
ˆ ˆ 用一个统计量 ( x1,, xn ) 的取值作为 的估 计值， ˆ 称为 点的估计（量），简称估计。
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§3.1 点估计
3.1.1 矩法估计 用样本矩去替换相应的总体矩，
1 n E( X ) a j X ij n i 1
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设总体X具有分布函数F(x), X1, X2, …, Xn 为取自该总体的容量为n的样本， 则样本联合分布函数为
F ( x1 , ..., xn )
F ( x ).
i i 1
n
样本的联合概率密度函数为
p( x, x2 ,, xn ) =f(x1) f(x2) … f(xn)
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则称 是 的极(最)大似然估计，简记为MLE ˆ
为了便于运算，通常由对数似然函数lnL( ) 出发寻找 的极大似然估计。

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求极大似然估计(MLE)的一般步骤是： (1) 由总体分布导出样本的联合联合密度; (2) 把样本联合密度 中自变量看成常数,把参数 看作自变量,建立似然函数L( ); (3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为 求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE; (4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就 得参数的最大似然估计值 .
1 n X Xi n i 1
1 n S ( X i X )2 n 1 i 1
2
则
1)
2 X ~ N ( , ) n
2) X 与 s2 相互独立；
3) (n1) s2/2 2(n1)。
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推论1 设 X1, X2,…, Xn 是来自N(, 2) 的 样本，其样本均值和样本方差分别为
E( X ) , D( X ) 2 n ,
E(S )
2 2
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次序统计量及其分布
一、定义 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X的样本,
X(i) 称为该样本的第i 个次序统计量，它的取值 是将样本观测值由小到大排列后得到的第 i 个
j
ˆ j j (a1,, ak ),
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j 1,, k ,
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3.1.2
极(最)大似然估计
定义 设总体的概率函数为P(x; )，是参数 可能取值的参数空间，X1, X2 , …, Xn 是样本， 将样本的联合概率函数看成 的函数，用L( ; x1, x2, …, xn) 表示，简记为L( )，
(m 1) s (n 1) s
2 x 2 y
并记
s
2 w
mn2

( xi x ) 2 ( y i y ) 2
i 1 i 1
m
n
mn2
则
( x y ) ( 1 2 ) sw 1 1 m n
~ t (m n 2)
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近似
( n 2)
2.当n足够大时，t
~ N (0,1).
3. t分布的分位点 对于给定的， 1, 称满足条件 0 pt t ( n) t ( n ) h( t )dt
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抽样分布的重要结论
定理 设 X1, X2,…, Xn 是来自N(, 2) 的 样本，其样本均值和样本方差分别为
由于样本抽取前无法预知它们的数值，因此， 样本是随机变量，用X1, X2, …, Xn 表示；
当样本在抽取以后经观测就有确定的 观测 值，用小 写字母 x1, x2, …, xn 表示。
n 称为样本容量。 样本的要求：随机性；独立性；同分布性。
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(n1 ), X 2 ~ (n2 ),且X1,X2相互独立，
2 2
2

i 1
则X 1 X 2 ~ ( n1 n2 ).
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４ 若 2 ~ 2 ( n), 2分布的数学期望与方差, .
E(X)=n, D(X)=2n.
5. 分布的分位点
n 1
p( x)
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经验分布函数
设 x1, x2, …, xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本， 用有序样本定义如下函数 0, x < x(1) Fn ( x ) k / n , x(k ) x x(k 1) , 1, x(n ) x
2
对于给定的正数， 1, 0
称满足条件 2 P 2 ( n) ( n ) f ( y )dy 2
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2、
F分布
定义: 设 U ~ 2 ( n ),V 1 独立，则称随机变量
~ ( n2 ), U
2
与V 相互
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一 自由度，n2称第二自由度，记作 F~F(n1,n2) . 1 V n2 ~F(n2,n1) F U n1
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U n1 F V n2
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4）F分布的分位数
对于给定的， 1, 称满足条件 0
n! p k ( x) ( F ( x)) k 1 (1 F ( x)) nk p( x) (k 1)!(n k )!
特别地，X(1) ，X(2) 的密度函数为：
p1 ( x) n[1 F ( x)]n1 p( x)
pn ( x) n[F ( x)]
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