瑞利衰落信道Jakes模型的研究与性能分析_杨浩

式（5）中，当 i 从 1 变到 N/2- 1 时，第一项对应
的多普勒频移从?
cos 2? N
变到 ??
cos
2? N
，第二项对应
的多普勒频移从 ??
cos 2? N
变到 ??
cos
2? N
。因此前两
其表达式为：
项表示频率产生了重叠，如图 1 所示。
2012 年 8 月第 8 期 现代电信科技 27
Abstract：The wireless fading channel is an impor－ tant part of the wireless communication system, so channel modeling and simulation play an extremely important role in the development of wireless com－ munication system. This paper discusses the model－ ing and simulation of the flat Rayleigh fading chan－ nel, and presents the result that Jakes model can be used to model Rayleigh fading channel. Key Words: wireless communication，Rayleigh fad－ ing，channel modeling，Jakes model
的数学表达式相仿，关键区别在于入射波到达角和
初始相位的选取，不同的选取方法所得结果相差很
大。Clarke 模型中，均匀分布于[0，2π）区间，虽然满
足了入射角随机分布性，但是，v 值较大会增大运算
量。因此，收敛于理想统计特性的速度较慢。由贝尔
实验室的 William Jakes 提出的 Jakes 模型对 Clarke
令 ? − ?? @?b ,? ? ?? @? b ，则上式可化
简为：
T (t) −
2 N
{−
[2
2 cos(−
t cos?
)e
] ? 2cos(? t)e
}（6）
因此，
y(t) − Re[T (t) exp( j− t)] ?
2 N
{−
[2
2 cos(?
t cos?
) cos(?
t ? b )]
?2 cos(? t)cos(? t ? b )} ? T (t)cos(? t) ? T (t) sin(? t) （7）
本文将对 Jakes 仿真模型进行介绍，然后仿真实现并 对其性能进行分析。作为理论基础，首先将论述瑞利衰落 信道的基本特性和其数学参考模型；其次介绍用于实现瑞 利衰落信道的 Jakes 模型建模方法；最后仿真实现 Jakes 模型，并对其性能进行分析。
1 数学参考模型
对于多径的快衰信道，设发射信号为s(t) − Acos(2− f t ? ? (t)，)
R 专业研究···························· esearch & Exp lo rat io n
瑞利衰落信道 Jakes 模型的研究 与性能分析
杨 浩 北京邮电大学信息与通信工程学院硕士研究生 桑 林 北京邮电大学信息与通信工程学院教授
摘要：无线衰落信道是无线通信系统的重要组成 部分，因此信道建模和仿真对于无线通信系统的 开发具有极其重要的作用。文章通过对平坦瑞利 （Rayleigh）衰落信道进行仿真建模研究，给出了瑞 利衰落信道可以采用 Jakes 模型进行建模的分析 结果。 关键词：无线通信，瑞利衰落，信道建模，Jakes 模 型
(? ) ? J (? ? )
?
（2）
式（2）中：? m 表示最大多普勒频移，J0 表示 0 阶
的第一类贝塞尔函数。由式（2）可知，同相分量和正
交分量在同一时刻是互不相关的，即统计独立的。
2 瑞利衰落信道的 Jakes 模型
2.1 Clarke 模型 由式（1）可知，当多径数 N 足够大时，可由接收
模型进行了简化，使得 Clarke 模型的收敛运算速度
加快，Jakes 模型目前己被许多标准化组织接受，应
用也最为广泛[7]。
将式（4）写成复数形式，即 y(t) − Re[T (t) exp( j− t)]，
T (t) −
2 N
−
exp(
j(?
t cos?
? ? ))令 N/2 为奇整数，则可
得到：
Á对无线衰落信道仿真可以帮助深入理解无线传输环
境，以及为在实验室条件下测试和评估无线通信系统提供 有利条件。无线信道仿真实际上就是在无线信道特征分析 的基础上对信道建立数学模型，在实验室环境下利用建立 的数学模型对实际信道进行模拟。因此，对无线信道数学 模型的研究显得十分重要，任何一个信道模型都是为了尽 可能产生实际物理信道应有的统计特性[1]。对于常见的瑞 利（Rayleigh）衰落信道，研究其信道仿真模型对于移动通 信研究具有重要意义，尤其在无线信道建模、性能分析及 系统测试等方面作用重大[2]。现有许多不同理论和方法研 究瑞利衰落信道的建模与仿真，其中最著名的是 Jakes 仿 真模型[3]。
ÁÂÃÂÃÁÂÁÃÂÁÂÃÁ 信号的包络来模拟瑞利衰落。基于此理论，Clarke提
出了著名的 Clarke 模型用于瑞利衰落的建模[6]。其 移动台接收信号场强的统计特性是基于散射的，这 正好与市区环境中无直视通路的特点相吻合，因此 广泛应用于市区环境的仿真中。
2.2 Jakes 模型
根据 Clarke 模型简化生成的模型有多种，它们
由图 3 可以看出，随着模拟入射波的个数 N 的 增加，Jakes 模型的包络密度函数趋向瑞利分布，且 与时间 t 无关，这一点满足广义平稳过程的要求。
由图 4 可看出，随着模拟入射波的个数 N 的增
上式中：
加，Jakes 模型包络的累积概率密度函数愈来愈趋近
c
?
− ??? ? ??
2 N 2 N
2 cos b , n ? 1, 2,...N 2 cosb , n ? N ? 1
函数 p（a）以及同相分量和正交分量应满足下式[5]：
y(t) − 2− c cos(? t ? ? t cos? ? ? ) ? X (t) cos? t ? X (t)sin ? t
（3）
式（3）中
X (t) ? 2− c cos(? t cos? ? ? )，X (t) ? ? 2 − c sin(? t cos? ? ? 。) 系
式（7）中，
T (t) − T (t) ?
2 N
{−
[2
cos(−
t cos?
) cos b ] ?
2 N
{?
[2 cos(?
t cos?
)sin b ] ?
2 cos(? t) cos b 2 cos(? t)sin b
}
（8）
}
式（7）和（8）即为 Jakes 模型的数学描述。依托
Â此描述，我们可以用 N0 个多普勒频移?
于瑞利分布的累积概率密度，表明随着 N 的增加， Jakes 模型也越来越准确。
28 MSTT August 2012
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p（r） p（r）
c
− ? ???
? ??
2 2sin b , n ? 1, 2,...N N 2 2 sin b , n ? N ? 1 N
?
?
−?? ?
Leabharlann Baidu
cos 2− n , n ? 1, 2,...N N
??? , n ? N ? 1
b
?
−???????−N4n, n, n??N1,
2,...N ?1
其中 bn 的选择是为了使相位在[0,2π）内近似
y(t) − A− a (t) cos(2− f (t) ? ? (t)) ? A(x (t)cos 2? f (t) ? x (t)sin 2? f (t))
à ? Aa(t)cos(2? f (t)??(t))
（1）
式（1）中：a (t)和? (t)是第 i 条路径的接收信号
幅 度 和 传 输 时 延 ，x (t) − − a (t) cos− (t) 称 为 同 相 分 量，x (t) − − a (t)sin? (t) 称为正交分量，a(t) − x (t) ? x (t)
y(t) ?
2 N
−
cos(?
t??
t cos 2− i ? ? ) N
（4）
Clarke 已经证明，式（4）中 N 个路径信号的包络 也是满足瑞利分布的，这就是 Clarke 模型。
? ? ???
p(a) ? R
a −
exp(?
(? ) ? R
a 2?
), a ?
(? ) ? 0
0
? ?
R
(? ) ? R
为均匀分布。依托以上讨论，我们就可以完成 Jakes
模型的仿真实现。
3 仿真与分析
我们利用 MATLAB 仿真软件对 Jakes 模型进行 仿真验证。仿真中假定载频为 2 GHz，最大多普勒频 移为 100 Hz，仿真时长为 10 s。我们取不同的 N 和 N0，其中 ，以研究当模拟的入射波的个数 N 增加时， 仿真的结果对于瑞利分布的逼近。
称为随机信号的包络。
当发射机和接收机之间有相互移动时，散射通
道（多径通道）的时变性使得接收波形的同相分量和
正交分量之和的幅度也是时变的。已证明当多径数
N 足够大时，根据中心极限定理，可以认为同相分量
ÃÄ 和正交分量都是高斯分布，其包络服从瑞利分布。根
据瑞利分布的定义，随机信号包络 a（t）的概率密度
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cos(2− f t)
ÂÅÂÃÂÁÃÄÁÁÃÅÂÃÂÁÂÃÃÁÄÄÂÁÁÁÅÃÂÁÂÃÃÂÃÁÄÂÁÃÁÁÆÂÂÃÃÄÄÅÅÂÆÇÁÁcos(2−ft)
ÁÁÂÄÁÂ 图1多普勒频移的对称性（N=10）
−?
cos(2? n) N
和一个最大偏移频率? 来模拟瑞利衰落。图 2 即是
Jakes 模型仿真器的生成框图（考虑基带的情况）。
图 2 中：N ? 4N ? 2 ，
T (t) − − c cos(? t) ，T (t) − − c cos(? t)
图 2 由 N0+1 个低频振荡器组成的 Jakes 仿真器模型
因此式（5）可作进一步简化，令 N0=N/2- 1，则式 （5）可写为（式中的因子 2 是为了保持振荡器数目
减少的情况下，总功率保持不变）：
T (t) −
2 N
{−
2[exp( j(? t cos? ? ? )) ? exp(? j(? t cos? ? ? )]
? exp( j(? t ? ? )) ? exp(? j(? t ? ? ))}
0.7
0.6
N=18
N=34
N=50
0.5
瑞利分布曲线
0.4
0.3
0.2
0.1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 r
图 3 Jakes 模型包络的概率密度函数与瑞利分布曲线的对比
1
0.8
0.7
0.6
N=18 N=34
N=50
0.5
26 MSTT August 2012
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经过 N 条路径到达接收点，接收信号将是损耗和时
ÂÁÃÁÂÂÁÃÁÂÃÄÁÃÂÂÁÃÂÄÄÁÃÂÂÁÃÄÅ 延随时间变化的各路信号的合成，其表达式为[4]：
T (t) −
2 N
{−
[exp(
j(?
t cos?
? ? )) ? exp(? j(?
t cos?
??
)]
? exp( j(? t ? ? )) ? exp(? j(? t ? ? ))}
（5）
在 Clarke 模型中，首先证明了可以用无限个满
足 一 定 条 件 的 余 弦 谐 波 y(t) − lim− (a (t) cos 2− f (t) ? ? (t)) 的包络来模拟瑞利分布，并进一步证明了用有限的 N 个余弦谐波的包络来拟合瑞利分布也是可行的，
数 2是为了实现功率归一化，Ci 是第 i 条路径的衰
减，? − 2? f 是载波频率，? 是第 i 条 路 径 的 到 达
角，?
− 2? vf c
是最大多普勒频移，?i 是第 i 条路径的
相移，不同路径的是相互独立的，且服从[0，2π）的
均匀分布。
现假设这 N 个路径的能量相等，且到达角是均
匀分布在[0，2π）内的，则式（3）变为：