集合的交并差补与代数的加减乘除

集合的交并差补与代数的加减乘除

wsy

August13,2015

我们都知道，集合的运算和代数的运算是独立的，一般没有太大的关联。集合的基本的运算法则有：

•交集：A B;

•并集：A B;

•补集：A;

•差集：A−B.

但是，我们通过如下的定义，可以建立一个集合的代数运算关系：令全集Ω表示为1,空集∅表示为0

•交集：A∩B=ab;

•并集：A∪B=a+b−ab;

•补集：A=1−a;

•差集：A−B=A−A∩B=a−ab=a(1−b).

其中，集合A,B在代数运算中，用相应的小写字母a,b表示。注意到，因为A∩A=A,所以根据定义可以推导出，我们的定义满足幂等律

a·a=a2=a.

除了，这一点有差异之外，其它运算与代数运算都相同。

接下来，我们可以看到，集合的对偶律和结合律，使用上述定义之后，也是吻合的。下列代数式子在化简后是显然成立的，我们减去了化简的步骤。

1.对偶律:

1

•对于

A∩B=A∪B,

代入上述定义，有

1−ab=(1−a)+(1−b)−(1−a)(1−b).

•对于

A∪B=A∩B,

代入上述定义，有

1−(a+b−ab)=(1−a)(1−b).

2.结合律：

•对于

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),

代入上述定义，有

ab+c−abc=(a+c−ac)(b+c−bc).

•对于

(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),

代入上述定义，有

(a+b−ab)c=ac+bc−ac·bc.

综上可知，我们的定义是满足集合运算的要求的。之所以要把集合的运算，转化为代数的运算，是因为一般的人，对于代数运算的熟悉程度远远高于集合运算。这为我们验证，求解，推断复杂的集合运算的式子提供了另外的一种新的更加简便快速的方式。

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