初中数学数学名师哥德尔

哥德尔

哥德尔，K．F(G del，Kurt Friedrich)1906年4月28日生于奥匈帝国的布尔诺(今属捷克斯洛伐克)；1978年1月14日卒于美国普林斯顿．数学、逻辑学、数学哲学．哥德尔的父亲在青年时代即从维也纳迁移到兴旺的纺织工业基地布尔诺定居，他富有自力更生的创业精神，后来成了那里一家主要纺织厂的管理方面的领导者．哥德尔的母亲一家由莱茵河地区到布尔诺从事纺织工业，她曾在布尔诺一所法语学校读书，受过较好的教育，她终生对文化事业保持兴趣，她生育了哥德尔兄弟二人，哥德尔的哥哥比他大四岁，后来成了一位放射学家．

哥德尔有一个幸福的童年，但他胆小又爱吵闹，在六七岁时患了急性风湿性关节炎，危害了他的健康，特别是影响了他的心脏．他的才智很早就显露出来了．由于他经常提出各式各样的问题，家里人常称他为“为什么先生”(Mr Why)．1912年，他六岁时进入布尔诺的巴黎学校上学．从1916年到1924年，他的学习成绩优秀，特别是在数学、语言和神学方面表现尤为突出．

第一次世界大战直接影响了哥德尔及其家庭，虽然布尔诺地区远离战争前线，但战后，1918年奥匈帝国解体了，出现了新国家：奥地利、捷克斯洛伐克、匈牙利等．1924年哥德尔毕业于布尔诺大学预科，然后到维也纳大学学习．当时，维也纳作为1919年新创立的奥地利共和国的首都，是当时的政治、经济、文化中心．1929年哥德尔成了奥地利的公民．在维也纳大学，哥德尔先学物理，后主攻数学．他参加了以攻读B．罗素(Russell)的专著《数学的哲学导论》(Introduction to mathematical philosophy，1919)为中心的讨论班．在1926—1928年期间哥德尔也参加了维也纳 M．施利克(Schlick)的哲学小组，但他并不赞成逻辑实证论观点，1929年他逐渐离开了这一小组，但他仍与该组成员R．卡纳普(Carnap)保持一般的接触．哥德尔离开石里克小组的主要原因是他已建立了自己的独到的哲学观点．

哥德尔的老师、数学家P．富特温勒(Furtw ngler)对他有很大的影响．他的导师H．哈恩(Hahn)的研究兴趣主要是现代分析、集合论、拓扑、逻辑、数学基础和科学哲学，在知识背景方面直接影响了哥德尔．但是，哥德尔在确定自己的研究方向时，起重要作用的两个因素是卡纳普的数理逻辑讲演，D．希尔伯特(Hilbert)和W．阿克曼(Ackermann)的专著《理论逻辑原理》(Grundzge der theoretischen Logik,1928)．在这本书的1928年版(即第二版)中著者列举了一阶谓词演算的完全性这个未解决的问题．哥德尔把这一问题作为自己的主攻方向．1929年夏季，当时只有23岁的哥德尔肯定地解决了这一问题：证明了一阶谓词演算的完全性定理．由此，在1930年2月他获得了博士学位．随后，他进一步研究希尔伯特方案，希望用有穷方法证明数学形式系统的协调性问题，主要是关于算术、分析和集合论等系统的协调性问题．1930年8月26日哥德尔向卡纳普等人通告了他的不完全性结果，即数论形式系统如果是协调的，则它是不完全的，并且它的协调性在系统内是不可证明的．1930年9月7日哥德尔在柯尼斯堡召开的数学讨论会上第一次正式公布了他的上述结果．同年10月23日在维也纳科学院他也报告了他的上述结果．哥德尔的不完全性结果与希尔伯特的猜想相反，并且从根本原则上否定了希氏方案．希氏学派的主要成员冯•诺伊曼(von Neumann)、P．伯奈斯(Bernays)先后认识到了哥德尔上述结果的巨大的潜在意义，希尔伯特也不得不重新修改了他的方案．从1930年起，哥德尔与冯•诺伊曼、伯奈斯、E．F．策梅罗(Zermelo)、A．塔斯基(Tarski)等著名数理逻辑学家建立良好的关系．冯•诺伊曼出生于匈牙利，比哥德尔仅大三岁，但他当时已在证明论、集合论、分析学和数学物理等方面作出了重要结果，因而名噪一时．伯奈斯是希尔伯特的助手与合作者，策梅罗是集合论公理系统的首创者，塔斯基是波兰逻辑学家，由于他的形式语言真值概念的工作而成名．他们的交流促

进了数理逻辑的发展，扩大了这一学科的影响，并使哥德尔开创的方向成了这一学科的主要倾向．在1933年3月经过简短的教学实习，哥德尔出任维也纳大学的无薪水讲师．同年9月30日赴美国讲学，作为普林斯顿高级研究院的客座成员，他报告了他的不完全性结果．同年12月哥德尔在美国数学会年会上报告了“数学基础的现状”． 1934年4月18日哥德尔在纽约哲学学会上的讲演题目是“包含算术的任意形式系统内不可判定命题的存在性”．接着4月20日在华盛顿科学院讲了“数学能够证明协调性吗？”同年5月26日至6月3日乘船返回欧洲．1935年5月在维也纳大学他讲授数理逻辑课程，其间曾于6月19日在蒙格尔的学术讨论会上介绍他的证明长度的论文．1935年9月至12月哥德尔第二次访问美国．10月间他向冯•诺伊曼通报了他的选择公理相对协调性证明．由于健康原因，他向普林斯顿高级研究院辞职回维也纳治病，1936年他主要在治疗疾病．1937年哥德尔在维也纳大学讲授公理集合论课程，并发现了广义连续统假设相对集合论公理协调性证明的关键步骤．1938年9月20日，哥德尔与安迪(Adele Nimbursky)女士结婚．安迪比哥德尔大六岁，早在1927年哥德尔才21岁时他们就相爱了．安迪是位舞女并且曾经结过婚，对于他们的相爱，哥德尔的父母极力反对．尽管哥德尔的父亲在1929年已病故，他们仍推迟了多年才结婚．婚后半个月，1938年10月6日哥德尔把妻子留在维也纳，独自应邀第三次赴美国讲学，10月15日到达普林斯顿高级研究院．直至12月他都在讲述选择公理、连续统假设相对协调性结果，其间《美国科学院学报》(Proceedings of theNational Academy of Science，U．S．A，24，pp．556—557)宣布了他的结果．同年12月28日哥德尔在美国数学学会第45届年会上报告了“广义连续统假设的协调性”．1939年《美国科学院学报》(同上，25，PP．220—224)发表了哥德尔的论文“广义连续统假设的协调性证明”(Consistency－proof for the generalized con－tinuum－hypothesis)．同年6月14日—20日，哥德尔乘船由美国返回维也纳．虽然，哥德尔当时已解决了几项重大的数学问题，三次应邀赴美国讲学，他已成为世界知名的数理逻辑学家，但他在维也纳大学仍然是一个无薪水的讲师．9月25日他申请晋升为正规的讲师，无人理采．这样，哥德尔就不得不寻找到美国定居的途径了．1940年1月哥德尔偕夫人安迪离开维也纳到美国定居．1938年3月13日希特勒已吞并了奥地利，哥德尔离开纳粹统治下的维也纳使他从此有了一个进行研究工作的安定环境．从此，他再也没有回过欧洲．

1940年春，哥德尔到达普林斯顿高级研究院，成了该院的成员．同年普林斯顿大学出版社出版了哥德尔的专著《广义连续统假设的协调性》(The consistency of continuum hypothesis)，这是根据他于1938至1939年在普林斯顿高级研究院讲演的原稿整理的，全名应是《选择公理、广义连续统假设与集合论公理的相对协调性》(The consistency of the axiom of choice and of thegeneralized cantinuum－hypothesis with the axioms of set theo－ry)．1941年4月他在耶鲁大学的讲演是“在什么意义下直觉主义逻辑是构造的？”(In what sense is intuitionistic logic cons－true tive？)1942年作出了“在有穷类型论中选择公理的独立性证明”(Proof of the independence of the axiom of choice in －finite type theory)．1944年发表了“罗素的数理逻辑”(Russell＇smathematical logic)．1946年在普林斯顿200周年纪念会上就数学问题作了讲演．1947年发表了重要的数学哲学论文“什么是康托尔的连续统问题？”(What is Cantor＇s continuum problem？) 哥德尔在普林斯顿最亲密的朋友是著名物理学家A．爱因斯坦(Einstein)和数理经济学家O．摩根斯顿(Morgenstern)．他们经常散步和闲谈．1948年4月2日他们三人一起到美国移民局，一起取得美国国籍，成为美国公民．哥德尔与爱因斯坦一直是最亲密的朋友，直至爱因斯坦1955年去世．虽然他们两人在性格上有很大的差别，爱因斯坦爱社交，活泼开朗，而哥德尔严肃认真、相当孤独，但是他们都是直接地全心全意地探求科学的本质．1943年后，哥德尔逐渐把注意力转向数学哲学乃至一般的哲学问题．当然他也还不断地关注逻辑