万有引力模型.ppt

质点距离 R 60r (r为地球半径)
r 6370 105 cm
月运行周期
T 27天7时43分 2360380秒
Q
a
v2 R
2
T
R
2
1 R
4 2R
T2
4 2 60 6370 105 cm
23605802 秒2
0.27 cm
秒2
2.由引力公式推出向心加速度
又因
F
G
Mm R2
F ma
1 ecos
求证 p b2 , e 1 a2 b2
a
a
2.椭圆面积 A ab
3.Kepler三定律. 第一定律
行星轨道为一椭圆，太阳在其一焦点上.
第二定律
行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相同.
扇形面积 1 r2& A
2 行星在椭圆上运行不是匀速
（月球运行是匀速）
r
o
第三定律
运行周期T与椭圆长半轴的关系是
➢ 其次,当时通过实验方法是不能证明定律成 立的.Newton通过他的第二定律(加速度定 律),由引力产生的向心加速度与圆运动向心 加速度相等的方法,证明定律的正确性.
➢ 太阳系中各行星按椭圆轨道绕太阳运 行,太阳在椭圆的一个焦点上,用向量分 析法都能证出太阳对行星的引力符合 万有引力定律.
太水金地火木土天
&ur &urr
r p
rr
(t
)
r
(t
1 ecos
r )ur
(t
)
r
(t
)(cos
r i
sin
r j
)
(这里 (t)) 即随t的变化，给出的向量变化
若行星在椭圆轨道上运行的方程 rr rurr （不同时矢量的变化）
用矢量分析法，计算太阳引力F F m&rr& , &rr&为加速度向量
➢ 此后此数字相继得到修正. ➢ 1892年.庞廷.Pantin.
G 6.6981013 N cm2 g2
➢ 1895年.博斯.Boss.
G (6.658 0.00061013)N cm2 g2
➢ 1930年.海尔.Hale.
G (6.670 0.0051013)N cm2 g2
➢ 上面一些科学家的工作,都说明Newton发明万 有引力定律时,不是通过实验得到的.
➢ (一)定律的来源探讨: ➢ 不是通过实验得到的,而是通过数学推导得
到的. ➢ 此公式是Newton于1666年得到的,以后很多
科学家都想通过实验证明它,都未成功. ➢ 1740年.布格,Buger. ➢ 1712年.马斯科林.Maskilin. ➢ 1854年.艾里.Anlli. ➢ 1880年.蒙登哈尔.Mengdenhar.
其原因是距离越大,引力就越小;距离越小,引 力就越大.
从地球对月球的引力着手研究.
月球沿圆形轨道围绕地球以匀速 v 运行,地
球在圆的中心.
设地球引力为 F,则有 F ma.
m为月球质量, a为向心加速度. 圆运动向心加速度 a v2 . 地球心与月球心距离为 R R.
圆运动的速度为 v .
运行，太阳在椭圆的一个焦点上.
2.单位时间内，太阳与行星联成的向径，
Kepler三定律
它扫过的面积是常数. (对于每个行星而言，不同行星常数不同)
3.行星运行周期T的平方，与椭圆长半轴a 的三次方成正比.
T2
Ka3(K对于所有行星均适用)
➢ 苹果熟了往地上落.
➢ 月球按圆形轨道绕地球运行.
➢ 3.在重大问题的决策中,对方案及可行性分析 中,数学模型是非常重要的.
➢ 4.让学生进一步掌握数学的学科特点. ➢ 5.了解数学的理论体系. ➢ 6.了解数学之发展概况. ➢ 7.培养学生运用数学工具解决实际问题的能
力. ➢ 8.培养学生的科研论文写作能力.
➢二 本课性质
➢作为数学系毕业生,大部分从事初 等数学教学的研究,而在大学学习 阶段主要学习高等数学(这与初等 数学相距甚远),这是为什么?
为求a,
a
F m
GM
1 R2
GM ？
考虑地球表面的引力
一物体的质量为m, 在地球表面受力
F G Mm (r为地球半径) r2
地球表面上重力加速度为 g 9.81cm 秒2
F mg , F G Mm (r为地球半径) r2
有
mg
G
Mm r2
， GM r 2 g
于是由引力产生的加速度
a
GM
urr
若行星运行周期为T，
圆单位时间扫过的面积为A,
➢ 他们的作法:把一个小山作为M,在山的 附近用线垂下一个小球,考察小球的偏 摆,然后确定引力系数 G,都未成功.
➢ 直到1798年(离Newton发现定律130多 年后),卡文迪斯(Cavendish)用很复杂 的试验确定了引力关系和定律的正确 性,并确定了引力系数
G 6.711013 N cm2 g2
sin
&
r 2& e sin 1 r 2& 2e sin A 2e sin
p
2
p
p
Q ecos p 1
r
&r& 2 A ecos &
p
2A p
p r
1
2A r2
4 A2 r3
1
p r
&rr& (&r& r&2 )urr
4 A2
r3
1
p r
r
4 A2 r4
urr
4 A2 pr 2
➢ ① Kepler三定律.
➢ ② Newton第二定律.
➢ Newton对“月球绕地球按圆形轨道运行”进行研 究,第一次提出：“月球按圆形轨道运行是地球对月 球的引力所致”.
➢ Newton通过计算圆运动的向心加速度, 又根据 Newton第二定律得到引力公式.为验证引力公式的 正确性,他比较了通过引力所得的加速度与圆运动的 向心加速度,计算结果二者是相同的.把这个无法通 过实验证明的规律从理论上给出了证明.
这些现象都有其动力学原因.
➢ 按牛顿的惯性定律:苹果应在原位置上始终 不落,月球应按直线匀速运动.
以上两种现象,违反了惯性定律,其中必有其 动力学原因.
其中必有一种力作用着.这种力不是以明显 的形式表现出.
是以看不见的形式作用在苹果和月球上的 (以场的形式作用着).
这是地球产生的引力.
当时Newton还想到,苹果被引力拉到地面上 了,而月球没被拉下来,只影响了它的运行状 态,由直线变成曲线.
T 2 Ka3
(K为绝对常数或称普通常数，对任何行星均相同)
矢量分析
如上图，选单位向量
uurrr
r
r
cos i sin j
r
sin i cos
r j
rr
r rur
r是标量t 的函数，ur r 基本向量是t 的函数
uurrr
sin &ir cos cos &ir sin
&rj &rj
1 R2
r
2
g
1 60r
2
a g 9.81cm 秒2 0.27 cm 秒2
3600
3600
➢ Newton在地球对月球的引力中,验证了 他的公式.但是他认为必须在更大的范 围内验证,以保证他的正确性.
➢ 他着手研究太阳对于行星的引力来验证 公式.
➢ 由于行星轨道都是椭圆(长短轴相差较 大),他用圆代替椭圆,把太阳放在焦点上.
解决实际问题的数学公式: 三角形中的正弦公式:
a b c 2R sinA sinB sinC
余弦公式: cos2 A cos2B cos2C 2cos B cosC
f ma ,
F
K
m1m2 r2
,L
公式,方程,曲线,图表…等
为了解决实际问题,找出事物本身的机理,建立数 学模型(简称建模).解出数学模型,找到规律.
➢有的就是直接解决实际问题.
➢科学研究是由实验阶段进入理性阶 段(以推理为主的),此时,数学的作 用就更大了.
例:卫星轨道的确定.
(历史上海王星的发现以及哈雷慧星的轨道计 算都是由数学系算出来的)
现在自然科学方面的论文(物理,化学,自动控 制,…)没有数学论证,价值就不大.
定义:数学模型(Mathematical Model)是对客 观世界中的某一特定对象,为了某个特定目 的,作出一些必要的简化和假设,运用合适的 数学工具,得到的一个数学结构.(可以是公式, 图表,图象等)
数学模型
中国海洋大学数学科学学院 高存臣
本课程为考试课
作业（10%）+笔记（10%）+ 考卷（论文80%）
序言
➢ 一 教学目的 ➢ 1.通过讲解什么是数学模型,为什么学习数
学模型等内容,使学生了解数学模型是用数 学方法解决实际问题时的数学形式,它是实 际问题和数学间的桥梁. ➢ 2.使学生了解到在科学技术高度发展的今天, 数学在解决实际问题中的功能不断提高,甚 至是不可缺少的.
➢ 由于无法应用Kepler三定律,结果失败.
➢ 今天,我们应用向量分析法很容易证出.
（四）在太阳系中，研究太阳对各行星的引力
准备知识
1.椭圆方程
x2 y2
p
a2 b2 1
(a b), r
1 ecos
p b2 , e 1 a2 b2
u
ur
a
a
习题：
行星
r
O(太阳)
若r p 的长短半轴分别为a,b，
➢ (二) Newton发明万有引力定律,是从地心引 力开始的,是从地球对月球的引力开始的.
➢ 此前已有的力学,天体力学知识:
1.第一定律：任何物体都保持静止和 Newton三定律 2.匀F 速 m直a线运动状态.
3.对于每个作用力总存在着一个相等 的反作用力
1.各颗行星分别在不同的椭圆轨道上
若地球质量为M , 将F写成
F
4 2
KM
Mm R2
G 4 2 为引力常数，
KM
其中 4 2 是普通常数（对于一切星体均成立）
K
(三) 引力公式的验证 ➢得到的引力公式是否符合实际,对
它的正确性要进行验证. ➢方式:
由圆运动推出的向心加速度 由引力公式推出的向心加速度 看二者是否相等?
1.由向心力公式推出向心加速度
➢ Newton得到的万有引力定律是在特殊情 况下得到的,对于一般情况,即椭圆轨道上 的定律是否成立,还不能肯定, Newton曾 试图研究一般情况,但未成功.
➢ 今天数学发展了,数学工具也增加了.用向 量分析的方法,证明在椭圆轨道上运行的 形体,受焦点上星体的引力,也是定律所表 述的.
➢ 要求学生了解Newton在知道万有引力过程 中的想法,从Newton第一定律(惯性定律:任 何物体保持静止,匀速直线运动)出发,首先他 考虑到:月球按圆形轨道运行,必有其动力学 原因,也就是必有看不见的外力在作用它.从 这一坚定信念出发推得了定律.
模型一. 万有引力模型
万有引力定律的发现是人类走向科学的 一项重大发现.其作用之大是无法比拟的.它 为当今的天文学和航天科学奠定了基础. 在这个模型中,包括两个部分: ㈠.Newton是怎样通过数学方法得到这一定 律的; ㈡.在比Newton更一般的情况下,用向量分析 法推导定律.
➢ Newtoຫໍສະໝຸດ Baidu推导万有引力的基础.
海
冥
九大行星示意图
➢ 万有引力模型.
F G Mm R2
➢ Newton:1684年在《自然哲学》发表的.
➢ 定律: 宇宙中任何物体之间,都存在相互作 用的吸引力.这种引力的大小与它们的质量 乘积成正比,与二者距离的平方成反比,作 用力方向沿两个物体联线方向.
m
R
R：两物体质心距离
M
定律适用范围:大至宇宙,小至地球上任意两物体.
由Kepler第三定律 1 r 2& A
2
&
2A r2
,
&&
4A r3
r&
代入上式左端，有
于是
r 4 A r& 2r 2 A 0
r3
r2
&rr& (&r& r&2 )urr
下面计算 &r&
Q r
p
， (t)
1 ecos
r&
pesin & (1 ecos )2
p
1 ecos
2
e p
先求&rr&
rr& r&urr rur&r r&urr r&ur &rr& &r&urr r&ur&r r&&ur r&ur& r&&ur
&r&urr r&ur r&&ur r&2urr r&&ur (&r& r&2 )urr (1r4&&2 24r&3&) ur
0
下面推出 r&& 2r&& 0
➢ 实质:
➢ 对数学有一个本质的理解(有利于数学的研 究)-----居高临下.
➢ 数学的一个重要方面:数学在实际中的应用.
➢ 数学与其它学科一样,都是为人类生产斗争 和社会实践服务的.数学在与实践的关系中, 不仅有理论上的价值与作用,而且对深入了 解其它学科是有基础性的作用.
➢数学的作用就是解决实际问题.
地
R
v
m
设月球运行周期为 T ,即经过 T 的时间,月球 运转一个周期,其走过的距离为 2 R .
v 2 R
T
2
R
2
F
ma
v2 m
m
R
T R
4 2R
m T2
由 Kepler第三定律知 T 2 KR3 R为椭圆的长半轴.
因月球轨道为圆形（长短轴相同）.
于是
4 2R 4 2 m
F m KR3 K R2