第四节 有理函数的积分

x
ln
|
u1|2u2Cdu
1 4
2u 1 u2
1u2 1 u2
tan
2
1
x
2
2dtuan
x 2
2u u2
1 ln 2
tan
x 2
C
.
第四节 有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
被积函数含简单根式, 可通过根式代换化为有理函 数的积分.
R(x , n ax b ) dx , 令u n ax b ;
x
26,(则( ux
2x1uua21r1cta11n,1duxx)du1)
C2.u (u2 1)2
du
,
1
1
x
dx
2(uu32
13)uu2(u62u2u1)62lndu(1
u)2
Cu
2
2
du
第四节 有理函数的积分
作业：
P218 习题4-4 1. 3. 5. 7. 9. 11. 17. 19.
例如，
sin x ,
1
, 1 sin x
sin x cos x 1 sin x cos x 3 cos x
都是三角函数有理式.
第四节 有理函数的积分
三角函数有理式的积分 R (sin x, cos x)dx 可通过
半角代换(万能代换) u tan x 转化为有理函数的积分. 2
因为
sin
等
(x a)k (x2 px q)l
(其中 p2 – 4q < 0 , P1(x) 为小于 k 次，P2(x) 为小于 2l 次).
第四节节 有理理函函数数的的积积分分
例1 将下列列真真分分式式分分解解成成部部分分分分式式之之和和：：
(11)
11 xx( xx 11))22
;;
((22))
xx22
x
2
sin
x 2
cos
x 2
sin
2
x 2
cos2
x 2
Leabharlann Baidu
1
2
tan tan
x 2
2
x 2
1
2u u
2
,
cos x
cos2
x 2
sin 2
sin 2
x 2
cos2
x 2
x 2
1 1
tan tan
2 2
x 2
x 2
1 u2 1u 2
,
2
dx 1 u 2 du ,
R(sin x, cosx)dx
当 n m 时，称为假分式.
假分式可化成一个多项式与一个真分式之和.
例如，
第四节 有理函数的积分
x4
2x3 5x2 3 x3 7x2 2x
8
,
真分式
2
x
4 x2
x2 1
3
,
假分式
2x4 x2
x2 1
3
2x2
1
4 x2 1
.
第四节 有理函数的积分
2. 真分式的分解式
真分式 P(x) , Q(x)
第四节 有理函数的积分
一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
第四节 有理函数的积分
一、有理函数的积分
1. 有理函数定义
定义 函数
R(x)
P(x) Q(x)
a0 x n b0 x m
a1x n1 an b1 x m1 bm
(a0b0
0)
称为有理函数，
当 n < m 时，称为真分式，
例2 求
x 44 xx33
1212ddxx
..
解
x4 x3
2 1
x第四xx3节21有 理x 函(x数的1)(x积x2分2 x
1)
上式例 例解 解分34 令别求求(xxx令2t43x=((((12xxxxxx1x2)x222(=2dx–1xx11xx第-12)2)12212)441)(d四,d,()xx1xx2x1x则 02x1节..d,111(x2x))xl可， nA有ddx1x|x以 x1得.理x2.)x2x(用1方x函x1x11B1|更程数d11x)1简组122的(便积x(xxx2C的分A22x1x)1方21xx.1)法B(进x11x1dd一xx1C)步21 分解
1u2 1 u2
,
dx
2 1 u2
du
,
sin解1x(1s令isncinoxusxx)dt1axn2uu2x2
,则
1
1
2u u
2
2u
1,cuo2s
x1
1111uuuu2222
,
2 1 u2
dx
du 2
1 u
1 2 2 du
u ,
2
1 u
du
1 2
dux22
cos x sin
2u
若分母可分解为
Q (x) Q1(x)Q2 (x) ,
且 Q1(x) 与 Q2(x) 没有公因式， 则
P( x) P1( x) P2 ( x) , Q( x) Q1( x) Q2 ( x)
称为真分式可化成部分分式之和.
若 Q1(x) 或 Q2(x) 还能再分解，则继续下去. 最后真分
式分解为
P1(x) 、 P2 ( x)
R(x
,n
a xb c xd
) dx
,
令u n
a xb c xd
;
R(x , n ax b , m ax b) dx ,
令 u p ax b , p 为 m , n 的最小公倍数.
第第四四节节有有理函理数函的数积的分积分
例例77 求求 xxxx1d1xd.x .
解 令 u x第1四, 则节 x有理u2函数 1 , 的dx积 分 2udu ,
A(xx23B1)24 d3xC
5(t
1) 2 t4
2dt
1 t2
2 t3
3 t4
dt
第四节 有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分
由三角函数 sin x , cos x 及常数经过有限次四则运算 所构成的函数，称为三角函数有理式。记为
R(sin x , cos x) .
R
1
2u u
2
,1 1
u2 u2
1
2 u
2
du
.
第第四四节节有有理函理数函的数积的分积分
例例55 求求 ssinin1x1(x1(s1inscinoxcsoxxs)dxx)d. x .
解 令 u tan x , 则
第2 四节 有理函数的积分
例例66
求求sinxccoos1sx2dxuuxds2xins, icnxo.sxx.
例例88
求求
x
x
1xdxdxdx3x3x
ux.2u.
1
2udu
2
u2 du u2 1
解 令 u 6 x第, 四2则节1x有u理u216函,1d数xdu的6积u5d分u ,
例例99
求求
d1x1
x xx3
1x1xxx2dx(xuu6d3.ux5.dauur2cta6nuuu)3du1C
解
令 u
1 x
xx 33 55xx66
;;
((33))
xx22 ((xx11))((xx22
xx11))
..
解 (1) 直接拼凑
1 x(x 1)2
x (x 1) x(x 1)2
1 (x 1)2
1 x(x 1)
1 x (x 1) 1
11
(x 1)2
x(x 1)
(x
1)2
x
1
x
.
第四节节 有理理函函数数的的积积分分