人教版高中数学必修五数列复习提纲及例题

《数列》复习

1.数列的通项

求数列通项公式的常用方法：

（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与

项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。 （2）公式法：等差数列与等比数列。 （3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -=⎧=⎨

-≥⎩

（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法

2.等差数列{}n a 中：

（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性； （2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-； （3）{}n ka 也成等差数列；

(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5)1211221213,,m m m m m m m

a a a a a a a a a +++++++++++++仍成等差数列.

（6）1()2n n n a a S +=

，1(1)2n n n S na d -=+

，21()22n d d

S n a n =+-， 21

21n n S a n -=

-，()(21)n n n

n A a f n f n B b =⇒=-.

(7)若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2

p q

m +=

，则2p q m a a a +=

,()0p q p q a q a p p q a +==≠⇒=，

,()()p q p q S q S p p q S p q +==≠⇒=-+；m n m n S S S mnd +=++.

(8)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和； （9）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2

a b

A +=

叫做,a b 的等差中项。 （10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。

3.等比数列{}n a 中：

（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。

（2）11n n a a q -=n m

m a q -=；

（3）{||}n a 、{}n ka 成等比数列；{}{}n n a b 、

成等比数列{}n n a b ⇒成等比数列. （4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列. （5）1211,,

m k k k m a a a a a a ++-++

++++成等比数列.

（6）1111

11 (1) (1)

(1) (1) (1)1111n n n n na q na q S a a a a q a q q q q q q q q ==⎧⎧⎪⎪

==--⎨⎨-+≠=≠⎪⎪----⎩⎩

. （7）p q m n p q m n b b b b +=+⇒⋅=⋅；22m p q m p q b b b =+⇒=⋅m n

m n m n n m S S q S S q S +=+=+.

（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n 项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n 项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；

（9）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数,a b 同号时，实数,a b 存在等比中项.对同号两实数,a b 的等

比中项不仅存在，而且有一对G =也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时)。

（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法

4.等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列

5.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式

③1123(1)2n n n +++

+=+，22221123(1)(21)6

n n n n +++

+=++，

2135(21)n n +++

+-=，2135(21)(1)n n +++

++=+.

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）.

(5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①111(1)1

n n n n =-++ ②

1111()()n n k k n n k

=-++， ③1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =--++++

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质

1. 研究通项的性质

例题1. 已知数列}{n a 满足

1

111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；

（2）证明：

312n n a -=

. 解：（1）2

1231,314,3413a a a =∴=+==+=.

（2）证明：由已知1

13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---

1

2

1313

3

312n n n a ---+=++

++=， 所以证得

312n n a -=

.

例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥

（Ⅰ）求

{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，

求

n

T .

解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，

两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，

又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列

∴1

3n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =

故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，

由题意可得2

(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==

∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =

∴2(1)

3222n n n T n n n -=+

⨯=+