2021届新课改高三数学复习：复数(学生版)
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z2 8、(2017 泰州期末） 如图，在复平面内，点 A 对应的复数为 z1，若z1＝i(i 为虚数单位)，则 z2＝________.
4、例题选讲
考点一、复数的有关概念
例
1、(2019
苏北四市、苏中三市三调）已知复数
z
ai 1 3i
（i
是虚数单位）是纯虚数，则实数
a
的值为
．
变式 1、(2019 南京三模）若复数 z 满足 z(1＋i)＝1，其中 i 为虚数单位，则 z 在复平面内对应的点在第
▲ 象限． z
变式 2、(2019 南京、盐城二模） 若复数 z 满足a＋2i＝i(i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数 a 的值 为________．
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4
高考复习·学与练
变式 3、已知 i 是虚数单位，复数 z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)，当 m 分别取何实数时，z 满足如下条件？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．
轴上的点都表示纯虚数．
4. 复数的几何表示
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3
高考复习·学与练
O→ Z 复数 z＝a＋bi 与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量 ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3、自主热身、归纳总结 2
1、(2017 无锡期末） 已知复数 z＝1－i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数为________． 2、(2017 常州期末） 已知 x＞0，若(x－i)2 是纯虚数(其中 i 为虚数单位)，则 x＝________.
例 2、、(2019 苏锡常镇调研）已知复数 z 3 4i ，其中 i 是虚数单位，则 z ＝
．
5i
2i
变式 1、(2019 南通、泰州、扬州一调）已知复数 z＝1－i－3i(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为________．
变式 2、(2019 泰州期末）复数 z 满足 zi＝4＋3i(i 是虚数单位)，则|z|＝________．
2. 复数的四则运算
Leabharlann Baidu
(1)复数的加、减、乘、除运算法则．
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
z1 a＋bi （a＋bi）（c－di）
④除法：z2＝c＋di＝（c＋di）（c－di） （ac＋bd）＋（bc－ad）i
＝
c2＋d2
(c＋di≠0)．
3. 复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚
『高考复习|学与练』
『汇总归纳·备战高考』
高考复习·学与练
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2
高考复习·学与练
第 33 讲：复数
1、课程标准 1、了解复数的概念 2、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 3、掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.基础知识回顾
2、知识梳理
变式 2、（1）设(1－i)x＝1＋yi，其中 x，y 是实数，则 x＋yi 在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2）若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
1－i 3、(2017 苏州期末）已知复数 z＝ 2i ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为________．
33 4、(2018 苏州期末） 已知 i 为虚数单位，复数 z＝ 2 －2i 的模为________． 5、(2018 常州期末）若复数 z 满足 z·2i＝|z|2＋1(其中 i 为虚数单位)，则|z|＝________． 6、(2017 南京学情调研）设复数 z 满足(z＋i)i＝－3＋4i(i 为虚数单位)，则 z 的模为________． 7、(2017 南京、盐城二模） 若复数 z 满足 z(1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z是 z 的共轭复数，则 z·z＝________.
方法总结： (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则．
(2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设 z＝a＋bi，再通过四则运算，计算出 a，b 的值．
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考点三、复数的几何意义
y 例 1、(1)已知复数 z＝x＋yi，且|z－2|＝ 3，则x的最大值为____
高考复习·学与练
变式 1、如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别表示 0，3＋2i， －2＋4i，试求： A→O B→C ① ， 所表示的复数； C→A ②对角线 所表示的复数； ③B 点对应的复数．
方法总结： (1)解决复数问题，首先要看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于复
数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和虚部
满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a＝0 且 b≠0.
考点二、复数的运算
变式 3、(2019 扬州期末） 若 i 是虚数单位，且复数 z 满足(1＋i)z＝2，则|z|＝________．
2 变式 4、(1)复数1－i(i 为虚数单位)的共轭复数是
1＋i 2＋ 3i (2)(1－i)6＋ 3－ 2i＝_ ___． (3)若复数 z 满足 2z＋z－＝3－2i，其中 i 为虚数单位，则 z＝____．
1. 复数
(1)复数的意义：形如 z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i2＝－1，a 叫做实部，
b 叫做虚部，复数集记作 C，数集 N、Z、Q、R、C 的关系是：NZQRC. (2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝ a2＋b2．
(3)复数相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，则 a1＝a2，b1＝b2． (4)共轭复数：z＝a＋bi，z－＝a－bi；z 与 z－互为共轭复数．
4、例题选讲
考点一、复数的有关概念
例
1、(2019
苏北四市、苏中三市三调）已知复数
z
ai 1 3i
（i
是虚数单位）是纯虚数，则实数
a
的值为
．
变式 1、(2019 南京三模）若复数 z 满足 z(1＋i)＝1，其中 i 为虚数单位，则 z 在复平面内对应的点在第
▲ 象限． z
变式 2、(2019 南京、盐城二模） 若复数 z 满足a＋2i＝i(i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数 a 的值 为________．
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变式 3、已知 i 是虚数单位，复数 z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)，当 m 分别取何实数时，z 满足如下条件？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．
轴上的点都表示纯虚数．
4. 复数的几何表示
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O→ Z 复数 z＝a＋bi 与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量 ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3、自主热身、归纳总结 2
1、(2017 无锡期末） 已知复数 z＝1－i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数为________． 2、(2017 常州期末） 已知 x＞0，若(x－i)2 是纯虚数(其中 i 为虚数单位)，则 x＝________.
例 2、、(2019 苏锡常镇调研）已知复数 z 3 4i ，其中 i 是虚数单位，则 z ＝
．
5i
2i
变式 1、(2019 南通、泰州、扬州一调）已知复数 z＝1－i－3i(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为________．
变式 2、(2019 泰州期末）复数 z 满足 zi＝4＋3i(i 是虚数单位)，则|z|＝________．
2. 复数的四则运算
Leabharlann Baidu
(1)复数的加、减、乘、除运算法则．
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
z1 a＋bi （a＋bi）（c－di）
④除法：z2＝c＋di＝（c＋di）（c－di） （ac＋bd）＋（bc－ad）i
＝
c2＋d2
(c＋di≠0)．
3. 复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚
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第 33 讲：复数
1、课程标准 1、了解复数的概念 2、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 3、掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.基础知识回顾
2、知识梳理
变式 2、（1）设(1－i)x＝1＋yi，其中 x，y 是实数，则 x＋yi 在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2）若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
1－i 3、(2017 苏州期末）已知复数 z＝ 2i ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为________．
33 4、(2018 苏州期末） 已知 i 为虚数单位，复数 z＝ 2 －2i 的模为________． 5、(2018 常州期末）若复数 z 满足 z·2i＝|z|2＋1(其中 i 为虚数单位)，则|z|＝________． 6、(2017 南京学情调研）设复数 z 满足(z＋i)i＝－3＋4i(i 为虚数单位)，则 z 的模为________． 7、(2017 南京、盐城二模） 若复数 z 满足 z(1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z是 z 的共轭复数，则 z·z＝________.
方法总结： (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则．
(2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设 z＝a＋bi，再通过四则运算，计算出 a，b 的值．
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考点三、复数的几何意义
y 例 1、(1)已知复数 z＝x＋yi，且|z－2|＝ 3，则x的最大值为____
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变式 1、如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别表示 0，3＋2i， －2＋4i，试求： A→O B→C ① ， 所表示的复数； C→A ②对角线 所表示的复数； ③B 点对应的复数．
方法总结： (1)解决复数问题，首先要看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于复
数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和虚部
满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a＝0 且 b≠0.
考点二、复数的运算
变式 3、(2019 扬州期末） 若 i 是虚数单位，且复数 z 满足(1＋i)z＝2，则|z|＝________．
2 变式 4、(1)复数1－i(i 为虚数单位)的共轭复数是
1＋i 2＋ 3i (2)(1－i)6＋ 3－ 2i＝_ ___． (3)若复数 z 满足 2z＋z－＝3－2i，其中 i 为虚数单位，则 z＝____．
1. 复数
(1)复数的意义：形如 z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i2＝－1，a 叫做实部，
b 叫做虚部，复数集记作 C，数集 N、Z、Q、R、C 的关系是：NZQRC. (2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝ a2＋b2．
(3)复数相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，则 a1＝a2，b1＝b2． (4)共轭复数：z＝a＋bi，z－＝a－bi；z 与 z－互为共轭复数．