期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
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,为独立同分布的随机变量序列,若
2,则有p
ξ是由同一总体中得到的抽样,那么由,,
n
n
,为独立同分布的随机变量序列,若,[2,
D μξ<∞则有k =∑1
)exp(x
=
⎰
η,并计算样本均值,,
n
Kolmogorov强大数定律有
,
,)]T S ,其中
,,)T S 是关于标的资产价格路径的预期收
n t T <<=
2,)n,
1,2,n),则
如果用日数据计算波动率,
从表可看出,由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。为了更直观的比较,由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。
+
,并令其解为
*,
,,
,)]
T t S S
*,
,,
,T
t S S 为标的资产价格的路径,*,
,,
,)
T t S S 上式定义的P 便是将要运用最小二乘蒙特卡洛方法进行模拟的期权价值。{0,1,
,}N ,随机变量
,,
S,重复执行
N
3,,0的期权持有价值。对于每条样本路径
N执行,或是永不执行。具体设计程
{0,1,,}
令初值t*=
*=
变;如果执行期权,则t N
1,2,
,}
M
所以应分别进行贴现求均值,最终得到初始
,,
,)]j T t S S *=
∑已知股票价格为50,美式看跌期权执行价为
C=R*a。
Jdx=max(K-X,0)>C。
nIdx=setdiff((1:M),Idx(Jdx))。
CF(ii,Idx(Jdx))=max(K-X(Jdx)',0)。
ExTime(Idx(Jdx))=ii。
CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx)。
end
Price=mean(CF(2,:))*exp(-r*dt)
%%%%% 绘制标的股票价格模拟图%%%%% x1=[0:N]。y1=S'。y2=mean(S')。
subplot(2,1,1)
plot(x1,y1)
subplot(2,1,2)
plot(x1,y2)
xlabel('期权存续期间')
ylabel('股价的模拟路径')
%%%%% 绘制期权价值模拟图%%%%% figure。
x2=[1:N]。y3=CF(2:end,:)'。
for i=1:M
y4(i)=y3(i,ExTime(i))。
end
plot(x2,y3,ExTime,y4,'*')
xlabel('期权的最优停止时间')
ylabel('期权价值的模拟路径')
模拟的美式看跌期权的价格路径如下图所示:
模拟的期权价值路径及其最优停时如下图:
本例中的美式看跌期权价格为:
price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,100000)
Price=4.2654
§6 改进蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方差减少技术
方差减少技术的共性是利用模型特点,调整或修正模拟的输出变量,从而降低估计值的方差。在采用方差减少技术
2,
,m
j T S 也是股票价格终值的{}exp()max 0,,1,2,
,j j T C rT S K j m =--=的平均值也能
得到期权价格的无偏估计量。因此,由对偶变量技术得到的
j
C 。
[]j C ,所以1
](])2
j
j C Var C =
;并且,令()Z φ=,对于规是单调递]0j C ≤,从而
1
](2
j
C Var ≤
122,,,,,m m C C C C C 并
122,,
,2
2
2
m m
C C C C C ++才是独立同分布的抽样,故
122,,
,
2
2
m m
C C C C C ++而非2n 122,,,
,,m m C C C C C 来
,
,n Y 是期权到期回报贴现的
1,
,n 独立同分布,则对于确定的数
期权价格的控制变量估计值即为
()
,,)d T
X并且
i
1,,n独立同分布,
()
,
,d X 之()
[]2i X -∑2,
,d 将b
。
,,
X,从而将
n
X作为多元控制变量可得相应的控制变量估计值为,,
n
=∑
)b
m
,,
Z。由于
m
就是对这些样本进行调整,使其一阶矩、二阶矩乃至高阶矩