期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

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,为独立同分布的随机变量序列,若

2,则有p

ξ是由同一总体中得到的抽样,那么由,,

n

n

,为独立同分布的随机变量序列,若,[2,

D μξ<∞则有k =∑1

)exp(x

=

η,并计算样本均值,,

n

Kolmogorov强大数定律有

,

,)]T S ,其中

,,)T S 是关于标的资产价格路径的预期收

n t T <<=

2,)n,

1,2,n),则

如果用日数据计算波动率,

从表可看出,由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。为了更直观的比较,由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。

+

,并令其解为

*,

,,

,)]

T t S S

*,

,,

,T

t S S 为标的资产价格的路径,*,

,,

,)

T t S S 上式定义的P 便是将要运用最小二乘蒙特卡洛方法进行模拟的期权价值。{0,1,

,}N ,随机变量

,,

S,重复执行

N

3,,0的期权持有价值。对于每条样本路径

N执行,或是永不执行。具体设计程

{0,1,,}

令初值t*=

*=

变;如果执行期权,则t N

1,2,

,}

M

所以应分别进行贴现求均值,最终得到初始

,,

,)]j T t S S *=

∑已知股票价格为50,美式看跌期权执行价为

C=R*a。

Jdx=max(K-X,0)>C。

nIdx=setdiff((1:M),Idx(Jdx))。

CF(ii,Idx(Jdx))=max(K-X(Jdx)',0)。

ExTime(Idx(Jdx))=ii。

CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx)。

end

Price=mean(CF(2,:))*exp(-r*dt)

%%%%% 绘制标的股票价格模拟图%%%%% x1=[0:N]。y1=S'。y2=mean(S')。

subplot(2,1,1)

plot(x1,y1)

subplot(2,1,2)

plot(x1,y2)

xlabel('期权存续期间')

ylabel('股价的模拟路径')

%%%%% 绘制期权价值模拟图%%%%% figure。

x2=[1:N]。y3=CF(2:end,:)'。

for i=1:M

y4(i)=y3(i,ExTime(i))。

end

plot(x2,y3,ExTime,y4,'*')

xlabel('期权的最优停止时间')

ylabel('期权价值的模拟路径')

模拟的美式看跌期权的价格路径如下图所示:

模拟的期权价值路径及其最优停时如下图:

本例中的美式看跌期权价格为:

price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,100000)

Price=4.2654

§6 改进蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方差减少技术

方差减少技术的共性是利用模型特点,调整或修正模拟的输出变量,从而降低估计值的方差。在采用方差减少技术

2,

,m

j T S 也是股票价格终值的{}exp()max 0,,1,2,

,j j T C rT S K j m =--=的平均值也能

得到期权价格的无偏估计量。因此,由对偶变量技术得到的

j

C 。

[]j C ,所以1

](])2

j

j C Var C =

;并且,令()Z φ=,对于规是单调递]0j C ≤,从而

1

](2

j

C Var ≤

122,,,,,m m C C C C C 并

122,,

,2

2

2

m m

C C C C C ++才是独立同分布的抽样,故

122,,

,

2

2

m m

C C C C C ++而非2n 122,,,

,,m m C C C C C 来

,

,n Y 是期权到期回报贴现的

1,

,n 独立同分布,则对于确定的数

期权价格的控制变量估计值即为

()

,,)d T

X并且

i

1,,n独立同分布,

()

,

,d X 之()

[]2i X -∑2,

,d 将b

,,

X,从而将

n

X作为多元控制变量可得相应的控制变量估计值为,,

n

=∑

)b

m

,,

Z。由于

m

就是对这些样本进行调整,使其一阶矩、二阶矩乃至高阶矩

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