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❖ 参数曲线 C 上对应于参数值 t 的点是指向径 r(t) OP(t) 的终点 P(t) ，即空间中的点 (x(t), y(t), z(t))E3 ，表示 为实点 P(t) 或向量值 r(t) 或参数值 t ．
❖ C0 类参数曲线也称为连续曲线，C 类参数曲线也称为 光滑曲线．
❖ 约定：由于本课程之中微积分工具使用的广泛性，为简 便起见，以后不声明时在局部总考虑 C3 类参数曲线， 并简称为曲线．
❖ 连续曲线，光滑曲线．不声明时在局部总考虑 C3 类参 数曲线，并简称为曲线．
❖ 在数学分析或者解析几何课程中所接触到的曲线，要 么其本身就是参数化的，要么总可以进行适当的局部 参数化．
二．正则曲线
参数曲线的行为的复杂性需要得到注意．对所考虑的曲 线做出必要的限制是合理的．
定义1 给定参数曲线 C: r r(t) , t(a, b) ． 若 r (t0) 0 ，则称 t t0 的对应点 r(t0) 为 C 的一个奇
仅仅表示一点，而不是正常的曲线； 此时所有的参数值对应于图形实体的同一点． 这是非正则曲线的极端例子． 例3 圆柱螺线视为动点的轨迹，通常参数化为
r(t) (a cos (w t) , a sin (w t) , v t ) , tR ， 其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 分别为动点运动的
O
f(u) r(t0) + u r (t0) , uR ．
二．正则曲线
❖ 正则曲线足以作为曲线局部的主体．
❖ 正则曲线的意义还在于能够方便地确定曲线的切线．
❖ 设曲线 C: r r(t) , t(a, b) 正则，曲线 C 在切点 r(t0) 处的切线的方向向量确定为 r (t0) ．
圆周半径、角速率和向上Biblioteka Baidu率．此时
r (t) (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) 0 ，
说明该参数化使之成为正则曲线．
二．正则曲线
例4 半立方抛物线光滑参数化为 r(t) (t3 , t2 , 0) , tR ，
则 r (t) (3t2 , 2t , 0) ， 故此时其奇点有且仅有一个：r(0) ． 例5 按定义直接计算导向量，易知例１中的各条参数曲 线都是正则的．但单位圆周具有存在奇点的下列参数化：
r(t0)
r(t0)
dr dt
(t0)
lim r(t0+t) r(t0)
t0
t
.
r(t0)
[r(t0+t)r(t0)] 而正则性保证 r (t0) 0 ，
r(t0+t)
故 C 在切点 r(t0) 处的切线
的方向向量确定为 r (t0) ，
该切线的向量形式参数方
程为：向径
y y(t) , t(a, b) ． z z(t)
一．E3 中参数化曲线的定义
❖ 给定 x(t), y(t), z(t)Ck((a, b)) ， 则 C {(x(t), y(t), z(t))E3t(a, b)} 称为E3 中的一条 Ck 类参数化曲线，简称参数曲线，并将t 称为 C 的参 数；可用其参数方程表示．
§1.1 参数曲线
一．E3 中参数化曲线的定义
在 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 下， 取单位正交向量 i , j , k 为基向量． 给定三个函数 x(t), y(t), z(t)Ck((a, b)) ， 作向量值函数
r: (a, b)E3 t r(t) x(t)i + y(t)j + z(t)k (x(t), y(t), z(t)) ，
r(t) (cos t2 , sin t2 , 0) , tR ．
二．正则曲线
一般地，存在奇点的参数曲线在奇点附近的性质需要单 独加以讨论，且奇点若对应于参数的一个区间则等价于 对应参数的一个点；
而对于连续可微参数曲线，正则点附近总存在较小弧 段使正则性得到满足，
这是由于导向量函数的模长具有连续性． 正则曲线足以作为曲线局部的主体．因此，将曲线论的 局部基本理论建立在正则曲线之上是具有一般性的， 正则曲线的意义还在于能够方便地确定曲线的所谓切 线． 设曲线 C: r r(t) , t(a, b) 正则，考虑过点r(t0) 和 r(t0 +
（异）点； 若 r (t0) 0 ，则称 t t0 的对应点 r(t0) 为 C 的一个正
则点． 若 C 之上点点正则，则称 C 为正则曲线，并称参数 t
为正则参数． 视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数 在该点处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动．
二．正则曲线
例2 若参数曲线 C: r r(t) a const. , tR ，则其几 何图形
一．E3 中参数化曲线的定义
❖ 给定 x(t), y(t), z(t)Ck((a, b)) ， 则 C {(x(t), y(t), z(t))E3t(a, b)} 称为E3 中的一条 Ck 类参数化曲线，简称参数曲线，并将t 称为 C 的参 数；可用其参数方程表示．
❖ 参数曲线上对应于参数值 t 的点是指向径 r(t) OP(t) 的终点 P(t) ，即空间中的点 (x(t), y(t), z(t))E3 ，表示 为实点 P(t) 或向量值 r(t) 或参数值 t ．
t) 的割线当 t 0 时的极限位置，亦即切线的位置．
二．正则曲线
❖ 正则曲线足以作为曲线局部的主体．
❖ 正则曲线的意义还在于能够方便地确定曲线的切线．
❖ 设 C: r r(t) , t(a, b) 正则，考虑过点r(t0) 和 r(t0 + t) 的割线当 t 0 时的极限位置，亦即切线的位置．
则其位置向量终点全体 C {(x(t), y(t), z(t))E3t(a, b)} 称为E3 中的一条 Ck 类参数化曲线， 简称参数曲线，并将t 称为 C 的参数； C 可用其向量形式的参数方程表示为r = r(t) , t(a, b) ， 或写为分量形式的参数方程 x x(t)
❖ C0 类参数曲线也称为连续曲线，C 类参数曲线也称为 光滑曲线．
❖ 约定：由于本课程之中微积分工具使用的广泛性，为简 便起见，以后不声明时在局部总考虑 C3 类参数曲线， 并简称为曲线．
❖ 连续曲线，光滑曲线．不声明时在局部总考虑 C3 类参 数曲线，并简称为曲线．
❖ 在数学分析或者解析几何课程中所接触到的曲线，要 么其本身就是参数化的，要么总可以进行适当的局部 参数化．
二．正则曲线
参数曲线的行为的复杂性需要得到注意．对所考虑的曲 线做出必要的限制是合理的．
定义1 给定参数曲线 C: r r(t) , t(a, b) ． 若 r (t0) 0 ，则称 t t0 的对应点 r(t0) 为 C 的一个奇
仅仅表示一点，而不是正常的曲线； 此时所有的参数值对应于图形实体的同一点． 这是非正则曲线的极端例子． 例3 圆柱螺线视为动点的轨迹，通常参数化为
r(t) (a cos (w t) , a sin (w t) , v t ) , tR ， 其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 分别为动点运动的
O
f(u) r(t0) + u r (t0) , uR ．
二．正则曲线
❖ 正则曲线足以作为曲线局部的主体．
❖ 正则曲线的意义还在于能够方便地确定曲线的切线．
❖ 设曲线 C: r r(t) , t(a, b) 正则，曲线 C 在切点 r(t0) 处的切线的方向向量确定为 r (t0) ．
圆周半径、角速率和向上Biblioteka Baidu率．此时
r (t) (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) 0 ，
说明该参数化使之成为正则曲线．
二．正则曲线
例4 半立方抛物线光滑参数化为 r(t) (t3 , t2 , 0) , tR ，
则 r (t) (3t2 , 2t , 0) ， 故此时其奇点有且仅有一个：r(0) ． 例5 按定义直接计算导向量，易知例１中的各条参数曲 线都是正则的．但单位圆周具有存在奇点的下列参数化：
r(t0)
r(t0)
dr dt
(t0)
lim r(t0+t) r(t0)
t0
t
.
r(t0)
[r(t0+t)r(t0)] 而正则性保证 r (t0) 0 ，
r(t0+t)
故 C 在切点 r(t0) 处的切线
的方向向量确定为 r (t0) ，
该切线的向量形式参数方
程为：向径
y y(t) , t(a, b) ． z z(t)
一．E3 中参数化曲线的定义
❖ 给定 x(t), y(t), z(t)Ck((a, b)) ， 则 C {(x(t), y(t), z(t))E3t(a, b)} 称为E3 中的一条 Ck 类参数化曲线，简称参数曲线，并将t 称为 C 的参 数；可用其参数方程表示．
§1.1 参数曲线
一．E3 中参数化曲线的定义
在 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 下， 取单位正交向量 i , j , k 为基向量． 给定三个函数 x(t), y(t), z(t)Ck((a, b)) ， 作向量值函数
r: (a, b)E3 t r(t) x(t)i + y(t)j + z(t)k (x(t), y(t), z(t)) ，
r(t) (cos t2 , sin t2 , 0) , tR ．
二．正则曲线
一般地，存在奇点的参数曲线在奇点附近的性质需要单 独加以讨论，且奇点若对应于参数的一个区间则等价于 对应参数的一个点；
而对于连续可微参数曲线，正则点附近总存在较小弧 段使正则性得到满足，
这是由于导向量函数的模长具有连续性． 正则曲线足以作为曲线局部的主体．因此，将曲线论的 局部基本理论建立在正则曲线之上是具有一般性的， 正则曲线的意义还在于能够方便地确定曲线的所谓切 线． 设曲线 C: r r(t) , t(a, b) 正则，考虑过点r(t0) 和 r(t0 +
（异）点； 若 r (t0) 0 ，则称 t t0 的对应点 r(t0) 为 C 的一个正
则点． 若 C 之上点点正则，则称 C 为正则曲线，并称参数 t
为正则参数． 视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数 在该点处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动．
二．正则曲线
例2 若参数曲线 C: r r(t) a const. , tR ，则其几 何图形
一．E3 中参数化曲线的定义
❖ 给定 x(t), y(t), z(t)Ck((a, b)) ， 则 C {(x(t), y(t), z(t))E3t(a, b)} 称为E3 中的一条 Ck 类参数化曲线，简称参数曲线，并将t 称为 C 的参 数；可用其参数方程表示．
❖ 参数曲线上对应于参数值 t 的点是指向径 r(t) OP(t) 的终点 P(t) ，即空间中的点 (x(t), y(t), z(t))E3 ，表示 为实点 P(t) 或向量值 r(t) 或参数值 t ．
t) 的割线当 t 0 时的极限位置，亦即切线的位置．
二．正则曲线
❖ 正则曲线足以作为曲线局部的主体．
❖ 正则曲线的意义还在于能够方便地确定曲线的切线．
❖ 设 C: r r(t) , t(a, b) 正则，考虑过点r(t0) 和 r(t0 + t) 的割线当 t 0 时的极限位置，亦即切线的位置．
则其位置向量终点全体 C {(x(t), y(t), z(t))E3t(a, b)} 称为E3 中的一条 Ck 类参数化曲线， 简称参数曲线，并将t 称为 C 的参数； C 可用其向量形式的参数方程表示为r = r(t) , t(a, b) ， 或写为分量形式的参数方程 x x(t)