wallis公式的证明

证明完成！
(2k!!)2
π
lim
=
k→∞ (2k − 1)!! (2k + 1)!! 2
2
n N∗
(2k − 1)!! π
I2k =
(2k)!!
· 2
(2k)!! I2k+1 = (2k + 1)!!
k N∗
令：
I2k+1 =
(2k!!)2
2 ·
I2k (2k − 1)!! (2k + 1)!! π
G (k) = I2k+1 I2k
下面我们来证明当：
k → ∞时，G (k) → 1
对∀ε
<
ε
2
0
π 2
sin2k xdx
π 2
−δ
(1 − ε) <
π 2
−δ
sin2k+1
xdx
+
0
π 2
−δ
sin2k
xdx
+
0
π
2
π 2
−δ
π
sin2k+1 xdx
=
G (k)
<
1
2
π 2
−δ
sin2k
xdx
根据ε的任意性，可知：
所以：
(2k!!)2
2
lim G (k) = lim
· =1
k→∞
k→∞ (2k − 1)!! (2k + 1)!! π
sin2k xdx−
sin2k xdx
2
π 2
−δ
0
0
2
π 2
−δ
0
固定δ,对于
δε 2
,
∃N0
∈
N ∗,当k
>
N0时,
sin
π 2
−
δ
δε <
(1)
(2k + 1) cos
π 2
−δ
2
而：
π
ε
2
sin2k xdx > ε
π −
π −δ
2
π 2
−δ
22 2
· sin2k
π −δ
= sin2k
π −δ
xdx
π
=
G (k) < 1
2
π 2
−δ
sin2k
xdx
∗ 山东大学数学学院大二2班学生，学号201200101070.
1
而:
Hale Waihona Puke Baidu
π 2
0
−δ
sin2k+1 xdx +
π 2
−δ
sin2k
xdx
0
1 +
−
ε 2
π
2
π 2
−δ
π
2
π 2
−δ
sin2k
sin2k xdx
xdx
−(1
−
ε)
=
ε 2
π
2
π 2
关于Wallis公式的证明
刘凯正∗ 2014.4.11
Wallis公式的形式:
(2n!!)2
π
lim
=
n→∞ (2n − 1)!! (2n + 1)!! 2
证明过程:
看到阶乘，首先想到排列组合，但变换后找不到思路。只能用老师提供的方法。
考虑定积分：
In =
π 2
sinnxdx
0
由数学分析知识可得到：
δε ·
2
2
2
π 2
−δ
sin2k xdx =
0
π 2
−δ
1 d sin2k+1 x <
sin2k+1
π 2
−δ
0
cos x
(2k + 1) cos
π 2
−δ
从(1)易知：
所以：
sin2k+1
π 2
−
δ
< sin2k
π −δ
δε ·
(2k + 1) cos
π 2
−
δ
2
2
从而：
π 2
−δ
sin2k xdx
>
0, ∃δ
>
0,当
|
π 2
−
x|
<
δ时,| sin x
− 1|
<
ε 2
.
则：
π 2
−δ
sin2k+1
xdx
+
0
1−
ε 2
π
2
π 2
−δ
sin2k
xdx
π 2
−δ
sin2k
xdx
+
0
π
2
π 2
−δ
sin2k
xdx
<
π 2
−δ
sin2k+1
xdx
+
0
π 2
−δ
sin2k
xdx
+
0
π
2
π 2
−δ
sin2k+1
−δ
sin2k
xdx
+
π 2
−δ
sin2k+1
xdx
−
(1
−
ε)
0
π 2
−δ
sin2k
xdx
0
π 2
−δ
sin2k
xdx
+
0
π
2
π 2
−δ
sin2k
xdx
下面考虑右边分式分子：
ε
π 2
π 2
−δ
sin2k xdx+
sin2k+1 xdx−(1 − ε)
π 2
−δ
sin2k xdx
>
ε
π 2
π 2
−δ