dsp数字信号处理课件第1章离散时间信号与系统

convolution in the time domain (时域卷积)
y ( t ) ( t ) x ( ) d h ( t ) * x ( t ) h

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3) the frequency response of the system （系统的频率响应）
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[3] Discrete-time Signal and System
1) 信号
x ( n ) x ( t ) | a t nT
Signal type :
a.δ(n) b. u(n) c. RN(n)
(j 0)n
n
d.
a u(n)
e. sin(ωn)
f.
e
g. x(n)=x(n+kN)
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例：求y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)系统性质
y1(n)=T［x1(n)］=ax1(n)+b
y2(n)=T［x2(n)］=ax2(n)+b y(n)=T[x1(n)+x2(n)]=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)≠y1(n)+y2(n) 该系统不是线性系统。
yn ( ) xn () s i n ( n ) 0 4
+
k = -

+
( k s )
1 P (t ) (t k T ) T k = -
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k = -

+
e
jk s t
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经过采样的信号可表示为：
jk s t 1 ˆ x ( t ) x ( t ) P ( t ) x ( t ) e T k
j t
x ( t ) X ( j ) ( t ) ed x

1 jk t s P ( t) e T k
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(t ) 1
F (t ) 2 f ( （ ) 时 频 对 偶 性 ） 1 2 ( ) 2 ( ) e e
u(n) 1 … n 0 1 2 3
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c.
RN(n) ----the rectangular sequence （矩形序列）
R 4 (n ) 1
n 0
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1
2
3
13
d.
a u(n) ----the exponential
（ 指数序列）
n
sequence
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[1]Ideal Sampler
i de a l a na l og x (t ) s ig n al T sa mp l er
s am p le d x (n T ) s ig n al
x(t) t
p(t)
ˆ (t ) x
t
t
T (sampling interval)
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Ideal sampler =P(t)
M N
y ( n ) a x ( n i ) b ( n i ) i iy
i 0 i 1
I. 差分方程的迭代解 II. 卷积和（线性卷积）
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b . h(n) ——impulse response (单位脉冲响应) c. H(z) —— system function (or transfer function) in the z-domain (z域系统函数或传递函数) z-transform
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e. sin(ωn) ----the sinusoidal sequence （正弦序列）
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f.
e
(j 0)n
- the complex exponential sequence （复指数序列）
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g.
x(n)=x(n+kN)---- the periodic sequence （周期序列）
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1.4 周期序列（复指数周期序列） 的判定方法及最小正周期的求法
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使 x(n) = x(n + N) , -∞ < n < ∞ 则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。
注意N要取整数。
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1.5 采样定理Sampling theorem
k = - j 0t j st
f (t ) F ( 0 )(频 移 性 质 ) 1 e
j st
2 ( s )

+
e
jk s t
2
jk s t
k = -

+
( k s )
1 T
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k = -

+
e
2 T
Time-invariant: 时不变特性 （非时变）
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y(n)=T［x(n)］
x ( n )
T [ ]
y ( n )
Linear system :
叠加性: T［ x1(n)+x2(n)］= y1(n)+y2(n) 齐次性: T［a x1(n)］=a y1(n) Time-invariant: y(n-n0)=T[x(n-n0)]
X ( j ) x ( t ) e


j t
dt
spectrum (pl. spectra) --- 频谱
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傅立叶变换存在的条件:



|x ( t)| dt
1 T f
2 f
(角频率-- the radian frequency )

采样信号的频谱为：
1 ˆ X ( j ) X ( j jk s ) T k
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采样后信号的频谱是原模拟信号频谱以采样 角频率Ωs 周期延拓的结果 [Example 1]
X(f) f
ˆ(f) X
....
s f f-3f s f-2f s f-f
H ( j ) h ( t ) e


j t
dt
h(t) H(jΩ)
系统输出的频谱
Y(jΩ)=H(jΩ) X(jΩ)
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4) 系统函数(传递函数):
H ( s ) h ( t ) e d t
st

系统的s域关系：
Y(s)=H(s) X(s) h(t) H(s)
IFT（The inverse Fourier transform of X(jΩ) 傅立叶逆变换
1 j t x ( t ) X ( j ) e d 2
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拉氏变换
The Laplace transform is defined by
X (s)
ˆ (t ) x
:
ˆ x ( t ) x ( t ) p ( t )
x ( t) (t nT )
n
x ( nT ) ( t nT )
n
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[2]周期性频谱periodic spectrum
discrete-time signal periodic spectrum (离散时间信号) ( 周期性频谱)
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1.1 离散时间信号与系统的概念
• 回顾：连续（模拟）系统及数学模型 • 离散信号与系统
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Review of Analog Signals
[1] FT / IFT , ST of signal
x(t) -- an analog signal (模拟信号） X(jΩ) --the Fourier transform of x(t) ( x(t) 的傅立叶变换) （FT）
k = -

+
( k s )
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基 本 傅 氏 变 换 对 ： 2 (t k T ) T k = - 2 s = 2 fs T + 2 (t k T ) T k = -
+ +
2 k ( ) T k = -
by
i 0 i
n
(i)
( t) ax ( t) i
(i) i 0
m
零输入响应、零状态响应的求解
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2) . h(t) ——impulse response (冲激响应)
l in ea r y (t ) x (t ) s ys te m i np ut o ut pu h (t )
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例：检查
y(n) = a x(n) + b
代表的系统是否是时不变系统 上式中a和b是常数。 解： y(n) = a x(n) + b y(n-n0) = a x(n- n0) + b y(n- n0) = T［x(n- n0)］ 因此该系统是时不变系统。
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第1章
离散时间信号与系统
• 掌握离散时间信号与系统的基本描述方法和数 字信号处理的基本概念。
1、离散时间信号与系统的概念 2、离散时间系统的特性及判断方法 3、掌握序列的表示法、序列之间的基本运算
4、周期序列（复指数周期序列）的判定方法及 最小正周期的求法 [教材第1章， 5、采样定理 4至28页]
H (z ) h ( n )z
n
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n
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1.2 离散系统的特性及判断方法
[1] 系统的线性与时变特性
1). Linear and Nonlinear System
Linear system : 齐次性与叠加性
2). Time-invariant and Time-varying System
| h(n) |
wenku.baidu.com

（线性、时不变系统）
III. H(z)的极点均位于Z平面单位圆内
（因果系统）
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1.3 掌握序列的表示法、序列之 间的基本运算
• 乘法、加法、移位、翻转、累加、差分及尺度 变换（抽取/插值）、卷积等 • 乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对 应相乘和相加



x(t )e e
s t
dt
x(t )e
Condition:
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t
jt
dt
e |x(t)


t
|dt
5
[2] mathematic models of system 系统的数学模型
1) . General I/O differential equation （输入输出微分方程）
[2] 系统的因果与稳定性
3） Causal and Noncausal System
causal system（因果系统）:
I. 响应不出现于激励之前 II. h(n)=0, n<0 （线性、时不变系统）
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4） Stable System
I. 有界输入导致有界输出
II.
n
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a. δ(n) ----the unit impulse sequence （单位 冲激序列或单位脉冲序列）
δ( n ) 1 n －1 0 (a) 1 2 3 0 (b) t
δ( t)
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b. u(n) ----the unit step sequence （单位阶跃序列）
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( n ) 和 x ( n ) 的线性卷积。 例： 求 x 1 2
解： （含基本运算 —— 乘 加）

y ( n ) x ( n ) * x ( n ) x ( m ) x ( n m ) 1 2 1 2
m
x 1 (n ) 2 1 01 2 n 1 01 2 n x 2 (n ) 2 1 01 2 3 4 y( n)
P ( t) ( t nT )
n

δ(t)----impulse function，delta function T----the sampling interval （采样间隔） x(t)----analogue signal
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Sampled signal
• 正弦序列：x(n+N) = A sin(ω0(n+N) + φ) = A sin(ω0n + ω0N + φ) 若周期性：x(n+N) = x(n) N ω0 = k 2π
• 需满足：
I. N为整数
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II.
N 2 k 0
为有理数
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2)
系统的数学描述
a.
General I/O difference equation （输入输出差分方程）