现代控制理论习题三

【习题3-2】已知二阶系统的状态方程： u(t )
a11 x a 21
a12 x a22
试确定系统在平衡状态出大范围渐近稳定的条件： 【解】： 系统的特征多项式为：
f ( s) ( s a11 )(s a22 ) a12 * a21 s 2 (a11 a22 ) s (a11 * a22 a12 * a21 )
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】
系统平衡状态为： xe
0 0 2 2 构造李雅普诺夫函数 V ( x) x1 x2
T
( x) 2a(1 x 2 ) x 2 0 V 2 2 x 0 , V ( x) 不恒为零， 系统在平衡状态稳定，因为对于 并且 x ,V ( x) , 是大范围渐近稳定。
【习题3-7】设线性系统的状态方程为
x1 (k 1) x1 (k ) 3x2 (k ) x3 (k 1) x1 (k )
x2 (k 1) 3x1 (k ) 2 x2 (k ) 3 x3 (k )
试确定其平衡状态的稳定性。
3 0 1 T G 3 2 3 系统平衡状态为： xe 0 0 0 0 0 1 19 / 78 10 / 39 1 / 2 T 由方程 G PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78 19 / 13 1 / 2 19 / 13 121/ 26
由于P的2阶主子行列式都大于零，而1，3阶主子行 列式小于零，故为负定函数。
（2）
1 1 1 x x T Px, Q( x) xT 1 4 3 1 3 1
由于P的1，2阶主子行列式都大于零，而3阶主子行 列式小于零，故为非定号函数。
第三章 稳定性理论及Lyapunov方法
§3-1 引言 主要知识点:
1、本章讲授内容，系统稳定的重要性，经典控制理 论中判断稳定性的方法及局限性。
2、现代控制理论中关于稳定性的概念，包括内部稳定（状
态稳定性）和外部稳定（输出稳定性或BIBO稳定性）。
§3-2 BIBO (有界输入有界输出)稳定
主要知识点:
【解】 不定号，因此系统不渐近稳定。
(1) Q( x) x 3x 11x 2 x1 x2 x2 x3 2 x1 x3
2 1 2 2 2 3 2 2 (2) Q( x) x12 4 x2 x3 2 x1 x2 6 x2 x3 2 x1 x3
【解】（1）
1 1 1 T T Q( x) x 1 3 0.5 x x Px, 1 0.5 11
1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§3-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点: 1、系统状态的运动和平衡状态 2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§3-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定
主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
【解】（1） 平衡状态为：
xe 0 0 2 2 V ( x ) x x 构造李雅普诺夫函数 1 2
T
2 2 V ( x) (2x1 6x2 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 大范围渐近稳定。
x ,V ( x) ,是
（2） 平衡状态为：
xe 0 0
T
构造李雅普诺夫函数
2 V ( x) x12 x2
2 2 V ( x) (2x1 2x2范围渐近稳定。
x ,V ( x) ,是
【习题3-6】设非线性系统方程为
1 x2 x 2 a(1 x2 ) 2 x2 x1 , a 0 x
系统在平衡状态大范围渐近稳定的充要条件是 系统矩阵的特征值都有负实部，即
a11 0, a22 0, a11 * a22 a12 * a21
u(t ) 【习题3-3】以李雅普诺夫第二方法确定下列系统原点的稳定性
1 1 (1) x 2 3 x 1 1 ( 2) x 1 1 x
§3-5 李雅普诺夫直接法
主要知识点: 1、预备知识，包括标量函数的符号性质、二次型标量函数和 西尔维兹判据 2、李雅普诺夫直接法的几个稳定性判据
§3-6 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
主要知识点: 1、线性定常连续系统的渐近稳定判据
2、线性定常离散系统的渐近稳定判据
【习题3-1】判断下列二次函数的符号性质