连续函数的基本性质

第八节 连续函数的基本性质

一．初等函数的连续性

（一）连续函数的运算性质

定理１：如果函数)(x f 、)(x g 均在点0x 处连续，则

（1）)()(x g x f βα+在点0x 处连续（βα,为常数）；

（2）)()(x g x f 在点0x 处连续；

（3）)

()(x g x f 在点0x 处连续（0)(0≠x g ）； x y sin =、x y cos =在区间),(+∞-∞内连续，

x x y cos sin +=、x x y cos sin ⋅=在区间),(+∞-∞内连续，

x x x y cos sin tan =

=在2

ππ+≠k x 处连续 （二） 反函数和复合函数的连续性 1．定理2：如果函数y ＝)(x f 在区间x I 上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反函数)(y x ϕ=也在对应的区间{}x y I x x f y y I ∈==),(|上单值、单调增加（或单调减少）且连续。

2．定理3：设函数)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0ϕ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=当0x x →时的极限存在且等于)(a f ，即()[]()a f x f x x =→ϕ0

lim 。 注：（1）将定理５中的条件：0x x →换为∞→x 时相应的结论也成立。

（2）如果函数)(x u ϕ=、)(u f y =满足定理５的条件，则有下式成立： ()[]()())lim (lim 0

0x f a f x f x x x x ϕϕ→→==。即在满足定理５的条件下，求复合函数()[]x f y ϕ=的极限时，函数符号和极限符号可以交换次序。

例1：求下列极限

（1）)arcsin(lim 2x x x x -++∞

→ （2）x

x x )1ln(lim 0+→ （3）x

x x μμ1)1(lim 0-+→ 定理4：设函数)(x u ϕ=在点0x x =连续，且()00u x =ϕ，而函数)(u f y =在点0u u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=在点0x x =也是连续。

（三）. 初等函数的连续性

定理5：基本初等函数在其定义域内都是连续的。

推论１：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

（所谓定义区间是指包含在定义域内的区间）

例2：求极限x

x x x arctan 4)2ln(lim 21-+→ 二．闭区间上连续函数的性质

1．最大值和最小值定理

（1）. 最大值和最小值的概念

设函数)(x f y =在区间I 上有定义，若存在I x ∈0，使得对I x ∈∀，都有

)()(0x f x f ≥（或)()(0x f x f ≤）

；则称)(0x f 为函数)(x f y =在区间I 上的最大值（或最小值）。

（2）. 最大值和最小值定理

定理6：在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值。

2．有界性定理

定理7：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

3．介值定理

（1） 零点定理（零值定理）

定理8：设函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上连续，且0)()( b f a f ；则至少存在一点()b a ,∈ξ，使得0)(=ξf （即函数)(x f y =在开区间()b a ,内至少有一个零点）。

（2）.介值定理

定理9：设函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值：A a f =)( 及B b f =)(；那末，对于A 与B 之间的任意一个数C ，至少存在一点()b a ,∈ξ，使得C f =)(ξ。

推论1：在闭区间上连续的函数必定取得介于最大值与最小值之间的任何值。 例1：证明方程：2ln =x x 在),1(e 内实根。

例2：证明方程：15=+x x 有正实根。

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