第五章 相似矩阵及二次型

第五章 相似矩阵及二次型

讲授内容：§5.1向量的内积

教学目的和要求：理解向量的内积，长度，角度，基的Schmidt 正交化过程 教学重点：向量的内积的运算及性质 教学难点：基的Schmidt 正交化过程。 教学方法与手段：传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程：

本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.

定义1.内积：设实向量),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β, 称实数 n n b a b a b a +++= 2211],[βα为α与β的内积．

算律：),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β, ),,,(21n c c c =γ (1) ],[],[αββα=

(2) ],[],[βαβαk k = （k 为常数） (3) ],[],[],[γβγαγβα+=+

(4) θα≠时, 0],[>αα；θα=时, 0],[=αα．

(5) ],[],[],[2

ββααβα⋅≤

证(5) R ∈∀t , 由0],[≥++βαβαt t 可得 0],[],[2],[2

≥++t t βββααα ⇒≤∆00],[],[4],[42

≤⋅-ββααβα ],[],[],[2

ββααβα⋅≤⇒

2．范数：设实向量α, 称实数 ],[ααα=

为α的范数．

性质：(1) θα≠时, 0>α；θα=时, 0=α． (2) αα⋅=k k )R (∈∀k

(3) βαβα+≤+

(4) βαβ

α-≤-

证(3) ],[],[2],[],[2

βββαααβαβαβα++=++=+

()

2

2

2

2β

α

β

βαα+=

++≤

证(4) )(,γαβγβαβαγ-+=+=⇒-=

γβαγβα≤-⇒+≤

γβαγαβ-≥-⇒-+≤)(

3．夹角：设实向量θα≠,θβ≠, 称 β

αβαϕ]

,[arccos = )0(πϕ≤≤ 为α与β之间

的夹角．

正交：若0],[=βα, 称α与β正交, 记作βα⊥． (1) θα≠,θβ≠时, βα⊥2

π

ϕ=

⇔；

(2) θα=或θβ=时, βα⊥有意义, 而ϕ无意义． 单位化：若θα≠, 称αα

α1

0=

为与α同方向的单位向量．

定义2. 当=0时，称向量与正交．（显然，若

=0，则

与任何向量都正交）．

向量的正交性可推广到多个向量的情形.

定义 3. 已知

个非零向量，若

=0

，则称

为正交向量组．

定义4. 若向量组

为正交向量组，且|

|=1，则称

为标准正交向量组．

例如，维单位向量组=

，

，

是正交向量组．

正交向量组有下述重要性质：

定理1 正交向量组是线性无关的向量组．

定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组． 4．正交基：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 若)(0],[j i j i ≠=αα, 称r αα,,1 为V 的

正交基；若还有),,2,1(1

r i i ==α,称r αα,,1 为V 的标准正交基．

例如：n

R 的标准正交基为n e e ,,1 ．

特点：向量空间V 的正交基为r αα,,1 , 对于V ∈∀α, 有 r r x x ααα++= 11：),,2,1(]

,[],[r i x i i i i ==

αααα

当r αα,,1 为标准正交基时, 有 r r x x ααα++= 11：),,2,1(],[r i x i i ==αα

6．Schmidt 正交化过程：

定理2 设向量组

线性无关，由此可作出含有

个向量的正交向量组

，其中，

，

，

……

.

再取

则

为标准正交向量组．

上述从线性无关向量组

导出正交向量组

的过程称为施密

特（Schimidt ）正交化过程．它不仅满足与等价，还满足：对任

何

，向量组

与

等价．

设向量空间V 的基为r αα,,1 , 令 11αβ=, 01≠β

12122βαβk +=, 02≠β （否则21,αα线性相关）

]

,[],[0],[11122112βββαββ-

=⇒=k

13123233ββαβk k ++=, 03≠β （否则321,,ααα线性相关）

]

,[],[0],[11133113βββαββ-

=⇒=k

]

,[],[0],[22233223βββαββ-

=⇒=k

………………

1111,ββαβr r r r r r k k +++=-- , 0≠r β （否则r αα,,1 线性相关）

)1,,2,1(]

,[],[0],[-=-

=⇒=r j k j j j r rj j r βββαββ

结论：r βββ,,,21 两两正交且非零⇒r βββ,,,21 线性无关 ⇒r βββ,,,21 是V 的正交基 ⇒令j j

j u ββ1

=

, 则r u u u ,,,21 是V 的标准正交基

例1 把向量组=（1，1，0，0），

=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化为标准

正交向量组． 解 容易验证

，

，

是线性无关的.

将

，，正交化，令

=，

=

，

再把

单位化

，

则

即为所求的标准正交向量组． 定理3 若

是维正交向量组，，则必有维非零向量，使

，

成为正交向量组．

例2 已知T

)1,1,1(1=α，求一组非零向量

，使，，成为正交向量组.