第8章_膜、板、壳结构的有限元法

西安工程大学
计算机辅助工程 CAE 讲稿 第 8 章 膜、板、壳结构的有限元法
王益轩编著 2005 年 8 月
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k y
uk vk wk θkx θkx
o z
ui vi wi
uj vj wj θjx θjy
图 8­4
平面 3 节点 15 个自由度的三角形壳单元
8.4
SHELL63 单元描述
（8­5）
Y
O L
t
X
图 8­1 梁受弯曲力矩作用的变形（a）
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y x
y u
θ
局部放 大
M
M
中性层的挠曲 线 f(x)
图 8­1 梁受弯曲力矩作用的变形 （b）
M
z x y
M
M
（a）
z M y x L M t
8.3 壳结构单元基础理论
壳单元能承受拉伸应力与弯矩力，也就是膜单元与板单元合并后的单元，以三角形单元为例来说， 单元的应变位移关系式（几何关系）与三角形板单元完全相同，只不过每个节点具有5 个节点位移（三 个平动位移，两个转角） ，即 5 个自由度，单元共有 15 个自由度，假设位移模式中应包含 15 个任意常 数。单元图形如图 8­4 所示。推导过程从略，由读者自己推导。
ANSYS 结构分析中的板壳单元 SHELL63
8.4.1
图 8­5 SHELL63 板壳单元
SHELL63 称为弹性壳，因为它只支持线性弹性的材料模式； ANSYS 另有其它 shell 单元可以支持更 广泛的材料模式。SHELL63 有 4 个节点（I, J, K, L） ，每个节点有 6 个自由度：3 个位移（UX, UY, UZ） 及 3 个转角（ROTX, ROTY, ROTZ） ，所以一个单元共有 24 个自由度。若 K、L 两个节点重迭在一起时， 它就退化成一个三角形，如图 8­5 右图所示。I­J­K­L 四个节点假设是共平面，若不共平面则以一最接近 的平面来修正这四个节点。注意，这种修正当然会引进一些误差，所以对那种曲率很大的板壳结构而 言， 必须使用较细的单元。 SHELL63 的单元坐标系统表示在图 8­5 中， 原点是在 I 节点上， X 轴和 I­J 边可以有一角度差 （THETA，
N2
N3
N4
N5
N6
N7
N8
wi xi yi w j N9 xj yj w k xk yk
（8­9）
定义应变矩阵为：
2 2 x 2 B 2 N1 y 2 2 xy
8.2 板结构单元基础理论
8.2.1 梁的弯曲变形 当一梁受一弯曲力矩作用时，如图 8­1 所示，梁的中性层弯曲变形的挠曲线方程为 f(x), 根据梁变形 的平面假设，梁上任意点（x，y）的横截面将转动，变形后仍然保持为平面，旋转角等于该点处的挠曲 线的斜率。 即

f ( x ) f ( x) x f ( x ) x
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第8章 膜、板、壳结构的有限元法
本章的主要目的是介绍膜、板、壳结构有限元分析的基本概念和基础理论。并简要介绍 ANSYS 结 构分析中的相关单元。主要讨论内容如下： 概述 膜、板、壳结构有限元的基础理论 ANSYS 结构分析中的板壳单元 ANSYS 板壳单元浏览 膜、板、壳结构分析时的注意事项
w x, y ，我们根据板弯曲变形的的受力图 8­2，可推得板弯曲变形时的 Y 截面（截面法线和 Y 轴一致）
旋转角和 X 截面（截面法线和 X 轴一致) 的旋转角分别为（假设为薄板） x , y ,
w x y w y x
板上任一点(x, y, z)在 x 方向和 y 方向的变形分别为 u ,v,
(8­3)
w u ( x, y ) z y z x v( x, y ) z x z w y
(8­4)
薄板的弯曲变形符合平面应力假设，根据平面应力问题的几何关系（应变与位移关系）式（ 7­2）可 得板弯曲变形的几何关系为：
2 w 2 u 2 2 x x x x 2 w 2 v ε y z 2 z 2 w y y y xy u v 2w 2 2 2 y x xy xy
（8­6b)
k y
wk θkx θkx
wi θxi θyi
o z
i
j
wj θjx θjy
x
图 8­3 平面 3 节点 9 个自由度的三角形板单元
式（8­6）写成矩阵形式：
2 y2 x 2 y xy 2 x3 w 1 x y xy x w x 0 0 1 x 0 2y x2 2 xy 0 y 0 1 0 y 2 x 0 (2 xy y 2 ) 3 x 2
8.1 概述
当一个 3D 实体结构的厚度不大 （相对于长宽尺寸） ， 而且变形是以弯曲为主时 （亦即非面内的变形） ， 这种结构称为板壳结构，此时我们可以用板壳单元来建模这个问题。用板壳单元（而不用 3D 实体单元） 来建模板壳结构主要的优点就是节省计算时间，并且增加解答精度。 板壳单元的特点是弯曲通常主宰其行为，譬如其应力通常大部份来自于弯曲应力，就如同梁结构一 样。事实上，板壳单元和梁结构非常相似，主要的差异在于板壳单元承受双向弯曲，而梁单元只有单 向 的弯曲。推导板壳单元的过程也和梁单元非常相似。当一片薄板承受弯曲时，原来是平面的一个断面， 弯曲后还是假设维持一个平面，换句话说，剪力变形假设可以忽略的。注意，当你使用实体单元（如 SOLID45）时，并没有这种(平面维持平面)的假设。 膜类结构单元仅承受面内拉伸或张力载荷（如织物、鼓面等） ，仅有平面应力，即
w a1 a2 x a3 y a4 xy a5 x 2 a6 y 2 a8 x 3 a9 y 3
可求得转角为：
（8­6a）
w x a3 a4 x 2a6 y a7 ( x 2 2 xy ) 3a9 y 2 y w a a y 2 a x a (2 xy y 2 ) 3a x 2 y 2 4 5 7 8 x
节点位移向量为：
N2
N3
N4
N5
N6
N7
N8
N9
（8­10）
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wi xi yi wj e δ xj yj w k xk yk
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代入位移模式（8­6）就可得如下式：
w w x N1 y
N2
N3
N4
N5
N6
N7
N8
wi xi yi wj N 9 xj yj w k xk yk
M
M
z M y x L t
（b）
（c）
图 8­2 板受弯曲力矩作用的变形
3 节点 9 自由度三角形板单元 1．单元位移模式 在分析板中，板仅承受弯曲力矩（即纯弯曲） ，在受弯曲力矩作用后产生 z 轴方向的位移 w 以及对 x
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U e δ B DB K V δe
由式（8­14）可得：
T
z 2 dV
e

（8­14）
K BT DBz 2 dV
V
（8­15）
5．单元应力
εB D σ S δ
式中 S 为应力矩阵，
z
e

e
（8­16）
S zDB
（8­17）
至于 4 节点 12 自由度的矩形板单元的有限元公式推导方法和前述完全相同， 只是位移模式中含有12 个任意常数。这里从略，由读者自己推导。
（8­1）
该点沿 x 方向的变形（位移）为(假设梁的深度 t 符合浅梁的规定） ：
u y y
（8­2）
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8.2.2 板的弯曲变形 和梁的变形一样，薄板的变形仍然按平面假设来推导，板的中性层平面弯曲变形的挠曲面方程为
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轴与 y 轴的旋转角 x 与 y ，x 方向和 y 方向的变形 u 和 v 忽略不计，板单元如图 8­3 所示，3 个节点， 每个节点具有 3 个自由度，共 9 个自由度，节点分别为 i, j , k ，因为 9 个位移分量为未知，因而假设的 位移模式中应包含 9 个任意常数，位移模式假设如下：
a1 a 2 a3 y 3 a4 3 y 2 a5 0 a6 a7 a8 a9
（8­7）
与前面平面应力问题推导相同，将 9 个节点位移 wi , xi , yi , w j , xj , yj , wk , xk , yk 和 i, j , k 节点坐标分别 代入式（8­7）可得 9 个方程，求得 9 个常数 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 的表达式（省略） ，
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可以通过过 R 命令输入） ， X­Y 平面是在 I­J­K­L 四个节点所定义的平面上， Z 轴则由右手规则依 I­J­K­L 顺序决定。你如果要指定面力（surface force）时，你可以参照 6 个面，其编号如图所示，作用在第 1、2 面的力称为面外力（out­of­plane force） ，作用在第 3、4、5、6 面（边）的力称为面内力（in­plane force） 。 当你指定压力作用在第 1 个面时，力量是从下面往上（+Z 方向） ，若是压力作用在第 2 个面则是由上面 往下（­Z 方向） 。 注意， SHELL63 是解 3D 结构的单元， PLANE42 是解 2D 结构的单元。使用 PLANE42 等单元时， 不允许有任何的 out­of­plane 的负载。如果有 out­of­plane 的负载时，请使用板壳单元。 8.4.2 SHELL63 输入数据
z xz yz 0 , 与前面第 7 章介绍的 2D 平面结构单元问题完全相同，这里不再介绍。
板结构单元与壳结构单元的主要区别就是板单元仅产生弯曲变形，而壳结构单元则能承受面内拉 伸 应力和弯曲应力，也就是板单元与膜单元合并后的单元。 ANSYS 程序中膜、板、壳单元是同一个单元，即壳单元，通过约束可实现板或膜单元。
（8­8）
式中 N1 N 9 为三角形板单元的形函数。 2．应变矩阵与位移场的关系 将（8­8）代回（8­5）式可得：
2 2 x x 2 ε y z 2 N1 y xy 2 2 xy
因而， （8­9）式可写为：
（8­11）
δ z B ε
3。板的应变能 应变能为：
e
（8­12）
U
V
1 T 1 B DB D ε σ δ dV V 2 2
T
dV
V
1 2
e T

T
z dV
e 2
（8­13）
式中 D 为平面应力问题的弹性常数矩阵，由式（7­3c)确定。 4．刚度矩阵 利用最小势能法可求出刚度矩阵：