趣味拓扑学
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趣味Biblioteka Baidu扑学
拓扑学是现代几何学中最年轻最奔放无羁 的分支之一。它的一些稀奇古怪的图形— —单侧曲面、无“内部”的封闭瓶子、里 侧翻在外面的内胎——是如此不可思议， 它们似乎不是由沉着冷静的数学家而是由 科学幻想小说家发明的。
什么是拓扑学?它研究的是图形经过我们无 论怎样的扭曲、拉伸或压缩仍然保持不变 的性质。对于一位拓扑学家来说，一个三 角形和一个圆没什么两样，因为如果我们 设想这个三角形是用绳子做成的，我们就 能容易地把这绳子拉成一个圆的形状。假 设我们有一个炸饼圈(拓扑学家称之为环面)， 它是用能让我们随意模压成型但既不会自 身粘连又不可能断裂的塑性材料制成的。
扑学的一个基本定理叫做约当曲线定理(它 是用法国数学家卡米耶· 约当的姓氏命名的)。 这个定理指出，任何的简单闭曲线(一条两 端相接并且不自身相交的曲线)都把一个平 面分成两个区域——一个外部和一个内部。
简单闭曲线的所有“内部”区域相互之间 被偶数条线隔开。“外部”区域之间也是 如此。而任何一个内部区域与任何一个外 部区域之间，则被奇数条线隔开。零被认 为是偶数，因此两个区域之间如果没有线 隔开，它们当然是在曲线的同十“侧”， 于是我们的定理依然成立。
你也许会认为，在经过我们拉伸、弯曲， 使之充分变形之后，这个炸饼圈原来的性 质将荡然无存。可是有许多性质确实保存 了下来。例如，它总是有一个洞。这种不 变的性质就是它的拓扑性质。它们与大小 无关，也与通常所理解的形状无关。它们 是最深层次的几何性质。 许多趣题实际上是属于拓扑学的范围。
你能用铅笔仅3笔就画出如下的图形吗?任 何一条线都不允许你画两次。除了一小段 线段之外，图形的所有其他部分都能容易 地画出来 ，但是整个图形能否用3笔画出来 呢?如果不能，那么为什么不能?
有没有什么办法，你能脱下毛线衫，把它 的里面翻到外面，然后再穿上去呢?别忘了， 毛线衫是没有扣子的，而且绳子不许解开， 也不许剪断。
答案 有办法。按照如下的步骤，这件毛线衫就可以翻个面： (1)把毛线衫拉过头脱下，这样一来它就翻了个面，让 它里面向外地挂在绳子上，如图1所示。 (2)把毛线衫从它一只袖子中塞过去，这样它又翻了个 面。现在它正面向外地挂在绳子上(图2)。 (3)逆着把毛线衫脱下来时的做法，再把毛线衫套过头 穿上。这就让毛线衫第三次翻了个面，使它反面朝外地穿 在你的身上。 在你尝试之前，看看你是否能够在脑海中呈现这个过程。 如果你毛线衫胸前绣有学校名称的字样，在你完成上述3 个步骤以后，这些字样是贴着你的前胸还是后背?
拓扑学是现代几何学中最年轻最奔放无羁 的分支之一。它的一些稀奇古怪的图形— —单侧曲面、无“内部”的封闭瓶子、里 侧翻在外面的内胎——是如此不可思议， 它们似乎不是由沉着冷静的数学家而是由 科学幻想小说家发明的。
什么是拓扑学?它研究的是图形经过我们无 论怎样的扭曲、拉伸或压缩仍然保持不变 的性质。对于一位拓扑学家来说，一个三 角形和一个圆没什么两样，因为如果我们 设想这个三角形是用绳子做成的，我们就 能容易地把这绳子拉成一个圆的形状。假 设我们有一个炸饼圈(拓扑学家称之为环面)， 它是用能让我们随意模压成型但既不会自 身粘连又不可能断裂的塑性材料制成的。
扑学的一个基本定理叫做约当曲线定理(它 是用法国数学家卡米耶· 约当的姓氏命名的)。 这个定理指出，任何的简单闭曲线(一条两 端相接并且不自身相交的曲线)都把一个平 面分成两个区域——一个外部和一个内部。
简单闭曲线的所有“内部”区域相互之间 被偶数条线隔开。“外部”区域之间也是 如此。而任何一个内部区域与任何一个外 部区域之间，则被奇数条线隔开。零被认 为是偶数，因此两个区域之间如果没有线 隔开，它们当然是在曲线的同十“侧”， 于是我们的定理依然成立。
你也许会认为，在经过我们拉伸、弯曲， 使之充分变形之后，这个炸饼圈原来的性 质将荡然无存。可是有许多性质确实保存 了下来。例如，它总是有一个洞。这种不 变的性质就是它的拓扑性质。它们与大小 无关，也与通常所理解的形状无关。它们 是最深层次的几何性质。 许多趣题实际上是属于拓扑学的范围。
你能用铅笔仅3笔就画出如下的图形吗?任 何一条线都不允许你画两次。除了一小段 线段之外，图形的所有其他部分都能容易 地画出来 ，但是整个图形能否用3笔画出来 呢?如果不能，那么为什么不能?
有没有什么办法，你能脱下毛线衫，把它 的里面翻到外面，然后再穿上去呢?别忘了， 毛线衫是没有扣子的，而且绳子不许解开， 也不许剪断。
答案 有办法。按照如下的步骤，这件毛线衫就可以翻个面： (1)把毛线衫拉过头脱下，这样一来它就翻了个面，让 它里面向外地挂在绳子上，如图1所示。 (2)把毛线衫从它一只袖子中塞过去，这样它又翻了个 面。现在它正面向外地挂在绳子上(图2)。 (3)逆着把毛线衫脱下来时的做法，再把毛线衫套过头 穿上。这就让毛线衫第三次翻了个面，使它反面朝外地穿 在你的身上。 在你尝试之前，看看你是否能够在脑海中呈现这个过程。 如果你毛线衫胸前绣有学校名称的字样，在你完成上述3 个步骤以后，这些字样是贴着你的前胸还是后背?