隔项等差等比数列

隔项等差、等比数列
1. （隔项等差、等比数列求和）秋末冬初，流感盛行，我市某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{}n a ，1221,2,1(1)n n n a a a a +==-=+-且 (n ∈N )，该医院30天入院治疗流感的人数有（ ） A.253 B. 254 C. 255 D.256
解析 因为1221,2,1(1)n n n a a a a +==-=+-且所以n 为奇数时2n n a a +=；n 为偶数时2-=2n n a a +；即奇数项为常数列，偶数项为2为首项，2为公差的等差数列，所以总和为255. 2. （隔项等差、等比数列求和）已知数列{}n a 中12-22,3,=+3n n a a a a ==且（n 3≥） (1)求数列{}n a 的通项公式n a （2）求数列{}n a 的前n 项和n S
解析 （1）由-2=+3n n a a （n 3≥）得-2-=3n n a a （n 3≥）即{}n a 从第3项起，每一项与它的前2项的差都等于3，所以它是公差为3的隔两项的等差数列，从而有n 是奇数时
1n 131=+22n n a a ++⨯（
-1）3=； n 是偶数时2n 3=+22
n n
a a ⨯（-1）3= 所以 3n 1 n 23n
2
=n n a +⎧⎨⎩是奇数
是偶数 （2）n 是偶数时 n 1231n n S a a a a a -=+++⋅⋅⋅++=（131n a a a -++⋅⋅⋅+）+（24n a a a ++⋅⋅⋅+） =
1n 3(1)1131
23=n(34)2222224n n n n -+⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦ n 是奇数时 n 1231n n S a a a a a -=+++⋅⋅⋅++=n-1+a n S =[]1
311
3(1)4=(n+1)(31)4
24
n n n +-++
+（n-1） 1
n(3n+4) n 4
1
(n+1)(3n+1) n 4=n S ⎧⎨⎩ 是偶数是奇数
3. （隔项等差、等比数列求和）
已知数列{}n a 中1224,5,=(-)2n n n a a a a +==且，求数列{}n a 的通项公式n a
解析 由2题可以总结得到，隔两项等比数列的通项公式为1
2112
222 a q n a q =n n n
n a --⎧⎨⎩是奇数
是偶数
因为2=(-1)
2n
n n a a +，所以n 是奇数时
2n n a a +=-2； n 是偶数时2n n
a
a +=2
所以
()1
22
24-2 n 52 =n n n n a --⨯⨯⎧⎨⎩是奇数
是偶数
4、数列{}2
21221,2,(1cos
)sin ,1,2,3,.22
n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足
(Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21
122,.n n n n n
a b S b b b a -=
=+++证明：当1
62.n n S n
≥-<时，
解 (Ⅰ)因为2
2
123111,2,(1cos
)sin 12,2
2
a a a a a π
π
===++=+=所以
2222(1cos )sin 2 4.n a a a ππ=++==
一般地，当*21(N )n k k =-∈时，2
22121(21)21
[1cos ]sin 22
k k k k a a ππ+---=++ ＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=
所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -= 当*2(N )n k k =∈时，2
2222(1cos
2.2
k k k a a π
+=+= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k k a =
故数列{}n a 的通项公式为*
2*21,21(N ,2
2,2(N .
n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2122,2
n n n a n
b a -=
= 23123,2222n n n
S =
++++ ① 2241112322222n n n
S +=++++ ② ①-②得，23111111.222222
n n n n
S +=++++-
21111[1()]
1221.122212
n n n n n ++-=-=---
所以11222.222n n n n
n n S -+=--=- 要证明当6n ≥时，12n S n -=成立，只需证明当6n ≥时，(2)
12
n
n n +<成立. 证法一
(1)当n =6时，66(62)48312644
⨯+==<成立.
(2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即
(2)
1.2k
k k +< 则当n =k +1时，
1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)
1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k
++++++++=⨯<<++
由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2(1)12n n +<，即当n ≥6时，1
2.n
S n
-< 证法二
令2(2)(6)2n n n c n +=
≥，则2
1121(1)(3)(2)30.222
n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，6683
1.644
n c c ⨯≤=
=< 于是当6n ≥时，
2
(2)
1.2n n +< 综上所述，当6n ≥时，1
2.n S n
-<。