高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用
一、选择题
1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）
是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (
2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）
0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=
3、的凸区间是 x e y x -=（ ）
) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞
4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）
(A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2
x )x (f = (D)1x )x (f 2+=
5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值
6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）
(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]
5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）
(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，
8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3
x 3sin3x asinx f(x)π=+
=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)
3 π
(D) 0
10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）
]
5 4
, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (-
-- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）
的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点
，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000
二、填空题 1、__________________e
y 82
x
的凸区间是曲线-=．
2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．
3、的凸区间为曲线
x 3 e y x
+=
_____________________ ．
4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ．
5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ．
6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ．
7、函数 x sin ln y =在 [
6
5
, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． 8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

11、y ＝x ＋ x 1 - ，－51x ≤≤ 的最小值为 ． 12、x x y -= 的单调减区间是 ． 13、x arctan x y -= 在且仅在区间______________上单调増． 14、函数f(x)＝x ＋2cosx 在区间 [ 0 ,
2 π
] 上的最大值为 ． 15、函数y ＝3x 4x x 223+-+ 的单调减少区间是 ．
16、已知点（1，3）是曲线 23bx ax y += 的拐点，则a= ，b= ． 17、的单调递减区间为 e e 2)x (f x x -+= . 三、计算题
1、的极值和单调区间求函数 4x 9x 6x y 23-+-=。

2、求极限 )
1x x
x ln 1(
lim 1
x --→． 3、求函数y ＝23x 4x x 23+-+的单调区间、凹凸区间、拐点． 4、设常数0k >，试判别函数()ln x
f x x k e
=-+在()0,+∞内零点的个数． 5、求函数 10x 6x 2
3x y 2
3+--= 的单调区间和极值．。

6．)
1 - e 1
x 1
(lim x 0
x -→． 7．[]上的最大值与最小值在求函数 1 , 1 x 45 y --=． 8．求曲线x
x
y ln =
的单调区间和凹凸区间.． 9. 求曲线34223+-+=x x x y 的单调区间和凹凸区间. 10．求函数 x x e y -= 图形的凹凸区间及拐点．
11、的拐点求曲线 3
{ 3
2t
t y t x +==. 12、求函数 4x 9x 6x y 23-+-= 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．
13、[]上的最大值、最小值，
在求函数 41 27x 18x 6x 2y 23+--=． 14、的单调性和凹凸性讨论函数 )x (1ln f(x ) 2+= 15、讨论函数x
x ln )x (f =
的单调性和凹凸性．
16、 求曲线 )1ln(2x y +=的凹凸区间和拐点．
17. 求函数282
4
+-=x x y 在区间]3,1[-上的最大值与最小值． 18. 求函数 133+-=x x
y 在区间 [-2，0]上的最大值和最小值．
19. 试确定常数a 、b 、c 的值，使曲线 c bx ax x y 23+++= 在x= 2处取到极值，且与直线 3x 3y +-= 相切于点（1 ，0）．
四. 综合题(第1-2题每题6分，第3题8分，总计20分)
1．证明：当x )2
,0(π
∈时，(sin )(cos )x x x > ．
2、 x 1 ) x 1 x ( ln x 1 0x 22+>+++>时，当．
3、证明： 2
cot arctan π
=
+x arc x ．
4、设 )x ( ϕ 在 [0,1] 上可导，f(x)＝(x －1))x ( ϕ，求证：存在x 0∈(0，1)，使)0( )x ( f 0ϕ=’
． 5、 试用拉格朗日中值定理证明：当 0b a >> 时，
b
b
a b a ln a b a -<<- ． 6、 证明：当0>x 时，x
x
x +>
+1arctan )1ln(．
7、 x )x 1ln(x
1 x
, 0 x <+<+>时证明：当． 8、证明：当x>0时，有 1+
x 1 x
2 1
+> ． 9、证明当x sin 6
x x 0x 3
≤-≥时，．
10、 证明：若 0 x >，则x
1 x
)x 1 (n l +>+ ． 11、)1ln(2
1 2
x x x x +<->时，证明：当 12、证明：多项式
13)(3+-=x x x f 在 [ 0，1 ] 内不可能有两个零点．
13、证明当
x 13 x 2 1x -
>>时，. 14、x cos x sin x 2
x 0 >π<<时证明：当
答案： 一、选择
1、A
2、D
3、A
4、D
5、D
6、B
7、A
8、C
9、B 10、A 11、A 二、填空 1、[2,2]- 2、1
ln 2
x =-
3、()(),33,2-∞-⋃--
4、2
5、39,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
6、2,1
7、2π
8、1 9、1ln 2-
10、1ln 2
-
11、5- 12、1x 4
< 13、-14 14、
36
+π
15、）上单调递减，在（3
2
1-
16、29,23-
17、
)2ln 2
1
-∞-，（ 三、计算题
1、解：令231293(3)(1)0,y x x x x '=-+=--=可得驻点：121,3x x == ……2分 列表可得
函数的单调递增区间为(,1)(3,)-∞+∞，单调递减区间为(1,3) ……5分 极大值为1|0,x y ==极小值3|4x y ==- ……7分
2、解：原式 ＝1
111ln ln ln 1
lim
lim lim 1(1)ln ln 12ln 1x x x x x x x x x x x x x x x
→→→----===--+-+-
……6分
3、解：令26242(32)(1)0,y x x x x '=+-=-+=可得驻点：122
1,3
x x =-= ……2分 列表可得
函数的单调递增区间为2(,1)(,)3
-∞-+∞，单调递减区间为2
(1,)3- ……4分
又令1220y x ''=+=得31
6
x =-. ……5分
所以凸区间为1(,)6-∞-,凹区间为1(,)6-+∞.拐点为119
(,3)627
-. ……7分
4、解： 11
()f x x e
'=- ……1分
当(0,)x e ∈时,()0f x '>,所以()f x 在[0,]e 上单调增加; ……2分 又()0f e k =>,x 充分接近于0时, ()0f e <, ……3分 故()f x 在(0,)e 内有且仅有一个零点. ……4分 同理, ()f x 在(,)e +∞内也有且仅有一个零点. ……6分
5、解：解23363(2)(1)0,y x x x x '=--=-+=可得驻点：121,2x x =-= ……2分 列表可得
函数的单调递增区间为(,1)(2,)-∞-+∞，单调递减区间为(1,2)- ……5分 极大值为127
|,2
x y =-=极小值2|0x y == ……7分
6、解： 原式＝01
lim x x x e x xe x →--- ……2分
＝01
lim 1
x x x x e xe e →-+- ……4分
＝01
lim 22
x x x x e xe e →=+ ……6分
7、解 ： 当x 单调增加时，函数()54g x x =-单调减少，
所以函数()y x = ……2分
在区间[1,1]-函数()y x =
所以当1x =-时，函数取得最大值max 3y y ==； ……4分 所以当1x =时，函数取得最小值min 1y y ==。

……6分
8、解 ： '2
1ln ,x y x
-=
令'
0y =，于是x e =。

当0x e <<时，'0y >，函数单调增加；
当e x <时，'0y <，函数单调减少。

……2分 所以函数的单调增区间为：(0,)e ；
函数的单调减区间为：(,)e +∞。

……4分
而 ''
3
2ln 3,x y x
-=令''
0y =，于是3
2x e =。

……5分 函数的凸区间为：32
(0,)e ；函数的凹区间为：32
(,)e +∞。

……6分
9、解： 因为
'26242(1)(32)y x x x x =+-=+-，
所以令'0,y = 得到122
1,3x x =-=。

……2分 函数的单调增区间为： 2
(,1),(,)3-∞-+∞；
函数的单调减区间为： 2
(1,)3
-。

……4分
又由于
''122y x =+，
于是函数的凸区间为：1
(,);6-∞-
函数的凹区间为：1
(,)6
-+∞。

……6分
10、解：因为：
''',(2)x x x
y e xe y x e
---=-=-， (2)
分
令
'''0,0y y ==，得到： 121, 2y y ==。

所以函数的单调增区间为：(,1)-∞，
函数的单调减区间为：(1,)+∞。

……4分
函数的凸区间为：(,2)-∞，
函数的凹区间为：(2,)+∞。

函数的拐点为：2(2,2)e -。

……6分
11、解：322224)1(3 ,233t t dx y d t t dx dy -=+= ……3分 令04)
1(3 3
222=-=t t dx y d 得 1,121=-=t t 从而得曲线的可能拐点为
)4 ,1( )2 ,1(和-，又二阶导数在该两点左右异号。

所以 )4 ,1( )2 ,1(和- 为曲线的
拐点 ……6分
12、解： 令.3,1 x ,0)3)(1(39123'212===--=+-=x x x x x y 得 令 .2 ,0126''3==-=x x y 得 ……3 分 列表如下
……7分
13、解： 令 3 ]4,1[10)3)(1(618126'212=∉-==-+=--=x x x x x x y （舍去），
，得驻点 ……3分 比较函数在端点和驻点处的函数值，得[]上的最大值、最小值，
在函数 41 271862 23+--=x x x y 为 32,27max min =-=y y ……6分
14、解： 令0)
1()
1(2)('',012)('2
222=+-==+=x x x f x x x f ， 得1,0,1321==-=x x x ， …….3分
15、解： 3
23
12,0ln 3)('',,0ln
1)('e x x
x x f e x x x x f ==+-===-=得得 …….6分
16、解： 2222)1()
1(2'',12'x x y x x y +-=
+=，拐点为 )2ln ,1(),2ln ,1(- ……4分 凹区间为),,1()1,(+∞--∞和 凸区间为（-1，1） ……6分
17、解：由于 )2)(2(41643
-+=-='x x x x x y ……2分
所以，函数在[-1，3]上的驻点为2,0==x x 。

……3分 当x=0时，y=2,x=2时，y=-14 ……5分 而x=-1时，y=-2, x=3时，y=11 ……7分 所以函数的最大值为11，最小值为-14 ……8分
18、解：由于 )1)(1(3332
-+=-='x x x
y ……2分
所以，函数在[-2，0]上的驻点为1-=x 。

……3分 当x=-1时，y=3 ，而x=--2时，y=--1, x=0时，y=1 ……5分 所以函数的最大值为3，最小值为-1 ……6分
19、解：根据已知条件得2
221|(32)|1240 dy |323
dx 10x x x dy x ax b a b dx a b a b c ===⎧=++=++=⎪⎪
⎪
=++=-⎨⎪
+++=⎪
⎪⎩ …… 4分
解上面方程组得⎪⎩
⎪
⎨⎧==-=203c b a ……7分
四、综合题
（1）证：令 1()sin cos sin 22
F x x x x x x =-=-，(0,)2x π
∈
显然()F x 在区间(0,)2
π
上连续的，可导的。

并且(0)0.F = ……2分
由于
'()1cos 2F x x =- ，
对于任意的(0,)2
x π
∈，'()0F x >。

所以函数()F x 在区间(0,)2π
上单调增函数。

……4分
于是对于任意的(0,)2x π
∈，有
()(0)0F x F >=，
即为：
sin cos .x x x > ……6分
（2）证： 令 )0(0)1ln()(',0)0(,1)1ln(1)(222>>++==+-+++=x x x x f f x x x x x f 则 所以 x 1 ) x 1 x ( ln x 1 0x 22+>+++>时，当
（3）证： 令 0)(',cot arctan )(=+=x f x arc x x f 则 ……4分 所以 f (x) 恒为常数， 又2
4
4
)1(π
π
π
=
+
=f ，从而2
cot arctan )(π
=
+=x arc x x f ……6分
（4）证： 因为)x ( ϕ 在 [0,1] 上可导，所以f(x)＝(x －1))x ( ϕ在[0，1]上连续，在（0，1）内可导。

…… 4分 根据拉格朗日中值定理，至少存在一点x 0∈(0，1)，使)0(0
1)
0()1()('0ϕ=--=
f f x f ……8分
（5）证：设x x f ln )(=，则x
x f 1)(=' ……1分
对b a ln ln -用拉格朗日中值定理得 ))((ln ln b a f b a -'=-ξ，其中),(a b ∈ξ ……4分 而b
b a b a b a f a b a -<
-=-'<-ξξ))((，所以b b
a b a ln a b a -<<- ……6分
（6）证：令x x x x f arctan )1ln()1()(-++= …… 1分 则2
11
1)1ln()(x
x x f +-
++=' 。

…… 3分 因为当0>x 时，0)1ln(11
1)1ln()(2
>+>+-
++='x x
x x f ， …… 4分 所以)(x f 在),0(+∞上是严格单调连续递增函数，并且0)0(=f ， …… 5分 故当0>x 时，0)(>x f ，即x
x
x +>+1arctan )1ln(。

…… 6分
（7）证：令x
x f x x f +=
'+=11
)(),1ln()( …… 1分 对1ln )1ln()(-+=x x f 利用柯西中值定理存在
)0x ，（∈ξ使得)11)((1ln )1ln()(-+'=-+=x f x x f ξ …… 3分 即ξ
+=+1)1ln(x x …… 4分
又由于)0x ，（∈
ξ，x x x x <+<+ξ11，所以x x <+<+)1ln(x
1 x …… 6分
（8）证：令21
()(1)(1)2
f x x x =+-+
()0,(0)2
x
f x x '=>> ……2分
故0x >时,()(0)0f x f >=即21
(1)(1),(0)2
x x x +>+> ……5分
从而1
1 2
x +> ……6分
（9）证：令3
()sin 6
x f x x x =-- 因为222
22()1cos 2sin 2()0,(0)22222
x x x x x f x x x '=--=-<-=< ……4分 故0x ≥时,()(0)0f x f ≤=,即3
sin 6
x x x -≤ ……6分
（10）证： 令
()ln(1),(0)1x F x x x x
=+-≥+ ……2分 则()F x 在0x ≥的范围中是可导的 ，且 (0)0F =。

'22
11()1(1)(1)x F x x x x =-=+++， 对于任意的0x >，有'()0F x >。

所以函数()F x 在0x ≥的范围中是单调上升的。

……4分
于是，对于任意的0x >，有
()(0)0F x F >=，
即：
ln(1)1x x x
+>+。

……6分
（11）证：令 2
()ln(1),2
x F x x x =+-+ (1)x ≥ 显然函数()F x 在区间[1,)+∞上连续并且可导。

……2分 且有：1(1)ln 202
F =->。

而且对于任意的1x >，2
'1()10,11x F x x x x
=-+=>++ ……4分 所以对于任意的1x >， 2
()ln(1)(1)02
x F x x x F =+-+>>， 于是原不等式成立。

……6分
（12）证：假设函数()f x 在区间[0,1]上至少存
在两个不同的零点1212,()x x x x <。

……2分 函数()f x 在区间[0,1]上连续，可导。

于是有
12()()0f x f x ==。

……4分 根据罗尔中值定理，则存在一点
12(,)[0,1]x x η∈⊂，
使得
'2()3(1)0f ηη=-=，
显然这是不可能的。

所以假设不成立。

……6分
（13）证： 令0111)('1 x , 13 2f(x) 2232>-=-=>+-=x
x x x x f x x 时则当 ……4分 所以 当x>1 时，f(x)>f(1)=0 , 即有 x 1
3 x 2 1x ->>时， ……6分
（14）证： 令)20(02cos 1)(',0)0(,cos sin )(π
<<>-==-=x x x f f x x x x f 则
……3分 所以0)0()(, 20 =><<f x f x 时当π
， 即x x x x cos sin 20 ><<时当π
…….6分。