变化率与导数(公开课) PPT

x
x
Байду номын сангаас
(3)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
一差、二比、三极限
练习：若f(x)=x2,求f ’(1)
例、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各 种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。 如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为 f(x)=x2-7x+15 (0x 8h).计算第2h和第6h 时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们 的意义。
同理可得 f '(6)=5
f(2)3 说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度下降；
f '(6)=5 说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
导数的几何意义： y f(x)
y
相交
oP
x
再来一次
注意：
1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。
2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0 可正、可负，但不为0，而△y可能为0。
下列区间上 f (x)的平均变化率：
（1） [1，2]（2）[1，1+Δx]
解：(2)△ y= (1+ △x)2-12 =2△x+△x2
所以平均变化率为 y 2 x
x
探究:高台跳水问题
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h
(单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t) 4.9t2 6.5t 10
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与△x无关。
巩固训练： 1,函数f(x)=x2在点(2,4) 处的切线的斜率为( )
A.f(2) B. f(4) C. f’(2) D. f’(4)
2.如图,试描述函数f(x) 在x =-5,-4,-2,0,1 附近 的变化情况:
3.根据下列条件，分别画 出函数图象在这点附近 的大致形状: (1)f(1)=-5, f’(1)=-1 (2)f(5)=10, f’(5)=15 (3)f(10)=20, f’(10)=0
h(t) 4.9t2 6.5t 10
h
探究：
v
如何求t=2时的瞬时速度？
o 0.66
t
探究： （以高台跳水为例）
思考：
1、在t=2附近的平均速度与t=2 瞬时速度之间的关系？
t=2瞬时速度就是t=2附近的平均速度 当Δt趋于0的极限！
2、在某一时刻 t 0 的瞬时速度怎样表示？
lim h(t0 t) h(t0 )
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
平均变化率
一般地，函数 f (x)从x1到x2的平均变化率为
f (x2) f (x1) x2 x1
f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x2 x1
x
已知函数 f (x) x2，分别计算
h
h
h
10
10
10
O1
A
3t
O 1B
3t
O 1C
3t
10
10
10
3
3
3
观察这三个数据你有什么发现？
谢谢
记作： f x0 或 y xx0
即 fx 0 lx i 0 m y x lx i 0f m x 0 x x fx 0
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 );
(2)求平均变化率y f ( x0x) f ( x0 ) ;
h
如果用运动员在某段时间内的 平均速度描述其运动状态, 那么:
o 0.66 2
t
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v h(0.5) h(0) 4.05(m/s );
0.5 0
在1≤ t ≤2这段时间里, v h(2) h(1) 8.2(m/s );
2 1
探究:高台跳水问题
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
解：第2h和第6h时，原油温度的
瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6)
根据导数定义：
yf(2x)f(2)
x
x
f(x)=x2-7x+15
(2 x)2 7 (2 x) 1 5 (2 2 7 2 1)5 x
4xx2 7x
x
x3
所以，f(2)lim flim ( x3) 3
x 0 x x 0
4.如右图所示，向高为10cm的杯子等速注水， 3分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数，则 下面两个图象哪一个可以表示上述函数？
h/cm
10 M
O1
A
h/cm
10
N
N
M
3 t/m O 1 B
3 t/m
开始时，h变化得快，后来h变化得慢。
例2.请分别计算出下面两个图象表示的 函数h(t)在区间[0，3]上的平均变化率。
引例2：下图为王女士一年内的减肥曲 线，请你分别计算出减肥期间前三个月 及后面九个月体重的平均变化率，并解 释你的计算结果。
W(kg) 80
65
50
前三个月： 635 0805(kg/月 )
03
6
9 12 T(月)
后九个月 510263535(kg/月 )
课堂小结
形 曲线陡峭
数 平均变化率
变量变化的快慢
知识运用
引例1 ：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如 图所示。
W(kg)
从出生到第3个月，婴儿
11
8.6
6.5
B
C
体重的平均变化率：
D
kAB=
6.53.5 30
1(kg/月 )
3.5 A
从第6个月到第12个月，
0 3 6 9 12 T(月) 婴儿体重的平均变化率：
kCD=
11 8.6 12 6
0.4(kg / 月)
t 0
t
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
一般地， 导数的概念
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
lim y lim fx 0 x fx 0
x 0 x x 0
x
上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数