第3章曲线拟合的最小二乘法计算方法
2.6-曲线拟合的最小二乘法
第2页，共29页。
由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至是
较大的误差，此时要求近似函数P(x)过全部已知点，
相当于保留全部数据误差，所以使用插值法不合理。 对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，只要求总体上
尽可能小，即要求P(x)尽可能反映给定数据点的总体 趋势，在某种意义（要求或标准）下与函数最“逼近”。
第1页，共29页。
问题
数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本 初等函数及其他特殊函数；(连续情形)
当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集
的区间上用公式给出函数的简单表达式.(离散情形)
这些都涉及到在已知区间上用简单函数逼近已 知复杂函数或未知函数的问题，这就是函数逼
近问题
插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处P(x) 与 f (x)相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效
(1
,n
)
a1
(
f
,
1
)
(n
,
n
)
an
( f ,n )
称为法方程. 但是0 (x), ,n (x)在C[a, b]上线性无关，
不能保证其系数矩阵非奇异.
例如，0 sin x,1 sin 2x, x [0, 2 ], xk k , k 0,1, 2.
G
(0 ,0 )
(1
,
t 9 10 11 12 13 14 15 16
y 10.0 10.2 10.3 10.4 10.5 10.5 10.5 10.6
0
0
2
2
0
5
8
0
第20页，共29页。
计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103
§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章 曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章 曲线拟合的最小二乘
曲线拟合的最小二乘法讲解
实验三 函数逼近与曲线拟合一、问题的提出：函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。
函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数，记作],[b a C ,称为连续函数空间，而函数类B 通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。
主要内容有：（1）最佳一致逼近多项式（2）最佳平方逼近多项式（3）曲线拟合的最小二乘法二、实验要求：1、构造正交多项式；2、构造最佳一致逼近；3、构造最佳平方逼近多项式；4、构造最小二乘法进行曲线拟合；5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差；6、探讨新的方法比较结果。
三、实验目的和意义:1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程；2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较；3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较；4、掌握曲线拟合的最小二乘法；5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组；6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系；四、 算法步骤：1、正交多项式序列的生成{n ϕ（x ）}∞0：设n ϕ（x ）是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式，)(x ρ为],[b a 上权函数，如果多项式序列{n ϕ（x ）}∞0满足关系式⎩⎨⎧=>≠==⎰.,0,,0)()()()(),(k j A k j x d x x x kk j bak j ϕϕρϕϕ则称多项式序列{n ϕ（x ）}∞0为在],[b a 上带权)(x ρ正交，称n ϕ（x ）为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。
1）输入函数)(x ρ和数据b a ,;2）分别求))(),(()),(,(x x x x j j j nϕϕϕ的内积； 3）按公式①)())(),(())(,()(,1)(10x x x x x x x x j n j j jj n nn ϕϕϕϕϕϕ∑-=-==计算)(x n ϕ，生成正交多项式；流程图：开始否是结束2、 最佳一致逼近多项式],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*使得n n E P f =∆),(*，则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
计算方法(3)-曲线拟合的最小二乘法
m
m
使 Wi [ * (xi ) i 1
yi ]2
min ( x)
Wi [ (xi )
i 1
yi ]2
其 中 (x) a0 0 (x) a11 (x) an n (x)是
中 任 一 函 数;Wi (i 1, , m)是 一 列 正 数, 称 为 权.
第三章 曲线拟合的最小二乘法
§1 引言 §2 最小二乘法 §3 最小二乘法的求法 §4 加权最小二乘法
*§5 利用正交函数作最小二乘拟合
1
§1 引言
一.曲线拟合问题
从一组实验数据(xi , yi )(i 1,2, , m)出发,
寻求函数y (x)的一个近似表达式
m
xin
i1
m
xi
i 1 m
xi2
i 1
m
x n1 i
i 1
m
xin
i 1 m
xn1 i
i 1
m
xi2n
a0 a1 an
m
WI xin
i 1
m
Wi xin1
i 1
m
Wi xi2n
a0 a1 an
m
Wi yi
i 1 m
Wi xi yi
i 1
m
Wi xin yi
是中 任 一 函 数
5
§3 最小二乘解的求法
一.法方程组
最小二乘解 * (x) a0* 0 (x) a1*1 (x) an* n (x)
曲线拟合——最小二乘法算法
曲线拟合——最小二乘法算法一、目的和要求1）了解最小二乘法的基本原理，熟悉最小二乘算法；2）掌握最小二乘进行曲线拟合的编程，通过程序解决实际问题。
二、实习内容1）最小二乘进行多项式拟合的编程实现。
2）用完成的程序解决实际问题。
三、算法1）输入数据节点数n ，拟合的多项式次数m ，循环输入各节点的数据x j , y j (j=0,1,…,n-1)2）由x j 求S ；由x j ,y j 求T ：S k =∑-=10n j k j x ( k=0,1,2, … 2*m ) T k = ∑-=10n j k j j x y ( k=0,1,2,… m )3）由S 形成系数矩阵数组c i,j ：c[i][j]=S[i+j] (i=0,1,2,…m, j=0,1,2,…,m)；由T 形成系数矩阵增广部分c i,m+1：c[i][m+1]=T[i] (i=0,1,2,…m)4）对线性方程组CA=T[或A C ]，用列主元高斯消去法求解系数矩阵A=(a 0,a 1,…,a m )T四、实验步骤1）完成最小二乘法进行曲线拟合的程序设计及录入、编辑；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上P105例2的例子对程序进行验证，并进行修改；4）用完成的程序求解下面的实际问题。
5）完成实验报告。
五、实验结果1. 经编译、链接及例子验证结果正确的源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>#define Q 100float CF(int,float);main(){int i,j,n1,n,p,k,q;float x[Q],y[Q],s[Q]={0},t[Q]={0},a[Q][Q]={0},l,sum=0;/*以下是最小二乘的程序*/printf("input 数据组数n");scanf("%d",&n);printf("input 拟合次数n1");scanf("%d",&n1);for(i=0;i<n;i++){printf("x[%d]=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y[%d]=",i);scanf("%f",&y[i]);}for(i=0;i<=2*n1;i++)for(j=0;j<n;j++){s[i]=s[i]+CF(i,x[j]);if(i<=n1)t[i]=t[i]+y[j]*CF(i,x[j]);}for(i=0;i<n1+1;i++)for(j=0;j<n1+2;j++){a[i][j]=s[i+j];if(j==n1+1)a[i][j]=t[i];}for(i=0;i<n1+1;i++)for(j=0;j<n1+2;j++)printf("a[%d][%d]=%f",i,j,a[i][j]); /*以下的是削去法的程序*/for(j=0;j<=n1-1;j++){p=j;for(i=j+1;i<=n1;i++){if(fabs(a[j][j])<fabs(a[i][j]))p=i;}if(p!=j)for(i=j;i<=n1+1;i++){l=a[p][i];a[p][i]=a[j][i];a[j][i]=l;}for(k=j+1;k<=n1;k++){l=a[k][j]/a[j][j];for(q=j;q<=n1+1;q++)a[k][q]=a[k][q]-l*a[j][q];}}for(i=0;i<n1+1;i++){for(j=0;j<n1+2;j++)printf("a[%d][%d]=%f\n",i,j,a[i][j]);printf("\n");}x[n1]=a[n1][n1+1]/a[n1][n1];for(i=n1-1;i>=0;i--){for(j=i+1;j<=n1;j++)sum=a[i][j]*x[j]+sum;x[i]=(a[i][n1+1]-sum)/a[i][i];sum=0;}for(i=0;i<=n1;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}float CF(int i,float v){float a=1.0;while(i--)a*=v;return a;}2. 实例验证结果：1）输入初始参数：n=9，m=2X：1 3 4 5 6 7 8 9 10Y：10 5 4 2 1 1 2 3 42）结果输出：1.实际应用问题：作物体运动的观测实验，得出以下实验测量数据，用最小二乘拟合求物体的运动方程。
数值分析3-4(最小二乘法)ppt课件
i0
j0
f (xi )]k (xi )
展开
n
m
m
a j ( xi ) j ( xi )k ( xi ) ( xi ) f ( xi )k ( xi )
j0 i0
i0
法方程
解方程组
有唯一解ak ak (k 0,1,..., n)
则S ( x) a00 ( x) a11( x) ... ann ( x)
本例经过计算可得
max i
|
(1) i
|
0.568
103
, max i
|
(2) i
|
0.277
103
而均方误差为
m
m
(
(1) i
)2
1.19 103 ,
(
( i
2)
)
2
0.34 103
i 1
i 1
由此可知第二个模型较好。
结论：
选择拟合曲线的数学模型，并不一定开始 就能选好，往往需要通过分析若干模型后， 经过实际计算才能选到较好的模型，如本 例的指数模型就比双曲线模型好得多。
三、求解步骤
确定拟合曲线的形式
最困难！
确定变量对应的数据
确定法方程
求解法方程
四、举例
例1. 已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.
xi
1
2
3
4
5
fi
4 4.5 6
8 8.5
ωi
21311
解 根据所给数据，在坐标纸上标出，从图 中看到各点在一条直线附近，故可选择 线性函数作拟合曲线，即令
S1( x) a0 a1 x
曲线拟合最小二乘法ppt课件
这里
1( x), ,l ( x)
是线性无关函数系，
为待定常数.
i (i 1, 2, , l)
9
在例1中，设函数
1( x) 1, 2( x) x, 3( x) x2
误 n,
我们希望猜想的数学模型应尽量接近观测数据，
m
2 i
m
[s * ( xi )
f ( xi )]2
i0
i0
m
min
s( x)
[s(
i0
xi
)
f ( xi )]2.
11
（1）直线拟合
设已知数据点 xi , yi , i 1,2,, m ,分布大致为一
条直线。作拟合直线 y(x) a0 a1x ,该直线不是通
的方法称为曲线拟称合为“，残f(差x)”
1
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x) y=f(x)
插值
2
求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又 不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性, 使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种 方法度量达到最小。
解得 a0 0.562302 , a1 0.772282
由 a0 ln a 得 a ea0 e0.562302 1.754708,
23
由a1 b 得 b a1 0.772282
于是得到拟合指数函数为 y 1.754708 e0.772282x
（4）超定方程组的最小二乘解
最小二乘法与曲线拟合(共24张PPT)
j 1
n
aNj
xj
bN
j1
2a1k
a2k
aNk
(
Ax
b)
Q
故 x1
Q
x2
Q
2
AT
(
Ax
b)
2(
AT
Ax
AT b )
xn
令
Q 0
(k 1,2,, n)
即
ATxAk x
AT b
〔*〕
因为rankA=n，故由引理2知，上式有唯一解。设
解为x1=a1, x2=a2,…, xn=an，记为点P0(a1,a2,…,an)，
或写为
其矩阵形式为
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2n xn b2
aN1x1 aN 2 x2 aNn xn bN
n
aij x j bi ( j 1,2,, N )
j 1
Ax b
当方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等时， 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于 rankA＝n〔A的秩为n〕的矛盾方程组〔N>n〕，我 们寻求其最小二乘意义下的解。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似表 达式y= (x)，要求近似表达式能够反映数据的根本趋势 而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合问题，函 数的近似表达式y= (x)称为拟合曲线。本章介绍用最小 二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
一、矛盾方程组的定义
设线性方程组
3.最小二乘法解矛盾方程组
计算步骤：
〔1〕判断方程组的秩是否满足rankA=n？
〔2〕写出正那么方程组；
〔3〕求解正那么方程组，其解就是矛盾方程组 的最小二乘解。
曲线拟合的最小二乘法
由 ln y ln a bx ，可以先做 y* a* bx
可以先做出 ln y 的一次线性拟合
例2 设一发射源强度公式为
观测数据如下
I
I
eat
0
ti 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Ii 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56
2.9611
a b
2.31254 0.0870912
(1)、y ax2 b
解：函数空间的基
x2 ,1 ，然后列出法方程
x2, x2 D 1, x2 D
1, x2 D
1,1D
a b
f
, f
x2 D
,1D
370
34
34
5
a b
3.5a1 1.9891 2.03a1 0.1858
aa1012.7.839
ea0 =5.64 a=－2.89
则 I=5.64e－2.89t
3.2.3 最小二乘法一般形式
span{0,1,n} 0 ,1,n 为线性无关的基函数
(x) a00 (x) ann (x)
i 1
n
( y, j ) ik xi j xi j=0，1，2，…，m i 1
则法方程组可写成以下形式
0 1
,0 ,0
m ,0
0 ,1 1,1
m ,1
最小二乘法拟合三维曲线
最小二乘法拟合三维曲线
最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，用于通过已知数据点拟
合出一个函数曲线。
在三维空间中，我们可以通过最小二乘法来拟合
一个三维曲线。
假设我们有一组数据点{(x1,y1,z1), (x2,y2,z2), ...,
(xn,yn,zn)}，我们的目标是找到一个函数 f(x,y) 来拟合这些数据点。
我们可以假设这个函数是一个形如 f(x,y) = a + bx + cy 的曲线。
为了找到最佳的拟合曲线，我们需要计算误差函数，这里我们选
择使用平方误差函数。
平方误差函数定义为 E = Σ(z - f(x,y))^2，
其中Σ 表示求和。
我们的目标是最小化这个误差函数。
通过最小二乘法，我们可以求得最优解。
首先，我们需要计算系
数 a、b 和 c。
最小化误差函数 E 的过程可以用线性代数的方法求解。
具体而言，我们需要求解一个多元线性方程组，该方程组的矩阵形式
为 XTAX = XTY，其中 XTAX 是一个3x3的矩阵，XTY 是一个3x1 的矩阵，X 是一个 n x 3 的矩阵，X 的每一行对应一个数据点，其中第一
列为1，第二列为 x 值，第三列为 y 值，Y 是一个 n x 1 的矩阵，
每一行为对应的 z 值。
解出系数 a、b 和 c 后，我们的拟合曲线即为 f(x,y) = a +
bx + cy。
最小二乘法是一种常用且经典的曲线拟合方法，在实际应用中被
广泛使用。
通过拟合三维曲线，我们可以更好地理解数据的分布规律，并进行预测和分析。
曲线拟合的最小二乘法
a11(xm ) a22 (xm ) ann (xm ) bm
简写为
(xi ) bi , i 1, 2,..., m
一般计算步骤
(1)计算 A [ j (xi )]mn，其中 i 1, 2, , m, j 1, 2, , n (2)计算ATA, ATb ，形成法方程组ATAx = ATb
30
则法方程组为
3
3
49
x1
x2
33
9
求得法方程组的解为
x1 x2
2.979 1.2259
这也就是超定方程组的最小二乘解。
3.5.3 可线性化模型的最小二乘拟合
例 已知观测数据(1,–5),(2,0),(4,5),(5,6) ，试用最小二乘法求
形如(x) ax b 的经验公式。
xi c3
x
2 i
c3
xi2 xi3
yi xi yi
c1
xi2 c2
xi3 c3
xi4
xi2 yi
3 一般情形
( x) c11( x) c2 2 ( x) cm m ( x),(m n) 1( x) 1 ,2( x) x , 3( x) x2 , ,m ( x) xm1
AT
y
1 x1
1 x2
... ...
1 xn
y2
yn
yi
xi yi
记号指 对i从1到n 取和
法方程组
c1n c2 xi yi
c1 xi c2
xi2
xi yi
2 二次拟合、抛物拟合
( x) c1 c2 x c3 x2
作超定方程组
c1
c2 x1
c3
求得法方程组的解为
最小二乘法曲线拟合推导过程
假设现在有n对坐标系中的点
现在要做k阶多项式拟合，多项式函数如下
将已知的观测点数据代入上述公式得到如下n组等式：
......
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小，如下所示：
代入公式可以得到
可以通过上述公式对求偏导后，令其为0来求解所有a的值，得到下面的式子
......
将上述方程整理归纳得
......
将上述方程用矩阵表述
将上述方程分解，令
，
那么上面的矩阵计算可以简化为，所以得到
网上的一些证明到这里基本就结束了，但我觉得根据逆矩阵的特性还可以优化的，在矩阵中AB的逆等于B的逆乘A的逆，如下
化简可以得到a为X的逆乘Y
计算出X的逆矩阵乘Y得到的就是多项式的系数，就能得到一个多项式了，曲线拟合就算完成了。
但是有没有发现，X的逆矩阵计算量很大，还要明白如何求解逆矩阵的，用程序去实现也有一定难度。
后面会介绍一种法则，求解多项式的系数，套公式即可。
以及用C语言实现最小二乘法的2次曲线拟合算法。
计算方法 曲线拟合的最小二乘法
Q f ( x ) = Pn ( x ) + ∴ f ' ( x) = Pn' ( x ) +
由于 ξ = ξ ( x) ，所以无法精确估计 f ' ( x) − Pn' ( x) ； 但有 (i) 两点公式
f ' ( x i ) − Pn' ( xi ) =
x0
f ( x ) = P1 ( x ) + R1 ( x) =
Hale Waihona Puke 在二阶导数 f ' ' ( x) 的三点近似计算公式中，在中间点 x1 处截断误差较小，即 1 h 2 ( 4) [ ( − ) − 2 ( ) + ( + )] − f x h f x f x h f (ξ ). 1 1 1 12 h2 二阶导数常用近似计算公式： 1 f ' ' ( x) ≈ 2 [ f ( x − h) − 2 f ( x) + f ( x + h)], 截断误差为 O( h 2 ) . h f ' ' ( x1 ) = 一般来说，三点比二点公式好。 （iii）利用三次样条插值函数 S ( x) 求数值导数（了解） f ( x) − S ( x) = O (h 4 ), f ' ' ( x) − S ' ' ( x) = O (h 2 ), 其中 h = max | xi − xi −1 | 。
15
得三点公式 1 f ' ( x0 ) ≈ P' 2 ( x0 ) = 2h [−3 f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) − f ( x2 )]; 1 f ' ( x1 ) ≈ P' 2 ( x1 ) = [ − f ( x0 ) + f ( x 2 )]; 2h f ' ( x ) ≈ P ' ( x ) = 1 [ f ( x ) − 4 f ( x ) + 3 f ( x )]. 2 2 2 0 1 2 2h 一阶导数常用近似计算公式： f ' ( x) ≈ f ( x + h ) − f ( x − h) , 截断误差为 O( h 2 ); 2h
数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法姓名：学号：专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是y的误差。
设 x 和 y 的函数关系由理论公式y＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-1）给出，其中 c1，c2，……cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。
都对应于xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi ＝ f （x ；c1 ，c2 ，……cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，……，m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然N<m 时，参数不能确定。
y 2 y 在 N>m 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则 y 的观测值 yi 围绕着期望值 <f （x ；c1，c2，……cm）> 摆 动，其分布为正态分布，则 yi 的概率密度为p y i1 exp,式中i是分布的标准误差。
为简便起见，下面用 C 代表（c1，c2，……cm ）。
在线曲线拟合(最小二乘法)
在线曲线拟合(最小二乘法)一、简介在线曲线拟合，也被称为最小二乘法，是一种常用的数学优化技术，主要用于数据分析和预测。
通过最小化预测值与实际观测值之间的平方差，找到最佳拟合曲线的参数。
这种方法在各个领域都有广泛的应用，例如经济预测、科学实验数据分析、金融市场分析等。
二、基本原理在线曲线拟合的基本原理是通过最小化预测值与实际观测值之间的平方差和，找到最佳拟合曲线的参数。
具体来说，假设我们有一组数据点（x1, y1）, (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们要找到一条曲线y = f(x)，使得这些数据点与曲线之间的偏差最小。
偏差通常用平方差来度量，即∑(yi - f(xi))^2。
我们的目标是找到一组参数，使得这个偏差最小。
三、实现步骤在线曲线拟合的实现步骤如下：1. 收集数据：首先需要收集用于拟合的数据。
这些数据通常是一组观测值，可以是一维或多维的。
2. 设定模型：选择一个合适的数学模型，用于描述数据的内在规律。
模型通常是一条曲线，可以是一次函数、二次函数、指数函数等。
3. 计算偏差：计算每个数据点到拟合曲线的偏差，通常用平方差来度量。
偏差的计算方法取决于所选择的模型和数据点的具体形式。
4. 最小化偏差：通过迭代或优化算法，找到一组参数，使得偏差最小。
这一步通常需要使用数学优化技术，例如梯度下降法、牛顿法等。
5. 评估拟合效果：最后，需要对拟合结果进行评估。
可以通过计算残差、R方值等指标来衡量拟合效果的好坏。
如果拟合效果不理想，可能需要重新设定模型或收集更多的数据。
四、应用示例在线曲线拟合的应用非常广泛，下面举一个简单的例子来说明其应用。
假设我们有一组销售数据，想要通过这些数据来预测未来的销售趋势。
我们可以选择一条线性模型y = ax + b，其中a 和b 是待求解的参数。
通过最小化预测值与实际观测值之间的平方差和，我们可以找到最佳拟合曲线的参数a 和b。
最后，我们可以用这些参数来预测未来的销售趋势。
最小二乘法曲线数据拟合
最小二乘法曲线数据拟合
首先，最小二乘法的基本原理是通过最小化拟合曲线与实际数
据之间的误差平方和来确定最佳拟合曲线的参数。
这意味着拟合曲
线的参数将被调整，以使拟合曲线上的点与实际数据点的残差之和
最小化。
其次，最小二乘法可以用于拟合各种类型的曲线，例如线性曲线、多项式曲线、指数曲线等。
对于线性曲线拟合，最小二乘法可
以得到最佳拟合直线的斜率和截距；对于多项式曲线拟合，最小二
乘法可以确定最佳拟合多项式的系数；对于指数曲线拟合，最小二
乘法可以找到最佳拟合曲线的底数和指数。
此外，最小二乘法还可以通过添加约束条件来进行拟合。
例如，可以通过添加正则化项来控制拟合曲线的复杂度，以避免过拟合问题。
常见的正则化方法包括岭回归和Lasso回归。
在实际应用中，最小二乘法曲线数据拟合可以用于许多领域，
如经济学、统计学、物理学等。
它可以用于分析趋势、预测未来值、估计参数等。
例如，在经济学中，最小二乘法可以用于拟合经济模型，以评估不同因素对经济指标的影响。
最后，最小二乘法的计算通常可以通过数值方法来实现，例如
使用最小二乘法的矩阵形式求解线性方程组，或者使用迭代算法来
拟合非线性曲线。
总结起来，最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，通过最小
化拟合曲线与实际数据之间的误差平方和来确定最佳拟合曲线的参数。
它可以适用于各种类型的曲线拟合，并可以通过添加约束条件
来进行拟合。
在实际应用中，最小二乘法可以用于分析趋势、预测
未来值、估计参数等。
最小二乘法的计算可以通过数值方法来实现。
第3章曲线拟合的最小二乘法计算方法
xi 2 x i m 1 x i
m x a0 yi i m 1 xi a1 xi yi 2 m xn y a x i m i i
9
16 25 36 49 64 204
9.9315
14.4000 19.4695 25.1016 31.3257 38.1384 147.1354
36 A 29.9787 8 36 204 b 147.1354
9
解该方程组的 A=2.4368,b=0.2912
作为近似拟合曲线,均方误差为
Q(a0 , a1 , a2 )
最小。
3
由求极值的方法得法方程：
计 算 方 法 课 件
n n xi 1 in 2 x i i 1
x
i 1 n i 1 n
n
i
2 x i 3 x i i 1
n 2 x yi i i 1 a0 i 1 n n 3 x i a1 xi yi i 1 i 1 a n n 2 4 2 x x i i yi i 1 i 1 n
Yi
2.7279 3.0204
x i2
1 4
xiYi
2.7279 6.0408
计 算 方 法 课 件
2
3 4 5 6 7 ∑
3
4 5 6 7 8 36
27.4
36.6 49.1 65.6 87.8 117.6
3.3105
3.6000 3.8939 4.1836 4.4751 4.7673 29.9787
最小二乘法线性详细说明
利用最小二乘法计算出b, a得出回归方程即两个变 量之间的关系式。
计算 s ，并利用肖维涅准则判断有无粗差。
如果有粗差，剔除后重复①，②，③步骤计算。
如无粗差，计算b , a ，给出最后的回归方程。
26
〔例题〕
用伏安法测电阻，测量数据如表。问能否拟 合成线性关系曲线？若可以，试判断有无粗
只有相关系数 R≥ R时0 ，才能用线性回归方程
y=a+bx来描述数据的的分布规律。否则毫无 意义。
24
回归方程的精密度
根据统计理论还可以求出a和b的标准偏差分别 为：
b s
sx x
a b
xi2 n
xi2
s
nsxx
25
回归分析法的运算步骤
首先计算R，判断是否能拟合成线性曲线。 R≥ R0
b2 s11 s2 y s12 s1y
s s s 11 22
2 12
a y b1x1 b2 x 2
32
公式中：
s11
x2 1i
(
x1i)2 n
s22
x2 2i
(
x2i)2 n
s12
b=0,a= y , 从而得到y= y 的错误结论。这说明数据点
的分布不是线性,不能拟合为线性关系曲线。
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xi
2
xi yi
2
xi
3
xi
4
9 45 25 50 36 36 64 128 100 400
27 125 216 512 1000 1880
81 625 1296 4096 10000 16098
Σ
87 234 659
32 234 a0 14 5 32 234 1880 a1 97 234 1880 16098 a 659 2
9
16 25 36 49 64 204
9.9315
14.4000 19.4695 25.1016 31.3257 38.1384 147.1354
36 A 29.9787 8 36 204 b 147.1354
9
解该方程组的 A=2.4368,b=0.2912
插值与拟合是构造近似函数的两种不同方法
数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法：设f(x)为原 函数, (x)为近似函数,(xi , f(xi)) (i=1,…,n)为数据点,要求选 择 (x)使
计 算 方 法 课 件
f ( x ) ( x )
为最小.
i 1 i i
n
2
当 (x)选择为多项式时,称为多项式拟合.
x
0 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 10
从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考虑 用二次多项式 p2 ( x) a0 a1 x a2 x 2 进行拟合。
i
计 算 方 法 课 件
0 1 2
yi 5 2 1 2 4 14
xi yi 15 10 6 16 40
6
用高斯-若当无回代消去法解此方程组,得a0=13.454, a1=-3.657,a2=0.272。 最小二乘拟合多项式为：
计 算 方 法 课 件
y p2 ( x) 13.454 3.657x 0.272x 2
3 非线性曲线转化为线性拟合:
y a e ln y ln a bx
n
2
由此可出求系数 拟合直线为
ˆ ˆ, b a
ˆx ˆ b p( x) a
( xi , yi ), i 1 ,2,...,n
计 算 方 法 课 件
2. 二次拟合函数 已知数据点为 用二次函数
p( x) a0 a1 x a2 x 2
2 2 ( a a x a x y ) 0 1 i 2 i i i 1 n
最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理 方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经 验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.
1 结束
§3.2 线性拟合和二次拟合函数
1. 线性拟合
计 算 方 法 课 件
( xi , yi ), i 1 ,2,...,n 用直线 p( x) a bx 作为近似曲线,均方误差为
bx
令Y ln y, A ln a Y A bx 又如: y a bx2 令X x 2 y a bX
7
计 算 方 法 课 件
x 1 b 又如 : y a ax b y x 1 1 令Y , X Y a bX y x
例3:已知数据为
Yi
2.7279 3.0204
x i2
1 4
xiYi
2.7279 6.0408
计 算 方 法 课 件
2
3 4 5 6 7 ∑
3
4 5 6 7 8 36
27.4
36.6 49.1 65.6 87.8 117.6
3.3105
3.6000 3.8939 4.1836 4.4751 4.7673 29.9787
作为近似拟合曲线,均方误差为
Q(a0 , a1 , a2 )
最小。
3
由求极值的方法得法方程：
计 算 方 法 课 件
n n xi 1 in 2 x i i 1
x
i 1 n i 1 n
n
i
2 x i 3 x i i 1
n 2 x yi i i 1 a0 i 1 n n 3 x i a1 xi yi i 1 i 1 a n n 2 4 2 x x i i yi i 1 i 1 n
已知数据点为
Q ( a, b)
2 ( a bx y ) i i i 1
n
由求极值的方法得矩阵方程——拟合曲线的法方程组
n n xi i 1
n xi yi a i 1 i 1 n n b 2 x xi yi i i 1 i 1
x y
1
2
3
4
5
6
7
8
15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6
求一个形如 y=aebx的经验公式(a,b为常数). 解:两边取对数得： ln
y ln a bx
8
Y ln y, A ln a Y A bx
i
0 1
xi
1 2
yi
15.3 20.5
由A=lna,即得a=eA=11.436 9
所以,经验公式为：y=11.4369e0.2912x 计 算 方 法 可化为线性拟合的非线性曲线有： 课 拟合曲线 y axb y axk c y aebx 件
y a b lg x
y
1 1 变换关系 Y lg y, X lg x Y y, X x k Y ln y, X x Y y, X lg x Y , X y x 线性函数 Y lg a bX Y aX c Y ln a bX Y a bX Y a bX
由此可出求系数 拟合曲线为
ˆ0 , a ˆ1 , a ˆ2 a
ˆ0 a ˆ1 x a ˆ2 x 2 p( x) a
4
例1
设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。
x
计 算 方 法 课 件
3 5
5 2
6 1
8 2
10 4
y
解 5 4 3 2 1 y
首先作平面散点图如下：