空间几何向量法之点到平面的距离

空间几何向量法之点到

平面的距离

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

空间几何向量法之点到平面的距离

1.要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：

(1) 找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量； (2) 求出该平面的法向量；

(3)

求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量

的模，这就是该店到平面的距离。 例子：点A 到面α的距离AB n d n

•=

（注：AB 为点A 的斜向量，n →

是α面

的法向量，点B 是面α内任意一点。） 2.求立体几何体积（向量法） 体积公式：

1、柱体体积公式：.V S h =

2、椎体体积公式：1.3V S h =

3、球体体积公式：34

3

V R π=

课后练习题

例题：在三棱锥B —ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC=CD=AD=AB=1，且∠BAD=300，求点D 到平面ABC 的距离。

要求平面α外一点P 到平面α的距离，

可以在平面α内任取一点A ，则点P 到平面α的距离即为d=

||PA =

⋅

建立如图空间直角坐标系，则A （0,0,21-），B （2

12

13,0,-），C （0,,

02

3

），D （)0,0,21

∴)0,,

(2

3

21

=AC ,),0,(

2123=AB ,)0,,(2

3

21-=DC

设n =(x,y,z)为平面α的一个法向量，则⎪⎩

⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0023212123y x AC n z x AB n ∴x z x y 3,3

3

-=-

= ，可取)3,1,3(-=n

代入

d =得，13

3913

232

3=

=

+d

，即点D 到平面ABC 的距离是

13

39

。

1. 已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面

的四点,求点D 到平面ABC 的距离.

解：设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量，则由0n AB =及10n BC =,得

2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=⎧⎨

++=⎩⇒2y x 3

2z x 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为d=

DA n n

=

17

49=1717

49.

2.已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 和AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.

解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，∴GE =(2,4,-2),

GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0).

设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =，则由0n GE =及0n GF =，得

2x+4y 2z 0

4x 2y 2z 0

-=⎧⎨

+-=⎩⇒ x=y

z 3y ⎧⎨=⎩

,取y=1,得(1,1,3)n =,于是点B 到平面EFG 的距离为d=

BE n n

=

1111

211

2=.

3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求点C 1到平面A 1BD 的距离。

解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz ，则A 1(1,0,1),B(1,1,0),C 1 (0, 1,1).

设平面A 1BD 的一个法向量为),,(z y x n =，则由1DA 0n =及DB 0n =，

得x z 0x y 0+=⎧⎨+=⎩

⇒

z=-x

y=-x

⎧⎨⎩,取x=-1,得n =(-1,1, 1),于是点C 1到平面A 1BD 的距离为d=

1C D n n

=

23

=233. 4.如图4，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2，求点E 到平面ACD 的距离.

解：由题设易知AO ⊥BD ，OC ⊥BD ，∴OA=1，3，∴OA 2+OC 2=AC 2，∴∠AOC=90︒，即OA ⊥OC.

以O 为原点，OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，则3,0),D(-1,0,0),∴ E(1

2

,

32,0), AD =(-1,0,-1), AC =(0, 3,-1), ED =(-32

,-32,0).

设平面ACD 的一个法向量为),,(z y x n =，则由AD 0n =及AC 0n =，

得x z 03y z 0

+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒ x=-z 3y=z 3⎧⎪⎨⎪⎩

,取z=3,得n =(-3,1, 3),于是点E 到平面ACD 的距离为

d=

D E n n

=

3

7

=217.

5. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，

M 、N 分别是A 1C 1、BC 1的中点．

(Ⅰ)求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ； (Ⅱ)求证：MN ∥平面A 1ABB 1； (Ⅲ)求三棱锥M －BC 1B 1的体积．

(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥A 1B 1．

又B 1C 1⊥A 1B 1，∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1B 1． ∵BB 1＝CB ＝2，∴BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ．

(Ⅱ)连接A 1B ，由M 、N 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN ∥A 1B ，

又A 1B ⊂平面A 1ABB 1，MN ⊄平面A 1ABB 1，∴MN ∥平面A 1ABB 1．