2、数学模型—微分方程

分析各元件的工作原理，明确输入、输出量
建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
列写微分方程的一般方法
理想元件的微分方程描述 电气系统三元件
电阻
电容
电感
电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。
电气系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压 定律（克希霍夫电流电压定律）写出微分方程式， 进而建立系统的数学模型。 1 ）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电 流之代数和应等于 0 （即流出节点的电流之和等 于所有流进节点的电流之和）。 2）基尔霍夫电压定律 电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的 电压降的代数和。
通过数学模型来研究自控系统，可以摆脱各种不同类型 系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。
建立方法
• 解析法（机理模型） 律，并通过理论推导列出各变量之间的数学关系式。
• 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定
•
实验法（实验建模 ） 数学模型。
• 通过整理系统输入—输出的实验数据来得到系统的
2.1 基本概念
定义：数学模型是描述系统内部物理量（或变量）
之间关系的数学表达式。
揭示系统结构、参数与性能特性的内在联系。
2.1 基本概念
建立数学模型的目的
• 是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。
• 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动
的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。
从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），
依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列 写各自方程式，但要注意负载效应。 所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。
写成标准形式 微分方程的标准化包含两方面的内容：
①将与输入量有关的各项放在方程的右边，
与输出量有关的各项放在方程的左边；
②各导数项按降幂排列
第二章 控制系统的数学模型
2.1 基本概念：数学模型及常见的系统。 2.2 时域模型 - 微分方程：微分方程的建立及线性化。 2.3 复域模型 – 传递函数：借助拉氏变换，给出系统传递 函数。经典控制理论中引用最广泛的一种模型。
2.4 控制系统方块图：掌握方块图的建立及化简。
2.5 状态空间模型：控制系统的内部模型，描述了系统内部 状态、系统输出与系统输入之间的关系，深入地揭示了系统 的动态特性，是现代控制理论分析、设计系统的基础。掌握 系统的状态变量表达式的求取及它与传递函数之间的关系。
• 列写如图所示RC网络的微分方程。 R
ur
i
C
uc
解：由基尔霍夫定律得:
1 ur R i C idt
uc
1 C
idt
(2 1)
式中 : i 为流 经 电阻 R 和 电容 C 的 电流 , 消 去中 间变 量i,可得:
duc RC uc u r dt duc T uc u r dt
式中：y——m的位移（m）； f——阻尼系数（N· s/m); K ——弹簧刚度（N/m)。
将式(2-4)的微分方程标准化
2
(2 4)
m d y (t ) f dy (t ) 1 y(t ) F (t ) 2 K dt K dt K
2
(2 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
(2 3)
机械运动系统的三要素
质量 M 弹簧 K 阻尼 μ
机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理
• 例2. 设有一弹簧 质量 阻尼动力系 统如图所示，当外 力F(t)作用于系统 时，系统将产生运 动，试写出外力 F(t)与质量块的位 移y(t)之间的动态 方程。其中弹簧的 弹性系数为k，阻 尼器的阻尼系数为f， 质量块的质量为m。
总结： 解析方法适用于简单、典型、常见的系统。 实验方法适用于复杂、非常见的系统。 实际上常常是把这两种方法结合起来建立数 学模型更为有效。
常用数学模型
时间域： 微分方程 复数域ห้องสมุดไป่ตู้ 传递函数 频率域： 频率特性
建立系统微分方程的一般步骤
简化物理系统 划分环节 写出每或一环节(元件) 运动方程式
消去中间变量
写成标准形式
简化物理系统 简忽略次要因素
分布参量集中化
非线性因素线性化
时变参量定常化
划分环节 按功能（测量、放大、执行）划分
分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，
确定待研究元件或系统的输入量和输出量(必要
时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间
变量。
写出每或一环节(元件) 运动方程式
F(t)
M
k y(t)
f
解：分析质量块m受力，有 外力F, 弹簧恢复力 Ky（t） 阻尼力 fdy(t ) / dt 惯性力 md 2 y / dt 2 由于m受力平衡，所以
F(t)
M
k y(t)
F 0
i
f
式中：Fi是作用于质量块上的 主动力，约束力以及惯性力。 将各力代入上等式，则得
d y (t ) dy (t ) m f Ky (t ) F (t ) 2 dt dt