19 拱桥挠度理论

S q (C q q x) / C q 2 2/3 t q Cq S q 3 1/ 2 Wq S q q 与恒载阶段相仿，可得 x 0 时的挠度表达式为
Wql AWq1 BWq 2 [Wq 2 Wq1 f q ( x)dx Wq1 Wq 2 f q ( x)dx] / Vq
x
3 1 2 q
Wq 2 S J 1 (t q )

1 2 q
0 0 1 K q [Wq 2 S qWq1 M q dx Wq1 S qWq 2 M q dx]
x
3
2 K q [Wq 2 S qWq1 ( y y s )dx Wq1 S qWq 2 ( y y s )dx]
挠度理论的控制平衡微分方程
(1) 分析假定
（a）平截面假定：即截面法线方向与切线方向的夹角在 变形前后保持不变； （ b ）弹性中心不动假定：即将拱轴变形引起弹性中心 位置的改变量忽略不计； （c）恒、活载可叠加假定：即认为可将恒、活载分别
分析，然后叠加求得总内力。这样处理虽附合加载顺序 及设计习惯，但不符合非线性理论的一般规律，在计算中 ，若有必要，应将恒、活载作用一并考虑，并不影响这一 理论的应用。
/2 Wg1 S 1 g J 1 (t g ) 3 1/ 2 Wg 2 S g J 1 (t g ) 3
2 2/3 t g cg S g 3
1/3 阶的贝 塞尔函数
n 阶的贝塞尔函数当用无穷级数表示时为
x J n ( x) (1) n2m 2 !(n m 1) n 0
其中：
0 1 ( x) K g [Wg 2 S gWg1 M dx Wg1 S gWg 2 M g dx] 0 0 g 0 x x
3 ( x) K g (W g 2 S gW g1dx W g1 S gW g 2 dx)
0 0
2 ( x) K g [Wg 2 S gWg1 ( y y s )dx Wg1 S gWg 2 ( y y s )dx]
Fra Baidu bibliotek
其中： 1 mi i (l )W g2 (0)
(i 1,2,3)
1 ni i (l )Wg1 (0) (i 1,2,3) W g1 (l ) W g 2 (l ) W g1 (l ) W g2 (l )
（3）赘余力 将方程的全解及其导数代入约束方程，可整理出求解 赘余力方程为 p 2 H g p3 M g p1 0
q 2 H g q3 M g q1 0
其中: p 2 (m2W g1 n 2W g 2
0 l 0 l l
sec α 2 )y dx ( 1 tg2)dx 0 EA
1
p 3 (m3W g 1 n 3W g 2 α 3 )y dx p 1 (m1W g 1 n1W g 2 )y dx
19 拱桥挠度理论



挠度理论的控制平衡微分方程 挠度理论控制微分方程求解方法 变截面（Ritter函数）拱的基本解 变截面（ I I0 sec ）拱的基本解 变截面（I I sec A A sec ）抛物线拱的基本解 等截面拱的摄动法及其它数值法简介 小结 本章参考文献
2) 平衡微分方程
如下图所示，挠度理论的控制微分方程为[2] （1）恒载阶段 d 2W Hg g Wg sec f g ( x) 平衡微分方程为 2 EI dx sec d Ng 0
f g ( x) EI
l
[ M g M g H g ( y y s )]
dW g dx
则
c g I 0 sec I 0 sec I 1 (1 n) x / l c g g x
变截面（Ritter函数）拱的基本解
将以上关系代入恒载阶段的控制方程，则方程变为 2 d 2W g g (c g g x)W g f g ( x) 2
dx cg
（1）挠度曲线 由于恒载及结构都是对称的，恒载挠曲也将是左右对称 的。因此，可以只讨论 x 在 [0, l ] 范围内的解 上式的齐次方程为
sin

3
于是方程的全解为 x x Wg A1Wg1 B1Wg 2 [Wg 2 Wg1 f g ( x)dx Wg1 Wg 2 f g ( x)dx] / Vg1
0
将 f g ( x)代入上式，并取N g H g / cos ，则上式可改写为
Wg A1Wg1 B1Wg 2 1 ( x) 2 ( x)H g 3 ( x)M g
l
约束方程为
常见的变截面拱有以下三种变化规律 Ritter 函数，即 （1） I 0 sec I x 1 (1 n) l n 1 时，即 （2） I I 0 sec
n 1 时，且 （3）
拱顶 截面
I 0 A0
A有 I
与相似的规律
I I 0 sec A A0 sec
d 2W g dx
2

2 g
cg
(c g g x)W g =0
进行变量转换，可令
S g (cg g x) / cg
Wg S g
1/ 2 g
则齐次方程式可转换成 2 d g d g 1 2 2 2 tg tg [t g ( ) ] g 0 dt g dt g 3 这是标准的贝塞尔函数方程式。故可得其齐次解为
0
(l) q2 m 2W g1(l) n 2W g2(l) α 2 (l) q3 m3W g1(l) n3W g2(l) α 3 q 1 m1W g 1(l) n1W g 2 (l) α 1(l)
sec j EAj
tg j
2 ） 外载阶段
上式中的 Wq1 、Wq 2 与前式中的表达式形式是相同的， 只是计算S q 时 x 应取负值，即 S q (Cq q x) / Cq 。式中系 数 i 也与前式中相应的系数 i表达式完全相同，只需注 意将 x 取成负值 及 反映的是活载推力在恒载挠度上产 需要指出的是， 生的附加力矩，此时计算的活载挠度曲线是以变形后的拱 轴线即 y变为 ( y Wg ) 后的轴线为基础的。但此时弹性中心 至拱顶的距离 y s仍近似认为不变（基本假定2）。 （3）待定常数 将两挠度式及其导数代入边界条件式及拱顶处挠曲 线变形连续条件式，经整理后可解得式待定常数值为
x
0
0
x
3 K q (Wq 2 S qWq1dx Wq1 S qWq 2 dx)
4 K q (Wq 2 S qWq1 xdx Wq1 S qWq 2 xdx)
0 0
x d Nq d Nq 5 [Wq 2 Wq1 ( tg )dx Wq1 Wq 2 ( tg )dx] / Vq 0 0 dx EA dx EA x
l
Nq
约束方程为
挠度理论控制微分方程求解方法
无论是恒载阶段，还是活载阶段，挠度理论的控制微 分方程均可以写为 H W W sec f ( x) EI
边界条件为
l
W (l ) W (l ) 0
N 2 W y d x ( 1 tg ) d x 0 l l EA N l tg j W (l ) 0 EAj N r tg j W (l ) 0 EAj
0 0 x x
Vq
3 q
Cq
sin

3
,
将 f q ( x) 的表达式代入上式，则可将上式改写成以赘余力 表达的形式，即
Wql AWq1 BWq 2 1 2 H q 3 M q 4Qq 5 H q
式中：
Wq1 S J 1 (t q )
（2）外载阶段 平衡微分方程为
d 2Wq dx
2

Hg Hq EI
Wq se c f q ( x)
sec 0 f q ( x) [M q M q Qq x H q ( y y s )] EI Hq d Nq ( tg ) W g sec dx EA EI
d Wq dx
2 2


2 q
x 0 的区段 （1） 同样进行变量转换，令 S q (C q q x) / C q 2 2/3 t q Cq S q 3 1/ 2 Wq S q q
Cq
(C q q x )Wq f q ( x)
可将外载作用的齐次方程转换成标准贝塞尔函数方程式 2 d q d q 1 2 2 2 tq tq [t q ( ) ] q 0 2 dt q 3 dt q
外载作用时的控制方程与恒载作用时类似，但此时挠 曲线将不再对称。 可以分别对左半拱及右半拱进行讨论，并要求挠曲线在
原点连续，即
Wl (0) Wr (0) Wl(0) Wr(0)

2 q
与恒载作用阶段相似，令 将控制方程式改写成
Hg Hq EI 0
q / Cq (1 n) / l
x
x
x
0
x
0
dW g 2 dW g1 x sec x sec 1 (W g1 tg dx W g 2 tg dx) 0 EA 0 EA Vg dx dx Kg 1 1 V g EI 0
（2）待定常数 将方程的全解及其导数代入边界条件，解得待定常数为
A1 m1 m2 H g m3 M g B1 n1 n 2 H g n3 M g
边界条件为
l
Wq (l ) Wq (l ) 0
2 W d x ( 1 tg )dx 0 l q dx 2 l EA dW (l ) N ql tg j 0 dx EAj dW (l ) N qr tg j 0 dx EAj d2 y
m n2m
控制方程式的特解可由拉格朗日参数变异法求得，即
W g Wg 2
x
Wg1 f g ( x) Vg
0
dx Wg1
x
Wg 2 f g ( x) Vg
0
dx
Vg 为 W g1 和 Wg 2 的朗斯基行列式，即
Vg W g1 W g1
0
Wg 2 W g2

3 g
c g
此三种变化规律均可找到挠度理论的控制微分方程的解 析解，按以下步骤即可获得挠度理论的全部解答 （ 1 ）满足边界条件求出方程的全解，但解中含有弹性中 心的三个赘余力及拱轴力 （2）利用及三个约束方程可求出三个赘余力 （3）回代即可获得全部变形及内力 对于等截面拱，可获得数值解
取 0 n 1进行分析，分析时仍按恒载作用阶段及活载 作用阶段两个阶段进行 1) 恒载阶段 2 g / cg (1 n) / l 令 g H g / EI0
0 x
0
x
0 x
0
x
K q (Wq 2 S qWq1Wg dx Wq1 S qWq 2Wg dx)
0 0
x
x
Kq
1 1 Vq EI0
（2）x ≤0的区段 作与 ≥0的相似的变换，同理可得
Wqr CWq3 DWq4 1 2 H q 3 M q 4Qq 5 H q
0 0
1886 年由J· Melen 提出的吊桥挠度理论已被人们广泛接 受并应用到工程实际中去。1988年由西安公路学院何福照 教授提出的拱桥挠度理论[1]经过十多年的研究完善，正逐 步被人们所认识 [2][3][4]。与吊桥挠度理论的分析结果相反， 拱桥考虑挠度影响后内力大于不考虑此影响的内力，这意 味着应用弹性理论所设计的拱桥存在不安全隐患。本章着 重介绍挠度理论的精确解析法，简介有关非线性数值分析 方面的内容，详细讨论可参阅文献[2][6]
x 0
dx EA
(
tg )
边界条件为 约束方程为
W g (l ) W g (l )
2 l
0
d y 2 0 Wg dx 2 dx 0 EA (1 tg )dx 0 dW g (l ) N gl tg j 0 dx EAj Ng