第二章 线性时不变系统描述和系统响应
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系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应
s1 2，s2 3
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
包装测试第二章 线性时不变系统
三. 卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 解析法和数值解法。 解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 一个不动， 移动。 一个不动，另一个反转后随参变量 t 移动。对每一 的值， 对应相乘， 个 t 的值，将 x(τ ) 和 h(t − τ ) 对应相乘，再计算相 乘后曲线所包围的面积。 乘后曲线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有 用的。 用的。
三. 卷积和的计算 计算方法： 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 运算过程： 将一个信号 x( k ) 不动，另一个信号经反转后成 移位。 为h(− k ) ,再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况 对应点相乘， 下，将 x( k ) 与 h(n − k ) 对应点相乘，再把乘积的 各点值累加，即得到 n 时刻的 y ( n) 。 例1： x(n) = α n u (n) 0 < α < 1 ：
α n − 4 − α n +1 = 1−α
④ 6 ≤ n ≤ 10 时， y (n) = ⑤ n > 10
k =n −6
∑
4
α n−k
α n−4 − α 7 = 1−α
时， y ( n ) = 0
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示， 通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。 很有用的。 例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 所有各点都要遍乘一次； ① x ( n) 与 h( n) 的所有各点都要遍乘一次； 在遍乘后，各点相加时， ② 在遍乘后，各点相加时，根据 的特点。 和为 n 的特点。 参与相加的各点都具有 x( k ) 与 h( n − k ) 的宗量之
信号与系统王明泉版本~第二章习题解答
第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断0时刻的跳变情况； （7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。
； 2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是()t δ函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。
2.3 本章的知识结构2.4 本章的内容摘要2.4.1系统微分方程的建立电阻：)(1)(t v Rt i R R =电感：dtt di L t v L L )()(= )(d )(1)(0t i v Lt i L tL L +=⎰∞-ττ 电容：dtt dv C t i C C )()(= ⎰+=tt L C C t i i Ct v 0)(d )(1)(0ττ 2.4.2 系统微分方程的求解 齐次解和特解。
齐次解为满足齐次方程t n t t h e c e c e c t y 32121)(λλλ+⋅⋅⋅++=当特征根有重根时，如1λ有k 重根，则响应于1λ的重根部分将有k 项，形如t k t k t k t k h e c te c e t c e t c t y 111112211)(λλλλ++⋅⋅⋅++=--- 当特征根有一对单复根，即bi a +=2,1λ，则微分方程的齐次解bt e c bt e c t y at at h sin cos )(21+= 当特征根有一对m 重复根，即共有m 重ib a ±=2,1λ的复根，则微分方程的齐次解bt e t c bt te c bt c t y at m m at h cos cos cos )(121-+⋅⋅⋅++= bt e t d bt te d bt e d at m m at at sin sin sin 121-+⋅⋅⋅+++ 特解的函数形式与激励函数的形式有关。
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第一章 信号与系统主要内容重点难点1.信号的描述x[n]、x （t ），两者不同之处2.【了解】 信号的功率和能量3.【掌握】自变量变换（计算题目）、理解变换前后图片的缩放或信号的变化4.【了解】 常见信号：指数（j t j n e e w w 、）、正弦（cos cos t n w w 、）、单位冲激（()[]t n d d 、）、单位阶跃（()[]u t u n 、）5.【掌握】用阶跃函数表示矩形函数；冲激与阶跃信号的关系；冲激信号的提取作用；指数信号和正弦信号的周期性。
6.【了解】系统互联7.【掌握】系统的基本性质：记忆与无记忆性、可逆性、因果性、稳定性、时不变与线性。
对已知系统进行性质判断（掌握）1.3、5、71.00cos j n n e w w 、的周期性判断，是周期的条件，若是周期的，则周期：2.00cos j tt e w w 、的周期：自变量变换的量值确定0cos j n n e w w 、的周期性和频率逆转性。
系统的时不变性与线性等性质的证明2T ωπ=02N mωπ=第二章 线性时不变系统第三章 周期信号的傅里叶级数表示FS本章内容安排基本思路:主要内容难点 ✧ 系统的单位冲激响应容易求出：令 ()()x t t d =，对应的输出即为单位冲激响应() h t ；✧ 将任意信号分解为冲激信号()[]t n d d 、的线性组合[][][]; ()()()k x n x k n k x t x t d d t d t t ¥¥-=-=-=-åò✧ 利用L TI 系统的线性和时不变性，在单位冲激响应[]() h t h n 、已知的情况下，推导连续时间和离散时间系统对任意输入x 的响应：[][][]y n =x n * h n ; y(t)=x(t)* h(t)✧ 利用输入输出的卷积关系，根据单位冲激响应[]() h t h n 、，判断ITI 系统的性质1.【掌握】卷积和2.【掌握】卷积积分3.【掌握】用[]() h t h n 、判断L TI 的性质 4.【理解】 初始松弛 5. 【掌握】任意信号与冲激信号、阶跃函数的卷积性质（对比1章冲激信号抽取作用）卷积运算中，求和或者求积时，上下限的确定本章内容安排基本思路:主要内容难点第四章 连续时间傅里变换CFT✧ L TI 系统对复指数信号st ne z 、响应容易求得：()st H s e 、()n H z z 其中()()s H s h e d t t t +--=ò、()[]kk H z h k z+-=-=å✧ 将周期信号分解为0jk tew 的线性组合，即傅立叶级数表示式：()()()0021jk tjk tTk k k k jk t k Tx t a e a e a x t e dt T πωω+∞+∞=-∞=-∞-⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑⎰✧ 傅立叶级数收敛条件分析✧ 从频域分析系统对信号的作用（3.9、3.10）1.【掌握】连续时间周期信号的傅立叶级数公式，求常见信号的傅立叶级数 2.【掌握】收敛条件、傅立叶截断时的吉伯斯现象3..【理解】滤波和频谱的概念，能够判断信号是否能通过一确定的滤波器 5.【掌握】RC 回路实现的滤波器的滤波特性分析，滤波器设计时的折衷思想。
线性时不变系统
x(k∆τ).∆τ.h(t −k∆τ)
则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和： 则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和： x(t)的总响应为所有冲激响应之和
yf (t) ≈ ∑x(k∆τ).∆τ.h(t −k∆τ)
当：
∞
∆τ →dτ,k∆τ →τ
∞ −∞
∞
k=−∞
求和符号改为积分符号
x1 (t ) = e −t 和x2 (t ) = 5e −t 求分别输入
时的输出y(t)。 。 时的输出
解：
y1 (t ) = (e −2t + e − t )u (t )
y2 (t ) = (−3e
−2 t
+ 5e )u (t )
−t
2.2 单位冲激响应
单位冲激响应： 单位冲激响应：线性时不变系统在单位冲激信 的激励下产生的零状态响应。 表示。 号 δ (t ) 的激励下产生的零状态响应。用h(t)表示。 表示 即：
x(t) = ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
y f (t) = ∫ x(τ )h(t −τ )dτ
上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算， 上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用 x(t) 之间的一种二元运算 y(t)=x(t)*h(t)表示 表示。 y(t)=x(t)*h(t)表示。即
第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient) ：
重点： 重点： 理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； 理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； 掌握LTI系统的性质； 系统的性质； 掌握 系统的性质 难点： 难点： 深刻理解卷积积分与卷积和的概念； 深刻理解卷积积分与卷积和的概念；
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2．判断下列系统是否为线性的、时丌变的和因果的？
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解：（1）系统 y（n）＝2x（n）是线性的
该系统是时丌变的，由
，得
该系统是因果的，因为输出在 n 时刻值只不当前 n 时刻的输入有关。 （2）系统 y（n）＝（2n）是线性的
【解析】A 项，y( t ) tf ( t ) ；B 项，y( t ) f ( t 1) ；C 项，y( t ) f ( t ) f ( t ) ； 2
D 项， y( t ) f ( t ) f ( t ) 2
当 af1( t ) bf2( t ) ay1( t ) by2( t ) ， f ( t t0 ) y( t t0 ) 时，系统是线性时丌变系
统，只有 B 项是线性时丌变系统
2．f（k＋3）*δ（k－2）的正确结果为（ ）。 A．f（5）δ（k－2） B．f（1）δ（k－2） C．f（k＋1） D．f（k＋5）
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【答案】C
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【解析】任意序列不脉冲序列的卷积 x( k k1 )* ( k k0 ) x( k k1 k0 ) 。*u（t）（ ）
【答案】√
【解析】由于 f (t) * (t) f (t) ，利用卷积的积分特性：
t
t
t
f ( )d [ f (t) * (t)]dt f (t) * (t)dt f (t) *u(t)
三、填空题 设 x(t) et 0.5 (2t 1) ，则 x(t) ＝_________。 【答案】 0.5 (t 0.5) 【解析】因为 x(t) et 0.5 (2t 1) (2t 1) 0.5 (t 0.5) ，所以 x(t) 0.5 (t 0.5) 。
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解：（1）系统 y（n）＝2x（n）是线性的
该系统是时丌变的，由
，得
该系统是因果的，因为输出在 n 时刻值只不当前 n 时刻的输入有关。 （2）系统 y（n）＝（2n）是线性的
【解析】A 项，y( t ) tf ( t ) ；B 项，y( t ) f ( t 1) ；C 项，y( t ) f ( t ) f ( t ) ； 2
D 项， y( t ) f ( t ) f ( t ) 2
当 af1( t ) bf2( t ) ay1( t ) by2( t ) ， f ( t t0 ) y( t t0 ) 时，系统是线性时丌变系
统，只有 B 项是线性时丌变系统
2．f（k＋3）*δ（k－2）的正确结果为（ ）。 A．f（5）δ（k－2） B．f（1）δ（k－2） C．f（k＋1） D．f（k＋5）
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【答案】C
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【解析】任意序列不脉冲序列的卷积 x( k k1 )* ( k k0 ) x( k k1 k0 ) 。*u（t）（ ）
【答案】√
【解析】由于 f (t) * (t) f (t) ，利用卷积的积分特性：
t
t
t
f ( )d [ f (t) * (t)]dt f (t) * (t)dt f (t) *u(t)
三、填空题 设 x(t) et 0.5 (2t 1) ，则 x(t) ＝_________。 【答案】 0.5 (t 0.5) 【解析】因为 x(t) et 0.5 (2t 1) (2t 1) 0.5 (t 0.5) ，所以 x(t) 0.5 (t 0.5) 。
第2章 线性时不变系统
y(t ) x( )h(t )d h( ) x(t )d
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution
第二章 线性时不变系统
利用多项式算法求卷积和的逆运算 已知 y[n] h[n] x[n] 已知 y[n] x[n] h[n]
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
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卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
线性时不变系统--习题
dt
dt
dt
et t et t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质
f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
f t t f 0 t
从而得出错误结论。
(2) f t t e3 δτ d τ
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2 t
t
1 O
1 t3
t-31
即t 4
gt 0
卷积结果
f1t
1
1 O 1 t
f2 t
3
2
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
x(t t0 ) h(t) x(t) h(t t0 ) y(t t0 )
例1 粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2 t
d dt
et cos tut
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘 图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标 出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极 小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t
自动控制原理：自动控制系统的性能指标
自动控制系统的类型
2. 性质 ① 满足叠加原理 ② 齐次定理
1)叠加性：如果用c1(t)表示由r1(t)产生的 输出，用c2(t)表示由r2(t)产生的输出，则 当r1(t)和r2(t)同时作用时，输出量为c1(t) + c2(t) 。
2)齐次性：如果用c(t)表示由r(t)产生的 输出量，则在Kr(t)作用下的输出量为 Kc(t)。
自动控制系统的类型
3. 判断方法
对方程
a0
d n yt
dtn
a1
d n1 yt
dt n1
...
an
yt
b0
d m xt
dtm
b1
d m1xt
dt m1
...
bm xt
其中x(t)为输入量,Y(t)为输出量.
若方程中,输入、输出量及各阶导数均为一次幂,且各 系数均与输入量(自变量)Ｘ（ｔ）无关.就可定义为①, 用拉氏变换可求出输入输出关系函数(传递函数,动态 数模)。
处或几处的信号是离散信号，则称为离散系统。 对控制系统性能的主要要求是稳定性、暂态性能和稳态性能等几个方
面。这些性能常常是互相矛盾的。
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 14
第二章
§2 自动控制系统的数学模型
0 序言 §2-1 动态微分方程式的编写 §2-2 非线性数学模型线性化 §2-3 传递函数 §2-4 系统动态结构图 §2-5 系统传递函数和结构图的等效变换 §2-6 信号流图
导读
为什么要介绍本章?
分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模型。
本章主要讲什么内容?
首先介绍控制系统数学模型的概念，然后阐述分析、设计控 制系统常用的几种数学模型，包括微分方程、传递函数、结构 图以及信号流图。使读者了解机理建模的基本方法，着重了解 这些数学模型之间的相互关系。
信号与系统 2.1 LTI连续系统的响应
解：系统的特征方程为 特征根
4 4 0
2
2 0 1 2 重根
2
对应的齐次解为
yh t C1t C2 e2t
2. 特解
特解的形式和激励的形式有关，由激励的形式定。
激励f(t) 响应y(t)的特解yp(t)
F (常数 )
tm
P(常数)
三.零输入响应和零状态响应
1 、零输入响应
零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)} 所引起的响应，用yzi(t)表示。在零输入条件下，微分 方程等号右端为零，化为齐次方程，即：
( a j yzij ) (t ) 0 j 0 n
对于零输入响应，由于激励为零，故有 yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)= y(j)(0-) 注意：零输入响应的这个性质
第二章 连续系统的时域分析
本章主要研究线性时不变（LTI）连续系统的时域 分析方法，即对于给定的激励，根据激励和响应之间 关系的微分方程求响应的方法。
第二章 连续系统的时域分析
本章重点：
微分方程的经典求解方法
关于0-和0+初始值 零输入响应和零状态响应
§2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
全响应
如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下， LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应与零状 态响应之和，即： y(t)=yzi(t)+yzs(t) 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yzi(j)(0+), yzs(j)(0+) (j=0,1,2，…,n-1)的计算。 y(j)(0-)= yzi(j)(0-)+ yzs(j)(0-) y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+) 对于零状态响应，在t=0-时激励尚未接入，因此 yzs(j)(0-)=0 因而零输入响应的0+值 yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-)= y(j)(0-)
4 4 0
2
2 0 1 2 重根
2
对应的齐次解为
yh t C1t C2 e2t
2. 特解
特解的形式和激励的形式有关，由激励的形式定。
激励f(t) 响应y(t)的特解yp(t)
F (常数 )
tm
P(常数)
三.零输入响应和零状态响应
1 、零输入响应
零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)} 所引起的响应，用yzi(t)表示。在零输入条件下，微分 方程等号右端为零，化为齐次方程，即：
( a j yzij ) (t ) 0 j 0 n
对于零输入响应，由于激励为零，故有 yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)= y(j)(0-) 注意：零输入响应的这个性质
第二章 连续系统的时域分析
本章主要研究线性时不变（LTI）连续系统的时域 分析方法，即对于给定的激励，根据激励和响应之间 关系的微分方程求响应的方法。
第二章 连续系统的时域分析
本章重点：
微分方程的经典求解方法
关于0-和0+初始值 零输入响应和零状态响应
§2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
全响应
如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下， LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应与零状 态响应之和，即： y(t)=yzi(t)+yzs(t) 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yzi(j)(0+), yzs(j)(0+) (j=0,1,2，…,n-1)的计算。 y(j)(0-)= yzi(j)(0-)+ yzs(j)(0-) y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+) 对于零状态响应，在t=0-时激励尚未接入，因此 yzs(j)(0-)=0 因而零输入响应的0+值 yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-)= y(j)(0-)
信号与系统概论PPT第二章线性时不变系统的时域分析2
卷积重要性质： 1) 信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
自动控制原理与应用第2章自动控制系统的数学模型
自动控制原理与应用第2章自动控制系统的数学模型自动控制是现代工业和科学技术的重要组成部分，它在各种自动化系统中起着关键作用。
通过对自动控制系统的数学建模，我们可以对系统的行为进行分析和预测，并设计合适的控制策略来实现系统的稳定性和性能要求。
本章主要介绍自动控制系统的数学模型及其应用。
自动控制系统的数学模型主要包括线性时不变系统和非线性时变系统两类。
1.线性时不变系统线性时不变系统是指系统的输出与输入之间存在线性关系，并且系统的性质不随时间的推移而变化。
线性时不变系统的数学模型可以用常微分方程或差分方程来表示，其中常微分方程适用于连续系统，差分方程适用于离散系统。
常见的线性时不变系统包括电路、机械系统等。
2.非线性时变系统非线性时变系统是指系统的输出与输入之间存在非线性关系，并且系统的性质随时间的推移而变化。
非线性时变系统的数学模型可以用偏微分方程、泛函方程等形式来表示。
非线性时变系统由于具有更复杂的动力学特性，通常需要借助数值方法来求解。
二、数学模型的建立方法建立自动控制系统的数学模型有多种方法，常用的方法包括物理模型法、数据模型法和状态空间法。
1.物理模型法物理模型法主要通过物理规律来建立系统的数学模型。
它基于系统的物理特性及其输入输出关系，通过建立微分方程或差分方程来描述系统的动态行为。
物理模型法适用于那些具有明确的物理意义和物理规律的系统。
例如，对机械系统可以利用牛顿定律建立系统的动力学方程。
2.数据模型法数据模型法是通过分析实验数据来建立系统的数学模型。
它基于系统的输入输出数据，借助统计方法和系统辨识技术来进行模型识别和参数估计。
数据模型法适用于那些难以建立明确物理模型的系统。
例如，对于生物系统或经验性系统，可以通过数据模型法来建立系统的数学模型。
3.状态空间法状态空间法是一种以状态变量和输出变量为基础的建模方法。
它将系统的动态行为表示为一组一阶微分方程或差分方程的形式。
状态空间法对于较复杂的系统具有较好的描述能力，能够反映系统的内部结构和动态特性。
第二章线性时不变系统
引 言
2.0
分析LTI系统时，问题的实质是什么？
1）研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意 信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来 构成任意信号； 引 言 2.0 3 2）研究如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。
基本单元的信号应满足以下要求是什么？
1）尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示尽可能 广泛的其他信号； 2）LTI系统对这种信号的响应易于求的。
h( )
2T
1 x(t )
0
2T
t T
0
t
① 当
t0
时，
y (t ) 0
② 当 0 t T 时，
③ 当 T t 2T时，
连 续 时 间 系 统 ： 卷 积 积 分 19 LTI
④ 当 2T t 3T时，
⑤ 当 t 3T 时，
1 2 y(t ) d t 0 2 t 1 2 y(t ) d Tt T t T 2 2T 1 2 y(t ) d 2T (t T ) 2 t T 2 y (t ) 0
对应点相乘，再把乘积的各点值累加，得到 n 时刻的 y n
x n nu n 例1 已知 h n u n
0 1 ，求LTI系统对输
入信号的响应 y n 。
解：采用图解法
y n
k
x k h n k
上式表明： LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应 h(t )来表征。这种求得系统响 应的运算关系称为卷积积分（The convolution integral）。
三．卷积积分的计算（分5步移动法） 卷积积分与卷积和类似，求解的方法有图解法、解析法 和数值解法。
第2章__线性时不变系统
dg (t ) h(t ) dt
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
第二章 线性时不变系统的时域分析
几种常见的激励信号，特解的形式见表 2.1所示。
特解的求解过程一般是将表2.1中和激励
信号相对应、并具有待定系数 B 的特解 代入微分方程后求出待定系数 B，这样
也就求出了特解。
微分方程的齐次解和特解求出以后，其完全解的 形式也就确定下来了。但是，完全解中的待定系 数则需要由方程给定的初值来确定。
方程为
n
k 0
ak
d k y(t) dtk
0
n
特征方程为
a nk k
0
k 0
解此特征方程就可求得特征根。
根据特征根是单根、重根、共轭复根， 齐次解的形式也有所不同，一般有三种 情况。
⑴ 如果特征根 a1 、a2 、···an 都是单根，则 齐次解的形式为
n
Ck ekt
k 1
⑵ 如果在特征根中， 是 k 重特征根 am ， 则与 am 相对应的齐次解为:
微分方程的完全解、齐次解和特解是数 学上的名词；
在信号与系统的术语中，微分方程的解 就是系统的响应。
微分方程的完全解称为完全响应
齐次解称为自由响应（与激励信号无关）
特解称为强迫响应（和激励信号有关） 完全响应＝自由响应＋强迫响应
3.离散时间LTI系统的差分方程求解
（1）差分方程 离散系统的基本部件有移位器（也叫做延时器
线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。
连续时间LTI系统用微分方程描述； 离散时间LTI系统用差分方程描述。
1.连续时间LTI系统的微分方程及其求解
对连续时间LTI系统，如果 x(t) 为输入， y(t) 为输出，则描述输入和输出之间的
微分方程为：
为求得这些初值，我们将系统在激励信号加入前 瞬间的状态定义为系统的起始状态，记为 y(k)(0-)； 而将系统在激励信号加入后瞬间的状态定义为系 统的初始状态，记为y(k)(0+) ，确定系统完全响应 所需要的初值是初始状态 y(k)(0+)，（系统的初始 状态就是系统在 t=0+ 时刻的响应）。
特解的求解过程一般是将表2.1中和激励
信号相对应、并具有待定系数 B 的特解 代入微分方程后求出待定系数 B，这样
也就求出了特解。
微分方程的齐次解和特解求出以后，其完全解的 形式也就确定下来了。但是，完全解中的待定系 数则需要由方程给定的初值来确定。
方程为
n
k 0
ak
d k y(t) dtk
0
n
特征方程为
a nk k
0
k 0
解此特征方程就可求得特征根。
根据特征根是单根、重根、共轭复根， 齐次解的形式也有所不同，一般有三种 情况。
⑴ 如果特征根 a1 、a2 、···an 都是单根，则 齐次解的形式为
n
Ck ekt
k 1
⑵ 如果在特征根中， 是 k 重特征根 am ， 则与 am 相对应的齐次解为:
微分方程的完全解、齐次解和特解是数 学上的名词；
在信号与系统的术语中，微分方程的解 就是系统的响应。
微分方程的完全解称为完全响应
齐次解称为自由响应（与激励信号无关）
特解称为强迫响应（和激励信号有关） 完全响应＝自由响应＋强迫响应
3.离散时间LTI系统的差分方程求解
（1）差分方程 离散系统的基本部件有移位器（也叫做延时器
线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。
连续时间LTI系统用微分方程描述； 离散时间LTI系统用差分方程描述。
1.连续时间LTI系统的微分方程及其求解
对连续时间LTI系统，如果 x(t) 为输入， y(t) 为输出，则描述输入和输出之间的
微分方程为：
为求得这些初值，我们将系统在激励信号加入前 瞬间的状态定义为系统的起始状态，记为 y(k)(0-)； 而将系统在激励信号加入后瞬间的状态定义为系 统的初始状态，记为y(k)(0+) ，确定系统完全响应 所需要的初值是初始状态 y(k)(0+)，（系统的初始 状态就是系统在 t=0+ 时刻的响应）。
第二章-线性时不变系统(20170918)
f ( n) * u ( n)
3、u(n)与anu(n) 卷积
k
n
f (k )
1 a n 1 a u ( n) * u ( n) u ( n) 1 a
n
2.图示法（图解法）
用作图法计算x1(n)*x2(n)的步骤为： 1. 将序列x1(n)、 x2(n)的自变量用k代替，然后将序 列x2(n)以纵坐标为轴反转，成为x2(-k) 2. 将(-k)沿正k轴平移n个单位，成为x2(n-k) 3. 求乘积x1(k) x2(n-k) 4. 按公式求各乘积之和
时， y (n) 0
常用信号的卷积和 1、f(n)与单位脉冲信号卷积
f ( n) ( n) f ( n)
f ( n) ( n N ) f ( n N )
f (n M ) (n N ) f (n M N )
2、f(n)与单位阶跃序列卷积
例1、（定义式法）求 y (t ) 解 y (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
f1 (t ) f 2 (t ) e 1t u (t ) e 2t u (t )
e1 u( )e2 (t ) u(t- )d
0 e 1 e 2 ( t ) d
x ( ) (t- )d
二. 卷积积分（Convolution sum） LTI系统的单位脉冲响应
x(t) (t) x(τ) (t-τ) x(τ)(t-τ) y(t) h(t) y(τ) h(t-τ) x(τ)h(t-τ)
定义h(t)为δ(t)通过 LTI系统的输出
LTI系统
三. 卷积积分的计算
卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y 初始条件： [1], y[2],, y[ N ]
c y[n k ] d f [n l ]
k 0 k l 0 l
N
M
( N 阶)
(2.1.2)
差分方程的解为齐次解与特解之和，即
y[n] yh [n] y p [n]
求齐次解yh [n] 的方法如下：
1 2 3
1 1 1 2 2 3，
n n
方程的齐次解为
1 1 y fh [n] Af 1 Af 2 3 2
将输入代入差分方程的右边，当 n 1 时，有
f [n] f [n 1] n (n 1) 1
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
3
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
3 卷积和计算例题 例2.2.4
一个LTI离散时间系统的输入信号为 f [n] nu[n] ，系统 n 的冲激响应为 h[n] u[n]，试求系统的响应 y[n] 。
f[n]
1
1
h[n]
1 0
1 2
3 4 5
n
1 0 1 2 3 4
1 h[n] [n] [n 1] 2
系统的冲激响应如图
1
h[n]
1/ 2
1
0
1
2
3
n
图2.2.3
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
例2.2.1 已知因果LTI离散时间系统差分方程为
y[n] 1 y[n 1] f [ n] 2
求系统的单位冲激响应 h[n] 解： 因为：
2
1 ，2
1 3
1 2
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
所以零输入解的形式为
1 1 ys [n] As1 As 2 3 5 2 1
2
n n
将初始条件 y[1] 和y[2] 2 代入上式，可得
1 1 1 1 1 ys [1] As1 As 2 2 3 2 2 2 1 1 5 ys [2] As1 As 2 2 3 2
得零状态响应为
3 Af 1 , 2
n
Af 2 2
3 1 1 1 y f [n] （-2） 2 3 2 2
n
，
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
（3）求系统的全响应 y[n]
y[n] ys [n] y f [n]
8 1 1 1 y[n] 4 3 3 2 2
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
例2.1.1 已知一个因果LTI离散时间系统，用差分方程 描述为
5 1 y[n] y[n 1] y[n 2] f [n] f [n 1] 6 6
5 f [n] nu[n] ，初始条件 y[1] 1 ， [2] 。 y 且输入 2 2
f[n]
线性常系数 差分方程 {初始条件}
y[n]
线性常系数差分方程的一般形式可以表示为
c0 y[n] c1 y[n 1] cN y[n N ] d0 f [n] d1 f [n 1] dM f [n M ]
(2.1.1)
2.1 LT差分方程描述
解得：
7 As1 , 6
零输入响应
As 2 2
7 1 1 n 0 ys [n] (2) 6 3 2 ，
n
n
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
（2）求解系统的零状态响应 y f [n] 因为方程的特征根为
y[n] Ak kn y p [n]
k 1
N
(2.1.7)
齐次解
特 解
利用初始条件求得 Ak 。
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
2 零输入响应和零状态响应
零输入响应 (zero input response) ys [n] 当输入信号f [n] 为零时，系统的响应仅由初始状态产生
1 h[n] [n] h[n 1], 2
h[1] 0
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
所以
1 h[0] [n] h[1] 1 2 1 1 h[1] h[0] 2 2 1 1 2 h[2] h[1] ( ) 2 2
可得：
1 n h[n] ( ) u[ n] 2
(2.2.6)
Note：卷积式求出的，仅是系统的零状态响应。
n0 时刻的响应，令 n n0 ， y[n]
有
k
f [k ]h[n k ]
y[n0 ]
k
f [k ]h[n0 k ]
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
归纳起来，完成时刻
1
n 的响应 y[n]的计算步骤:
y[n] f [1]h[n 1] f [0]h[n] f [1]h[n 1]
(2.2.2)
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
或
y[n]
k
f [k ]h[n k ]
(2.2.5)
上式称为 f [n]与 h[n] 的卷积和，简称为卷积，为
y[n] f [n] h[n]
零初始条件：
k 0 k l 0 l
(2.2.1)
h[1] h[2] h[ N ] 0
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
用冲激响应和差分方程来描述系统，二者等价
LTI离散时间系统 差分方程
LTI离散时间系统冲 激响应 h[n]
LTI离散时间系统的冲激响应描述为
f[n]
2 卷积和
如果已知LTI离散时间系统的输入信号 f [n] 和冲 ？ 系统的零状态响应 y[n] 激响应 h[n]
根据 [n] 的筛选性
f[1][n 1]
f[n]
f[0][n]
2
f [n]可表为一系列冲激信号的和
1
0
1
2
n
f [n]
k
f [k ] [n k ]
3
n
n
特别注意初始条件！！！
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
1 离散时间系统的冲激响应 h[n]
冲激响应 (impulse response) 的定义
f[n] [n]
离散时间系统 {零状态}
M
y[n] h[n]
用差分方程描述如下
N
c h[n k ] d [n l ]
写出特征方程 求解 N 个特征根
c0 c1 1 cN 1 N 1 cN N 0
没有重根时
yh [n] A A AN
n 1 1 n 2 2
n N
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
一个使方程成立的任意解，为方程的特解 y p [n] ∴差分方程的全解为
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
FIR和IIR的概念： 如果系统的冲激响应的持续时间是有限的，系统为 有限冲激响应系统，即FIR（finite impulse response）系统；反之，系统为无限冲激响应系统， 即IIR（infinite impulse response）系统。
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
反折：自变量为 k ，得 f [k ]和 h[k ] ，反折 h[k ]得 h[k ] ； 时移：对 h[k ] 进行时移变换得 h[n k ] ；
2
相乘：两信号相乘 f [k ]h[n k ] ； 4 累加：对 f [k ]h[n k ]关于 k 完成累加运算，即 得 n 时刻的响应 y[n] 。
5 1 y[n] y[n 1] y[n 2] 1 6 6
设特解为y fp [n] B0
B0 5 1 B0 B0 1 6 6
1 y fp [ n] 2
1 1 1 y f [n] y fh [n] y fp [n] Af 1 Af 2 3 2 2
试求： （1）零输入响应 ys [n]； （2）零状态响应 y f [n] ； （3）系统全响应 y[n]。
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
解： （1）求解系统的零输入响应 ys [n] 。
5 1 y[n] y[n 1] y[n 2] 0 6 6
特征方程： 特征根：
5 1 0 6 6
零状态响应(zero state response) y f [n] 系统只有输入 f [n] ,且初始状态为零时系统的响应y f [n] 初始条件： y f [1] y f [2] y f [ N ] 0
c y
k 0 k
N
f
[n k ] dl f [n l ]
5
n
h 信号f [n] ，[ n]的波形 （为画图方便，取 2 ， 0.5 ）
n n
n ， 0
特解 y p [n]
(2.1.14)
齐次解 yh [n]
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
系统的全响应也可按下式直接求解
y[n] Ak kn y p [n]
k 1 N
1 1 1 y[n] yh [n] y p [n] A1 A2 3 2 2 1 5 5 由初始条件 y[1] 2 ，y[2] 2 ，得 y[0] 6 5 1 将 y[0] ， y[1] 代入上式可解得待定系 6 2 8 A 数 A1 ， 2 4 。
c y[n k ] d f [n l ]
k 0 k l 0 l
N
M
( N 阶)
(2.1.2)
差分方程的解为齐次解与特解之和，即
y[n] yh [n] y p [n]
求齐次解yh [n] 的方法如下：
1 2 3
1 1 1 2 2 3，
n n
方程的齐次解为
1 1 y fh [n] Af 1 Af 2 3 2
将输入代入差分方程的右边，当 n 1 时，有
f [n] f [n 1] n (n 1) 1
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
3
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
3 卷积和计算例题 例2.2.4
一个LTI离散时间系统的输入信号为 f [n] nu[n] ，系统 n 的冲激响应为 h[n] u[n]，试求系统的响应 y[n] 。
f[n]
1
1
h[n]
1 0
1 2
3 4 5
n
1 0 1 2 3 4
1 h[n] [n] [n 1] 2
系统的冲激响应如图
1
h[n]
1/ 2
1
0
1
2
3
n
图2.2.3
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
例2.2.1 已知因果LTI离散时间系统差分方程为
y[n] 1 y[n 1] f [ n] 2
求系统的单位冲激响应 h[n] 解： 因为：
2
1 ，2
1 3
1 2
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
所以零输入解的形式为
1 1 ys [n] As1 As 2 3 5 2 1
2
n n
将初始条件 y[1] 和y[2] 2 代入上式，可得
1 1 1 1 1 ys [1] As1 As 2 2 3 2 2 2 1 1 5 ys [2] As1 As 2 2 3 2
得零状态响应为
3 Af 1 , 2
n
Af 2 2
3 1 1 1 y f [n] （-2） 2 3 2 2
n
，
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
（3）求系统的全响应 y[n]
y[n] ys [n] y f [n]
8 1 1 1 y[n] 4 3 3 2 2
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
例2.1.1 已知一个因果LTI离散时间系统，用差分方程 描述为
5 1 y[n] y[n 1] y[n 2] f [n] f [n 1] 6 6
5 f [n] nu[n] ，初始条件 y[1] 1 ， [2] 。 y 且输入 2 2
f[n]
线性常系数 差分方程 {初始条件}
y[n]
线性常系数差分方程的一般形式可以表示为
c0 y[n] c1 y[n 1] cN y[n N ] d0 f [n] d1 f [n 1] dM f [n M ]
(2.1.1)
2.1 LT差分方程描述
解得：
7 As1 , 6
零输入响应
As 2 2
7 1 1 n 0 ys [n] (2) 6 3 2 ，
n
n
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
（2）求解系统的零状态响应 y f [n] 因为方程的特征根为
y[n] Ak kn y p [n]
k 1
N
(2.1.7)
齐次解
特 解
利用初始条件求得 Ak 。
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
2 零输入响应和零状态响应
零输入响应 (zero input response) ys [n] 当输入信号f [n] 为零时，系统的响应仅由初始状态产生
1 h[n] [n] h[n 1], 2
h[1] 0
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
所以
1 h[0] [n] h[1] 1 2 1 1 h[1] h[0] 2 2 1 1 2 h[2] h[1] ( ) 2 2
可得：
1 n h[n] ( ) u[ n] 2
(2.2.6)
Note：卷积式求出的，仅是系统的零状态响应。
n0 时刻的响应，令 n n0 ， y[n]
有
k
f [k ]h[n k ]
y[n0 ]
k
f [k ]h[n0 k ]
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
归纳起来，完成时刻
1
n 的响应 y[n]的计算步骤:
y[n] f [1]h[n 1] f [0]h[n] f [1]h[n 1]
(2.2.2)
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
或
y[n]
k
f [k ]h[n k ]
(2.2.5)
上式称为 f [n]与 h[n] 的卷积和，简称为卷积，为
y[n] f [n] h[n]
零初始条件：
k 0 k l 0 l
(2.2.1)
h[1] h[2] h[ N ] 0
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
用冲激响应和差分方程来描述系统，二者等价
LTI离散时间系统 差分方程
LTI离散时间系统冲 激响应 h[n]
LTI离散时间系统的冲激响应描述为
f[n]
2 卷积和
如果已知LTI离散时间系统的输入信号 f [n] 和冲 ？ 系统的零状态响应 y[n] 激响应 h[n]
根据 [n] 的筛选性
f[1][n 1]
f[n]
f[0][n]
2
f [n]可表为一系列冲激信号的和
1
0
1
2
n
f [n]
k
f [k ] [n k ]
3
n
n
特别注意初始条件！！！
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
1 离散时间系统的冲激响应 h[n]
冲激响应 (impulse response) 的定义
f[n] [n]
离散时间系统 {零状态}
M
y[n] h[n]
用差分方程描述如下
N
c h[n k ] d [n l ]
写出特征方程 求解 N 个特征根
c0 c1 1 cN 1 N 1 cN N 0
没有重根时
yh [n] A A AN
n 1 1 n 2 2
n N
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
一个使方程成立的任意解，为方程的特解 y p [n] ∴差分方程的全解为
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
FIR和IIR的概念： 如果系统的冲激响应的持续时间是有限的，系统为 有限冲激响应系统，即FIR（finite impulse response）系统；反之，系统为无限冲激响应系统， 即IIR（infinite impulse response）系统。
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
反折：自变量为 k ，得 f [k ]和 h[k ] ，反折 h[k ]得 h[k ] ； 时移：对 h[k ] 进行时移变换得 h[n k ] ；
2
相乘：两信号相乘 f [k ]h[n k ] ； 4 累加：对 f [k ]h[n k ]关于 k 完成累加运算，即 得 n 时刻的响应 y[n] 。
5 1 y[n] y[n 1] y[n 2] 1 6 6
设特解为y fp [n] B0
B0 5 1 B0 B0 1 6 6
1 y fp [ n] 2
1 1 1 y f [n] y fh [n] y fp [n] Af 1 Af 2 3 2 2
试求： （1）零输入响应 ys [n]； （2）零状态响应 y f [n] ； （3）系统全响应 y[n]。
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
解： （1）求解系统的零输入响应 ys [n] 。
5 1 y[n] y[n 1] y[n 2] 0 6 6
特征方程： 特征根：
5 1 0 6 6
零状态响应(zero state response) y f [n] 系统只有输入 f [n] ,且初始状态为零时系统的响应y f [n] 初始条件： y f [1] y f [2] y f [ N ] 0
c y
k 0 k
N
f
[n k ] dl f [n l ]
5
n
h 信号f [n] ，[ n]的波形 （为画图方便，取 2 ， 0.5 ）
n n
n ， 0
特解 y p [n]
(2.1.14)
齐次解 yh [n]
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
系统的全响应也可按下式直接求解
y[n] Ak kn y p [n]
k 1 N
1 1 1 y[n] yh [n] y p [n] A1 A2 3 2 2 1 5 5 由初始条件 y[1] 2 ，y[2] 2 ，得 y[0] 6 5 1 将 y[0] ， y[1] 代入上式可解得待定系 6 2 8 A 数 A1 ， 2 4 。