第二章 线性时不变系统描述和系统响应

c y [n k ] 0
y p [n] 0 是方程的一个特解

k 0 k s
N
(2.1.8)
初始状态为： ys [1], ys [2],, ys [ N ]
∴


ys [n] Ask kn
k 1
N
(2.1.9)
利用初始条件求得 Ask 。
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
图2.2.5信号 f [n] 及其冲激信号 和表示
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
系统对 [n] 的响应为 h[n]
根据时不变性，“延时的响 应等于响应的延时”，
系统对 [n k ]的响应为 h[n k ]
跟据系统的线性性质，“和 的响应等于响应的和”
系统对 f [n] 的响应为
2
1 ，2
1 3
1 2
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
所以零输入解的形式为
1 1 ys [n] As1 As 2 3 5 2 1
2
n n
将初始条件 y[1] 和y[2] 2 代入上式，可得
1 1 1 1 1 ys [1] As1 As 2 2 3 2 2 2 1 1 5 ys [2] As1 As 2 2 3 2
(2.2.6)
Note：卷积式求出的，仅是系统的零状态响应。
n0 时刻的响应，令 n n0 ， y[n]
有
k


f [k ]h[n k ]
y[n0 ]
k


f [k ]h[n0 k ]
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
归纳起来，完成时刻
1
n 的响应 y[n]的计算步骤:
信号与系统
第二章
Signals and systems
线性时不变系统描述 和系统响应
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
1 LTI离散时间系统的差分方程

对于LTI离散时间系统，其输入和响应间的映射关系 可 以 用 一 个 线 性 常 系 数 差 分 方 程 （ difference equation）及一组初始条件来描述
得零状态响应为
3 Af 1 , 2
n
Af 2 2
3 1 1 1 y f [n] （-2） 2 3 2 2
n
，
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
（3）求系统的全响应 y[n]
y[n] ys [n] y f [n]
8 1 1 1 y[n] 4 3 3 2 2
3
n
n
特别注意初始条件！！！
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
1 离散时间系统的冲激响应 h[n]
冲激响应 (impulse response) 的定义
f[n] [n]
离散时间系统 {零状态}
M
y[n] h[n]
用差分方程描述如下
N
c h[n k ] d [n l ]
1 h[n] [n] h[n 1], 2
h[1] 0
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
所以
1 h[0] [n] h[1] 1 2 1 1 h[1] h[0] 2 2 1 1 2 h[2] h[1] ( ) 2 2

可得：
1 n h[n] ( ) u[ n] 2
试求： （1）零输入响应 ys [n]； （2）零状态响应 y f [n] ； （3）系统全响应 y[n]。
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
解： （1）求解系统的零输入响应 ys [n] 。
5 1 y[n] y[n 1] y[n 2] 0 6 6
特征方程： 特征根：
5 1 0 6 6
2 卷积和
如果已知LTI离散时间系统的输入信号 f [n] 和冲 ？ 系统的零状态响应 y[n] 激响应 h[n]
根据 [n] 的筛选性

f[1][n 1]
f[n]
f[0][n]

2
f [n]可表为一系列冲激信号的和
1
0
1
2
n
f [n]
k


f [k ] [n k ]
1 h[n] [n] [n 1] 2
系统的冲激响应如图
1
h[n]
1/ 2
1
0
1
2
3
n
图2.2.3
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
例2.2.1 已知因果LTI离散时间系统差分方程为
y[n] 1 y[n 1] f [ n] 2
求系统的单位冲激响应 h[n] 解： 因为：
零初始条件：
k 0 k l 0 l
(2.2.1)
h[1] h[2] h[ N ] 0
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
用冲激响应和差分方程来描述系统，二者等价
LTI离散时间系统 差分方程
LTI离散时间系统冲 激响应 h[n]
LTI离散时间系统的冲激响应描述为
f[n]
5 1 y[n] y[n 1] y[n 2] 1 6 6
设特解为y fp [n] B0
B0 5 1 B0 B0 1 6 6
1 y fp [ n] 2
1 1 1 y f [n] y fh [n] y fp [n] Af 1 Af 2 3 2 2
n n
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
由于 n 1时输入起作用，将零初始条件 y f [1] 0 和 y f [0] 0 代入上式
1 1 1 1 1 0 y f [1] Af 1 Af 2 n 0 2 3 2 0 0 1 1 1 y f [0] Af 1 Af 2 0 3 2 2
3
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
3 卷积和计算例题 例2.2.4
一个LTI离散时间系统的输入信号为 f [n] nu[n] ，系统 n 的冲激响应为 h[n] u[n]，试求系统的响应 y[n] 。
f[n]
1

1
h[n]

1 0
1 2
3 4 5
n
1 0 1 2 3 4
y[n] Ak kn y p [n]
k 1
N
(2.1.7)
齐次解
特 解
利用初始条件求得 Ak 。
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
2 零输入响应和零状态响应
零输入响应 (zero input response) ys [n] 当输入信号f [n] 为零时，系统的响应仅由初始状态产生
y 初始条件： [1], y[2],, y[ N ]
c y[n k ] d f [n l ]
k 0 k l 0 l
N
M
( N 阶)
(2.1.2)
差分方程的解为齐次解与特解之和，即
y[n] yh [n] y p [n]
求齐次解yh [n] 的方法如下：
1 2 3
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
例2.1.1 已知一个因果LTI离散时间系统，用差分方程 描述为
5 1 y[n] y[n 1] y[n 2] f [n] f [n 1] 6 6
5 f [n] nu[n] ，初始条件 y[1] 1 ， [2] 。 y 且输入 2 2
h[n] y[n]
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
例 已知一个LTI离散时间系统，描述该系统的差分方 程为
1 y[n] f [n] f [n 1] 2
试求其冲激响应 h[n] 。
解：由于该系统是零阶的，无需初始条件。
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
f [n] [n]
5
n
h 信号f [n] ，[ n]的波形 （为画图方便，取 2 ， 0.5 ）
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
FIR和IIR的概念： 如果系统的冲激响应的持续时间是有限的，系统为 有限冲激响应系统，即FIR（finite impulse response）系统；反之，系统为无限冲激响应系统， 即IIR（infinite impulse response）系统。
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
N
l 0
M
利用零初始条件求得 Afk 。
∴
∴
(2.1.10) (2.1.11)
y f [n] Afk kn y p [n]
k 1
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
系统全响应 y[n] ys [n] y f [n]
零输入 响应 零状态 响应
(2.1.12)
上式根据系统的LTI特性得到。
零状态响应(zero state response) y f [n] 系统只有输入 f [n] ,且初始状态为零时系统的响应y f [n] 初始条件： y f [1] y f [2] y f [ N ] 0
c y
k 0 k
N
f
[n k ] dl f [n l ]
反折：自变量为 k ，得 f [k ]和 h[k ] ，反折 h[k ]得 h[k ] ； 时移：对 h[k ] 进行时移变换得 h[n k ] ；
2
相乘：两信号相乘 f [k ]h[n k ] ； 4 累加：对 f [k ]h[n k ]关于 k 完成累加运算，即 得 n 时刻的响应 y[n] 。
写出特征方程 求解 N 个特征根
c0 c1 1 cN 1 N 1 cN N 0
没有重根时
yh [n] A A 源自文库 AN
n 1 1 n 2 2
n N
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
一个使方程成立的任意解，为方程的特解 y p [n] ∴差分方程的全解为
1 1 1 2 2 3，
n n
方程的齐次解为
1 1 y fh [n] Af 1 Af 2 3 2
将输入代入差分方程的右边，当 n 1 时，有
f [n] f [n 1] n (n 1) 1
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
n n
n ， 0
特解 y p [n]
(2.1.14)
齐次解 yh [n]
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
系统的全响应也可按下式直接求解
y[n] Ak kn y p [n]
k 1 N
1 1 1 y[n] yh [n] y p [n] A1 A2 3 2 2 1 5 5 由初始条件 y[1] 2 ，y[2] 2 ，得 y[0] 6 5 1 将 y[0] ， y[1] 代入上式可解得待定系 6 2 8 A 数 A1 ， 2 4 。
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
解得：
7 As1 , 6
零输入响应
As 2 2
7 1 1 n 0 ys [n] (2) 6 3 2 ，
n
n
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
（2）求解系统的零状态响应 y f [n] 因为方程的特征根为
f[n]
线性常系数 差分方程 {初始条件}
y[n]

线性常系数差分方程的一般形式可以表示为
c0 y[n] c1 y[n 1] cN y[n N ] d0 f [n] d1 f [n 1] dM f [n M ]
(2.1.1)
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
y[n] f [1]h[n 1] f [0]h[n] f [1]h[n 1]
(2.2.2)
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
或
y[n]
k


f [k ]h[n k ]
(2.2.5)
上式称为 f [n]与 h[n] 的卷积和，简称为卷积，为
y[n] f [n] h[n]