求解一类高阶奇摄动线性边值问题
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分 析 ， 出 了相 应 的 结 果 ． 得
［ 键 词 ］ 高 阶 奇 异摄 动 ； 统 降 阶 ； 界 层 ； 近 展 开 式 关 系 边 渐 （ 章 编 号 ］ １ ７ — ０ ７ ２ １ ） ３ ０ ３ — ５ ［ 图 分 类 号 ） Ｏ１ ５ １ （ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ２ ２ ２ （ ０ １ ０ — ０ ６０ 中 ７． ４ 文
２ １年 ９月 ０ １
求解一类高阶奇摄动线性边值 问题
卫 丽 娟
（ 中北 大 学 理 学 院 ， 山西 太 原 ０ ０ ５ ） ３ ０ １
（ 要 ］ 文 章 研 究 了 一 类 高 阶 奇 异 摄 动 线 性 系 统 的 近 似 解 ， 过 降 阶 将 高 阶 奇 异 摄 动 系 统 转 摘 通 化 成 一 般 的 低 阶 变 系 数 奇 异 摄 动 系统 ， 根 据 不 同 的 边 界 层 引 入 伸 长 变 量 构 造 渐 近 解 ， 对 其 进 行 再 并
时
和
心 ． （ ）一 “ ． （ ， ｏ１ ０ ｚ） ２
０． ２
阶 的求解 问题 ， 而方便 了我们 的研 究 ， 从 而低 阶 的问题 又有 不 同的情 形 ， 现在进 行 具体 的分 析． 我们 首先 对 系统进 行 降阶运 算 ． 由于 （ ） 立 ， 以对 系统 （ ） 行变 换 ， Ｈ 成 可 １进 具体过 程 如下 ：
（ ６ ）
第 ３期
卫 丽娟 ： 解 一 类 高 阶 奇 摄 动 线 性 边 值 问 题 求
其
中
．式容 易求 得 。的表 达式 ， 再将 “ 。的表 达式 代 人 （ ） 容 易 求 得 “ ４式 的表 达 式 ， 次 可 以求 得 “ ， 依 。
一１ … ， 一是 ） 志均 为 常数． ， 一１ ， 首先 假设 如下 条件 成立 ：
（ ） Ｈ 如果 ａ（ （一１ … ， ） ， ＋１ 及 ， ｚ 都 是 区间 ［ ， ］ 的充 分光 滑 的连 续 可微 函数 ， 对 于任 一 。 ） （） Ｏ １上 则
∈［ ，］ 任 意 的 ｕ ｘ ） ｕ ｘ ） … ， （ Ｏ １及 （ 。 ，（ ： ， “ ｚ
第 １ Ｏ卷
第 ３期
太 原 师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＴＡＩ ＹＵＡＮ ） Ｎ（ＲＭＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔｏ ） Ｉ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥ ｉｉｎ Ｓ
Ｖｏ． ０ Ｎ ． １１ ｏ ３
Ｓ ｐ ． ２ １ ｅ ｔ ０ １
０ 引 言
奇 异摄 动微 分 系统是 应用 数字 的一 个重 要分 支 ， 用 于动力 系统 、 应 化学 反应 、 制理论 等各 个方 面 ， 控 因此 分 析 和解决 奇异 摄动 问题 引起 了众 多学 者极 大 的关 注 ． 中文献 Ｅ ３ 用 零 阶渐 近 展 开解 在 再 生核 空 间 其 １利
情形 一 ： 当 一１ ＂ １ —１时 ．
数 一 一
隋
（ ）一 Ｕｏ３ ）， ．（
形 一
作 同
ｏ，
１
（ ｚ）＝ ０ （ ） ＝ ． Ｉ ， ＝ ｚ
卅 １
样
的
（） ７
￣ ＋ １ ） ＋∑ 口 ｚ“ ） （） ｉ 口（ ｉ ｚ ） 一ｚ 一厂ｚ ， （ 。 （
“ ＋∑ 口 ） （） ， （ ； ｚ 一０
；
（） ４
（） ５
ｉ ＋∑ｎ “ （） ， ） （ ｚ 一０
收 稿 日期 ： ０ 卜０ — ７ ２ １ ４ １ 作 者简 介 ： 丽 娟 （９ ５） 女 ， 西 长 治 人 ， 卫 １８ 一 ， 山 中北 大学 理 学 院在 读 研 究 生 。 要 从 事 应 用 数 学 研 究 主
Ｕ ， ， 的表 达 式 ， 代入 （ ） 。… “ 再 ２ 式可 以求 得 ｕ ｘ，） 即系统 （ ） （ ｅ， １ 的解．
形 二 为 当
１ 系统 降 阶
一
般 的 高阶奇 异摄 动 问题直 接求 解是 困难 的 ， 文我们 引人 降 阶利 用 变换 将 高 阶 的求 解 问题 转 化 为 低 本
（） １
【 “ （ ）一 ｂ， （ ）一 ｂ， “ ０ “ １ ，０≤ ｉ 忌一 １ ０≤ Ｊ≤ ／ 一 是一 １ ≤ ， Ｔ ｔ ，
其 中 ，＜ｅ ｌ ｍ＞ｎ Ⅲ， ∈Ｎ ， ｚ （一１ … ， ＋１ 为充分 光 滑 的连续 函数 ，ｉ 一１ … ， 一１ ， ０ ￣ ， ， ７ ＂ ／ 口（ ） ， ｎ ） ｂ（ ， 是 ） ｂ（
足条 件 （ ｏ 一“ Ｘ） ， 一“ ， ， ，…
） 系 统 （ ） 在 定义 于 区间 Ｏ ≤ １上 的唯 一解 “＝ ） 且满 ， １存 ≤ｚ ＝ ： （ ，
一 ） ；
（ ） Ｈ。 如果 “ （ ） 式 （ ） 忌个 渐近 解 ， 么渐 近展 开式 （ ） 是 系统 （ ） ． 是 ｚ １的 那 ２也 １ 的解 ．
ｕ（ ￡ ｘ。 ）一 “ ０＋ ｌ＋ ｅ Ｕ 。 ２＋ ｏ（ 。 ｓ） （） ２
当 ｅ Ｏ时 ， （ ） — 将 ２ 式代 入 （ ） １ 式并 令 ￡的 同次幂相 等 ， 得到
∑ 口 “ （） （） ）计 ｚ 一， ， （
（） ３
“ ＋∑口 “ （） ， ）科 ｚ 一０ （ ；
＝２
处 理
并
令 ∑
庇ｏ
，
（ ０）一 ａ， ， １）一 ， ｏ （
上 分析 了三 阶奇 异摄 动边 值 问题 ， 文献 ［ ］ 用零 阶渐 近解 分 析 和 四阶奇 异 摄 动边 值 问题 ， ２利 而对 于 高 阶奇 异 边值 问题还很 少 进行研 究 ． 文主要 研究 了高阶奇 异摄 动 系统 的近似解 ． 本
考 虑如 下 高阶线 性奇 摄动 问题
） ＋ Ｏ≤ ｚ≤
［ 键 词 ］ 高 阶 奇 异摄 动 ； 统 降 阶 ； 界 层 ； 近 展 开 式 关 系 边 渐 （ 章 编 号 ］ １ ７ — ０ ７ ２ １ ） ３ ０ ３ — ５ ［ 图 分 类 号 ） Ｏ１ ５ １ （ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ２ ２ ２ （ ０ １ ０ — ０ ６０ 中 ７． ４ 文
２ １年 ９月 ０ １
求解一类高阶奇摄动线性边值 问题
卫 丽 娟
（ 中北 大 学 理 学 院 ， 山西 太 原 ０ ０ ５ ） ３ ０ １
（ 要 ］ 文 章 研 究 了 一 类 高 阶 奇 异 摄 动 线 性 系 统 的 近 似 解 ， 过 降 阶 将 高 阶 奇 异 摄 动 系 统 转 摘 通 化 成 一 般 的 低 阶 变 系 数 奇 异 摄 动 系统 ， 根 据 不 同 的 边 界 层 引 入 伸 长 变 量 构 造 渐 近 解 ， 对 其 进 行 再 并
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和
心 ． （ ）一 “ ． （ ， ｏ１ ０ ｚ） ２
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阶 的求解 问题 ， 而方便 了我们 的研 究 ， 从 而低 阶 的问题 又有 不 同的情 形 ， 现在进 行 具体 的分 析． 我们 首先 对 系统进 行 降阶运 算 ． 由于 （ ） 立 ， 以对 系统 （ ） 行变 换 ， Ｈ 成 可 １进 具体过 程 如下 ：
（ ６ ）
第 ３期
卫 丽娟 ： 解 一 类 高 阶 奇 摄 动 线 性 边 值 问 题 求
其
中
．式容 易求 得 。的表 达式 ， 再将 “ 。的表 达式 代 人 （ ） 容 易 求 得 “ ４式 的表 达 式 ， 次 可 以求 得 “ ， 依 。
一１ … ， 一是 ） 志均 为 常数． ， 一１ ， 首先 假设 如下 条件 成立 ：
（ ） Ｈ 如果 ａ（ （一１ … ， ） ， ＋１ 及 ， ｚ 都 是 区间 ［ ， ］ 的充 分光 滑 的连 续 可微 函数 ， 对 于任 一 。 ） （） Ｏ １上 则
∈［ ，］ 任 意 的 ｕ ｘ ） ｕ ｘ ） … ， （ Ｏ １及 （ 。 ，（ ： ， “ ｚ
第 １ Ｏ卷
第 ３期
太 原 师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＴＡＩ ＹＵＡＮ ） Ｎ（ＲＭＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔｏ ） Ｉ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥ ｉｉｎ Ｓ
Ｖｏ． ０ Ｎ ． １１ ｏ ３
Ｓ ｐ ． ２ １ ｅ ｔ ０ １
０ 引 言
奇 异摄 动微 分 系统是 应用 数字 的一 个重 要分 支 ， 用 于动力 系统 、 应 化学 反应 、 制理论 等各 个方 面 ， 控 因此 分 析 和解决 奇异 摄动 问题 引起 了众 多学 者极 大 的关 注 ． 中文献 Ｅ ３ 用 零 阶渐 近 展 开解 在 再 生核 空 间 其 １利
情形 一 ： 当 一１ ＂ １ —１时 ．
数 一 一
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（ ）一 Ｕｏ３ ）， ．（
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（ ｚ）＝ ０ （ ） ＝ ． Ｉ ， ＝ ｚ
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ｉ ＋∑ｎ “ （） ， ） （ ｚ 一０
收 稿 日期 ： ０ 卜０ — ７ ２ １ ４ １ 作 者简 介 ： 丽 娟 （９ ５） 女 ， 西 长 治 人 ， 卫 １８ 一 ， 山 中北 大学 理 学 院在 读 研 究 生 。 要 从 事 应 用 数 学 研 究 主
Ｕ ， ， 的表 达 式 ， 代入 （ ） 。… “ 再 ２ 式可 以求 得 ｕ ｘ，） 即系统 （ ） （ ｅ， １ 的解．
形 二 为 当
１ 系统 降 阶
一
般 的 高阶奇 异摄 动 问题直 接求 解是 困难 的 ， 文我们 引人 降 阶利 用 变换 将 高 阶 的求 解 问题 转 化 为 低 本
（） １
【 “ （ ）一 ｂ， （ ）一 ｂ， “ ０ “ １ ，０≤ ｉ 忌一 １ ０≤ Ｊ≤ ／ 一 是一 １ ≤ ， Ｔ ｔ ，
其 中 ，＜ｅ ｌ ｍ＞ｎ Ⅲ， ∈Ｎ ， ｚ （一１ … ， ＋１ 为充分 光 滑 的连续 函数 ，ｉ 一１ … ， 一１ ， ０ ￣ ， ， ７ ＂ ／ 口（ ） ， ｎ ） ｂ（ ， 是 ） ｂ（
足条 件 （ ｏ 一“ Ｘ） ， 一“ ， ， ，…
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一 ） ；
（ ） Ｈ。 如果 “ （ ） 式 （ ） 忌个 渐近 解 ， 么渐 近展 开式 （ ） 是 系统 （ ） ． 是 ｚ １的 那 ２也 １ 的解 ．
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上 分析 了三 阶奇 异摄 动边 值 问题 ， 文献 ［ ］ 用零 阶渐 近解 分 析 和 四阶奇 异 摄 动边 值 问题 ， ２利 而对 于 高 阶奇 异 边值 问题还很 少 进行研 究 ． 文主要 研究 了高阶奇 异摄 动 系统 的近似解 ． 本
考 虑如 下 高阶线 性奇 摄动 问题
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