数值积分计算
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0i n n
任取 i
xi 1 , xi ，i 1,2,3n ，如果乘积的和式的极限 lim f i xi
0
i 1
作者：王吉，2012 级数学科学学院数学与应用数学专业本科生，学号 2012101020005
存在，而且这个极限值就与 xi 和 i 的取法无关，则说 f x 在 a, b 上可积，并 把它记为
具有 5 次代数精度。 证明 时， 左边 x 5 dx
a b
容易验证 当 f x 1, x, x 2 , x 3 , x 4 ，上面式子是能取到等号的，当 f x x 5
1 6 b a6 6
右边=
1 1 ab ab b a b a 5 f 4 f a 4 f f b 6 2 2 2880
dx ，
则 f ( x)dx Ak f ( xk ) 称为插值求积公式， A k 为求积系数。余项为
b a k 0
n
[ f ( x) Ln ( x)]dx
a
b
b
a
f ( n 1) ( ) n ( x x j )dx (n 1)! j 0
（2）Newton-Cotes 公式
RPx 在理论上均为 0 零，并且总存在有 m+1 次的多项式不具有这样的性质，
则称相应的数值求积公式
的代数精度为 m。
b
a
f ( x)dx i f ( xi )
i 0
n
2.3 Newton-Cotes 公式
作者：王吉，2012 级数学科学学院数学与应用数学专业本科生，学号 2012101020005
§ 2 数值积分Leabharlann Baidu论基础
2.1 定积分在数学分析中的基本概念
1、函数 f x 在 a, b 上有定义，用分点
ax0 x1 xi xi1 xn1 xn b，
将
a, b 分为了 n 个小区间 xi 1, xi ，记
xi xi xi 1 ， max xi ，
辛普森（Simpson)公式: n 2, x0 a, x1
2 1 4 1 ba ab I 2 ( f ) (b a ) Ck( 2 ) f ( xk ) (b a )[ f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 )] [ f (a) 4 f ( ) f (b)] 6 6 6 6 2 k 0
a
b
f x dx lim f i xi
0
i
n
2、如 果 F x 是 区 间 a, b 上 的 连 续 函 数 f x 的 一 个 原 函 数 则
f x dx Fb F a ，
a
b
该公式称为 Newton-Leibniz 公式。
则左边等于右边， 则说明最少具有 3 次精度，把 f x x 4 带进可以验证不满足要 求，故上面算法只具有 3 次代数精度。
ab ab , x2 b, h 2 2 2 1 1 ( 2) 柯特斯系数分别为: C0 (t 1)(t 2)dt 0 4 6 2 1 4 C1( 2 ) t (t 2)dt 0 2 6 2 1 1 ( 2) C2 (t 1)tdt 4 0 6
预期成果：在分析各种数值方法仿真实验结果的基础上，比较各种算法的 优越性，得出精度较高、运算量较小的算法。
要求：1.根据课程设计题目明确设计任务； 2.写出内容充实的设计报告。 报告内容包括：问题分析，基本理论，研究方法，计算机仿真， 实验结果分析及总结，参考文献。
作者：王吉，2012 级数学科学学院数学与应用数学专业本科生，学号 2012101020005
f a 4 f f x dx 6 b a
a
b
1
1 ab ab b a 5 f 4 f b 2 2 2880
作者：王吉，2012 级数学科学学院数学与应用数学专业本科生，学号 2012101020005
作者：王吉，2012 级数学科学学院数学与应用数学专业本科生，学号 2012101020005
梯形(trapezia)公式具有 1 次代数精度。 校正的梯形公式： 设 f x 在区间 a, b 上二次可导，则数值积分公式
a
b
1 1 3 ab f x dx b a f a f b b a f ， 2 12 2
b a i 0
n
上式称数值求积公式。 i－－求积系数 ，
xi 是求积节点， Q＝ i f ( xi )
i 0 n
是求积算式，
R f ( x)dx－ i f ( xi )
b a i 0
n
是求积算算式的误差。 2、代数精度的定义：如果对于不高于 m 次的代数多项式 Px ，求积公式的余项
电 子 科 技 大 学 计算方法课程设计任务书
学院 数学科学学院 王吉 专业 班级学号 数学与应用数学 2012101020005
学生姓名
课程设计题目
关于不同方法求解定积分数值解的讨论
主要任务：了解并掌握几种求解定积分数值解的方法，判断各种数值方 法的代数精度，同时运用各种方法对同一定积分问题仿真实验，分析各种 方法的实验误差，寻找精度较高且运算简单的方法。
ba ， 4
1 4 7 (t 1)(t 2)(t 3)(t 4)dt 0 4 4! 90 4 1 32 C1( 4 ) t (t 2)(t 3)(t 4)dt 4 3! 0 90 4 1 12 ( 4) C2 t (t 1)(t 3)(t 4)dt 4 2!2! 0 90 1 4 32 C3( 4 ) t (t 1)(t 2)(t 4)dt 4 3! 0 90 4 1 7 ( 4) C4 t (t 1)(t 2)(t 3)dt 0 4 4! 90 求积公式为：
（1）插值型求积公式 在区间 a, b 上给定一组节点满足 a≤x0 <x1<…<xn≤b 以及函数值 f(x0)， f(x1) ,…, f(xn)，构造 f(x)的 n 次 Lagrange 插值多项式： Ln ( x) lk ( x) f ( xk ) ，
k 0 n
(lk ( x)
不同方法求解定积分的讨论
电子科技大学数学科学学院 王吉
摘要：数值积分问题是计算方法和数值计算中的重要内容，一种既能提高计算
速度又能达到精度要求的算法是现在正致力于寻找的， 本文将给出关于定积分求 解问题的精确解的 MATLAB 实现以及几种近似求解的思想，通过计算离差平方 和来分析这几种算法的近似程度。 关键词：数值积分，梯形求积，辛普森公式，龙贝格法， ，蒙特卡罗
上式也称为三点公式或抛物线公式。余项为： b b a b a 4 ( 4) R( S ) R( I 2 ) R2 ( x)dx ( ) f ( ) ， a 180 2 辛普森公式具有 3 次代数精度。 校正的辛普森公式： 设 f x 在区间 a, b 四次可导，这数值求积公式
I1 ( f ) (b a ) Ck(1) f ( xk )
k 0
ba [ f ( x0 ) f ( x1 )] ， 2
即是 I1 ( f )
ba 其余项为 [ f (a ) f (b)] 其几何意义为用直边梯形代替曲边梯形， 2
b a
R(T )
f ( ) (b a )3 ( x a )( x b)dx f ( ) ， [a, b] ， 2 12
§1 引言
积分学的开拓是人类科学史上的一项重大成就，在科学技术中，积分是经 常遇到的一个重要的计算环节。 我们在求解定积分方面有了有了 Newton-Leibniz 公式可以计算定积分的值，也就是可以表示为 f x dx F a F b ，但是在绝大多
a b
数情况下 Fx 是不存在的， 或者说是无法用初等函数（将基本初等函数通过有限 多次的四则运算和复合运算得到的函数） ，这就导致了我们不能求解精确解，那 么关于近似解算法就是十分有意义的了，即有必要研究定积分的数值计算方法， 以求解定积分的近似计算。 数值积分的计算方法有很多种，如 Newton-Cotes 方法，Romberg 方法，Gauss 方法以及 MonteCarlo 法等，其中 Newton-Cotes 方法基于利用插值多项式来构造 数值积分的常用算法，但是高阶的 Newton-Cotes 算法就明没有保证，因此在实 际中我们很少用高阶的 Newton-Cotes 算法，可以运用分段插值的思想用到复合 求积算法，考虑到算法设计比较复杂我们运用外推原理得到了 Romberg 方法， 同时当节点不长不为常值时，我们寻找最佳节点（高斯节点） ，大大提高插值求 积公式精度的高斯方法。另一方面当运用大数定理当实验次数无限多时，用频率 近似替代概率，我们得到了 MonteCarlo 法，本文对上述的几种方法的数学及算 法做了一个分析与比较。
''
则上述公式具有 3 三次代数精度。这样就大大的提高了一般梯形公式的精度。 关于校正梯形公式的证明：可以验证当 f x 1, x, x 2 时，上面的式子是等号成立 的，当 f x x 3 时， 左边= x 3dx
a b
1 4 4 b a 4
''
右边
1 1 1 1 3 ab 3 ab 3 3 b a f a f b b a f b a a b b a 3! 2 12 12 2 2 2 1 b4 a 4 4
将对 n 的这三个取值进行讨论，将得到三种常见的公： 梯形(trapezia)公式： n 1, x0 a, x1 b, h b a
(1) 此时柯特斯系数分别为 C0 (t 1)dt 0 1 1 1 1 1 ，C1(1) tdt ，求积公式可以化为 0 2 2
(n) I n (b a ) ck f ( xk ) k 0 n
(n) 称 为 Newton-Cotes 公 式 ， 式 中 ck
称 柯 特 斯 系 数 。 且 有
(n) ck
n n (1) n k (t j )dt ，在实际中我们一般要用到 n=1,2,4 的情况，下面 n k!(n k )! 0 j 0 jk
2.2 数值分析理论基础
1、基本思想：利用积分区间上一些离散点的函数值的线性组合计算定积分的近 似值。无需寻求原函数。由定积分的定义 f x dx lim f i xi
a b n i
0
知，定积分是和的极限，若用和式近似，则可表示为 f ( x)dx i f ( xi ) ，
j 0 jk
n
(x x j ) ( xk x j )
n
) ，则
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx f ( xk ) lk ( x)dx ，
b b a k 0 a
若记
Ak lk ( x)dx
a a j 0 jk b b n
(x x j ) ( xk x j )
5 a b 5 5 1 1 ab 1 6 6 b a 5 5! b a a 4 b b a 6 2 2880 2 6
则上面公式至少具有 5 次代数精度，容易验证当 f x x 6 时不满取等号，故上公 式具有 5 次代数精度。 科特斯（Cotes）公式： n 4, xk a kh, k 0,1,2,3,4 , h
任取 i
xi 1 , xi ，i 1,2,3n ，如果乘积的和式的极限 lim f i xi
0
i 1
作者：王吉，2012 级数学科学学院数学与应用数学专业本科生，学号 2012101020005
存在，而且这个极限值就与 xi 和 i 的取法无关，则说 f x 在 a, b 上可积，并 把它记为
具有 5 次代数精度。 证明 时， 左边 x 5 dx
a b
容易验证 当 f x 1, x, x 2 , x 3 , x 4 ，上面式子是能取到等号的，当 f x x 5
1 6 b a6 6
右边=
1 1 ab ab b a b a 5 f 4 f a 4 f f b 6 2 2 2880
dx ，
则 f ( x)dx Ak f ( xk ) 称为插值求积公式， A k 为求积系数。余项为
b a k 0
n
[ f ( x) Ln ( x)]dx
a
b
b
a
f ( n 1) ( ) n ( x x j )dx (n 1)! j 0
（2）Newton-Cotes 公式
RPx 在理论上均为 0 零，并且总存在有 m+1 次的多项式不具有这样的性质，
则称相应的数值求积公式
的代数精度为 m。
b
a
f ( x)dx i f ( xi )
i 0
n
2.3 Newton-Cotes 公式
作者：王吉，2012 级数学科学学院数学与应用数学专业本科生，学号 2012101020005
§ 2 数值积分Leabharlann Baidu论基础
2.1 定积分在数学分析中的基本概念
1、函数 f x 在 a, b 上有定义，用分点
ax0 x1 xi xi1 xn1 xn b，
将
a, b 分为了 n 个小区间 xi 1, xi ，记
xi xi xi 1 ， max xi ，
辛普森（Simpson)公式: n 2, x0 a, x1
2 1 4 1 ba ab I 2 ( f ) (b a ) Ck( 2 ) f ( xk ) (b a )[ f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 )] [ f (a) 4 f ( ) f (b)] 6 6 6 6 2 k 0
a
b
f x dx lim f i xi
0
i
n
2、如 果 F x 是 区 间 a, b 上 的 连 续 函 数 f x 的 一 个 原 函 数 则
f x dx Fb F a ，
a
b
该公式称为 Newton-Leibniz 公式。
则左边等于右边， 则说明最少具有 3 次精度，把 f x x 4 带进可以验证不满足要 求，故上面算法只具有 3 次代数精度。
ab ab , x2 b, h 2 2 2 1 1 ( 2) 柯特斯系数分别为: C0 (t 1)(t 2)dt 0 4 6 2 1 4 C1( 2 ) t (t 2)dt 0 2 6 2 1 1 ( 2) C2 (t 1)tdt 4 0 6
预期成果：在分析各种数值方法仿真实验结果的基础上，比较各种算法的 优越性，得出精度较高、运算量较小的算法。
要求：1.根据课程设计题目明确设计任务； 2.写出内容充实的设计报告。 报告内容包括：问题分析，基本理论，研究方法，计算机仿真， 实验结果分析及总结，参考文献。
作者：王吉，2012 级数学科学学院数学与应用数学专业本科生，学号 2012101020005
f a 4 f f x dx 6 b a
a
b
1
1 ab ab b a 5 f 4 f b 2 2 2880
作者：王吉，2012 级数学科学学院数学与应用数学专业本科生，学号 2012101020005
作者：王吉，2012 级数学科学学院数学与应用数学专业本科生，学号 2012101020005
梯形(trapezia)公式具有 1 次代数精度。 校正的梯形公式： 设 f x 在区间 a, b 上二次可导，则数值积分公式
a
b
1 1 3 ab f x dx b a f a f b b a f ， 2 12 2
b a i 0
n
上式称数值求积公式。 i－－求积系数 ，
xi 是求积节点， Q＝ i f ( xi )
i 0 n
是求积算式，
R f ( x)dx－ i f ( xi )
b a i 0
n
是求积算算式的误差。 2、代数精度的定义：如果对于不高于 m 次的代数多项式 Px ，求积公式的余项
电 子 科 技 大 学 计算方法课程设计任务书
学院 数学科学学院 王吉 专业 班级学号 数学与应用数学 2012101020005
学生姓名
课程设计题目
关于不同方法求解定积分数值解的讨论
主要任务：了解并掌握几种求解定积分数值解的方法，判断各种数值方 法的代数精度，同时运用各种方法对同一定积分问题仿真实验，分析各种 方法的实验误差，寻找精度较高且运算简单的方法。
ba ， 4
1 4 7 (t 1)(t 2)(t 3)(t 4)dt 0 4 4! 90 4 1 32 C1( 4 ) t (t 2)(t 3)(t 4)dt 4 3! 0 90 4 1 12 ( 4) C2 t (t 1)(t 3)(t 4)dt 4 2!2! 0 90 1 4 32 C3( 4 ) t (t 1)(t 2)(t 4)dt 4 3! 0 90 4 1 7 ( 4) C4 t (t 1)(t 2)(t 3)dt 0 4 4! 90 求积公式为：
（1）插值型求积公式 在区间 a, b 上给定一组节点满足 a≤x0 <x1<…<xn≤b 以及函数值 f(x0)， f(x1) ,…, f(xn)，构造 f(x)的 n 次 Lagrange 插值多项式： Ln ( x) lk ( x) f ( xk ) ，
k 0 n
(lk ( x)
不同方法求解定积分的讨论
电子科技大学数学科学学院 王吉
摘要：数值积分问题是计算方法和数值计算中的重要内容，一种既能提高计算
速度又能达到精度要求的算法是现在正致力于寻找的， 本文将给出关于定积分求 解问题的精确解的 MATLAB 实现以及几种近似求解的思想，通过计算离差平方 和来分析这几种算法的近似程度。 关键词：数值积分，梯形求积，辛普森公式，龙贝格法， ，蒙特卡罗
上式也称为三点公式或抛物线公式。余项为： b b a b a 4 ( 4) R( S ) R( I 2 ) R2 ( x)dx ( ) f ( ) ， a 180 2 辛普森公式具有 3 次代数精度。 校正的辛普森公式： 设 f x 在区间 a, b 四次可导，这数值求积公式
I1 ( f ) (b a ) Ck(1) f ( xk )
k 0
ba [ f ( x0 ) f ( x1 )] ， 2
即是 I1 ( f )
ba 其余项为 [ f (a ) f (b)] 其几何意义为用直边梯形代替曲边梯形， 2
b a
R(T )
f ( ) (b a )3 ( x a )( x b)dx f ( ) ， [a, b] ， 2 12
§1 引言
积分学的开拓是人类科学史上的一项重大成就，在科学技术中，积分是经 常遇到的一个重要的计算环节。 我们在求解定积分方面有了有了 Newton-Leibniz 公式可以计算定积分的值，也就是可以表示为 f x dx F a F b ，但是在绝大多
a b
数情况下 Fx 是不存在的， 或者说是无法用初等函数（将基本初等函数通过有限 多次的四则运算和复合运算得到的函数） ，这就导致了我们不能求解精确解，那 么关于近似解算法就是十分有意义的了，即有必要研究定积分的数值计算方法， 以求解定积分的近似计算。 数值积分的计算方法有很多种，如 Newton-Cotes 方法，Romberg 方法，Gauss 方法以及 MonteCarlo 法等，其中 Newton-Cotes 方法基于利用插值多项式来构造 数值积分的常用算法，但是高阶的 Newton-Cotes 算法就明没有保证，因此在实 际中我们很少用高阶的 Newton-Cotes 算法，可以运用分段插值的思想用到复合 求积算法，考虑到算法设计比较复杂我们运用外推原理得到了 Romberg 方法， 同时当节点不长不为常值时，我们寻找最佳节点（高斯节点） ，大大提高插值求 积公式精度的高斯方法。另一方面当运用大数定理当实验次数无限多时，用频率 近似替代概率，我们得到了 MonteCarlo 法，本文对上述的几种方法的数学及算 法做了一个分析与比较。
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则上述公式具有 3 三次代数精度。这样就大大的提高了一般梯形公式的精度。 关于校正梯形公式的证明：可以验证当 f x 1, x, x 2 时，上面的式子是等号成立 的，当 f x x 3 时， 左边= x 3dx
a b
1 4 4 b a 4
''
右边
1 1 1 1 3 ab 3 ab 3 3 b a f a f b b a f b a a b b a 3! 2 12 12 2 2 2 1 b4 a 4 4
将对 n 的这三个取值进行讨论，将得到三种常见的公： 梯形(trapezia)公式： n 1, x0 a, x1 b, h b a
(1) 此时柯特斯系数分别为 C0 (t 1)dt 0 1 1 1 1 1 ，C1(1) tdt ，求积公式可以化为 0 2 2
(n) I n (b a ) ck f ( xk ) k 0 n
(n) 称 为 Newton-Cotes 公 式 ， 式 中 ck
称 柯 特 斯 系 数 。 且 有
(n) ck
n n (1) n k (t j )dt ，在实际中我们一般要用到 n=1,2,4 的情况，下面 n k!(n k )! 0 j 0 jk
2.2 数值分析理论基础
1、基本思想：利用积分区间上一些离散点的函数值的线性组合计算定积分的近 似值。无需寻求原函数。由定积分的定义 f x dx lim f i xi
a b n i
0
知，定积分是和的极限，若用和式近似，则可表示为 f ( x)dx i f ( xi ) ，
j 0 jk
n
(x x j ) ( xk x j )
n
) ，则
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx f ( xk ) lk ( x)dx ，
b b a k 0 a
若记
Ak lk ( x)dx
a a j 0 jk b b n
(x x j ) ( xk x j )
5 a b 5 5 1 1 ab 1 6 6 b a 5 5! b a a 4 b b a 6 2 2880 2 6
则上面公式至少具有 5 次代数精度，容易验证当 f x x 6 时不满取等号，故上公 式具有 5 次代数精度。 科特斯（Cotes）公式： n 4, xk a kh, k 0,1,2,3,4 , h