材料力学9 -弯曲强度

a
x
qa2 b,c d
O
M
第四章 弯曲强度
剪力图与弯矩图
q
D
A
B
5 ． 根据微分关系连图
a
4a FAy FS
9qa/4 qa/4 a qa
线
qa
FBy
qa d
O
c qa/4 b 7qa/4
a
O
qa2 b,c
d
对于剪力图：在AB段 对于剪力图：在AB段 ，因有均布载荷作用，剪 因有均布载荷作用， 力图为一斜直线， 力图为一斜直线，于是连 两点， x 接a 、b两点，即得这一段 的剪力图；在CD 段 的剪力图；在 CD段 ， 因 无分布载荷作用， 无分布载荷作用，故剪力 图为平行于x 轴的直线， 图为平行于 x 轴的直线 ， x 由连接 c 、d二点而得，或 由连接c 二点而得， 者由其中任一点作平行于 x轴的直线而得。 轴的直线而得。
θ
x
B
M(θ ) = Px = P(R − Rcosθ ) = PR(1 − cosθ ) (0 ≤ θ ≤ π )
Q(θ) = P = Psinθ (0 ≤ θ ≤ π) 1 N(θ) = P = Pcosθ (0 ≤ θ ≤ π) 2
4.1 平面弯曲梁的内力 M图 R A O + P
θ
x
B 2PR Q图 –
试画出：其剪力图和弯矩图, 并确定剪力和弯矩绝对值 试画出 ： 其剪力图和弯矩图, 的最大值。 的最大值。 解：1．确定约束力 0 0 根据梁的整体平衡， 根据梁的整体平衡，由 ∑MA＝ ， ∑MB＝ 求得A 求得A、F 二处的约束力
9 3 FAy＝ qa , FBy＝ qa 4 4
第四章 弯曲强度
3 2 分区点 ：F = −qa; M = −qa2 qa 分区点A： s 2
2 M 的驻点：Fs = 0; M = −3qa / 2 的驻点：
右端点： 右端点： Fs = 0; M = −3qa2 / 2
4.1 平面弯曲梁的内力 六, 叠加原理作弯矩图 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独 作用于结构而引起的内力的代数和。
4.1 平面弯曲梁的内力 qa A 线形： 线形：根据 a FS – qa qa2 – x M a x q 左端点： 左端点：
Q = −qa; M = 0
dFS ( x) = q( x) ； dx
2
dM (x) dM (x) ； = q(x) = FS (x) 2 dx dx
及集中载荷点的规律确定。
F (x) + q(x)dx − [F (x) + dF (x)] = 0 S S S
q(x)dx = dFS (x)
dFS (x) = q(x) dx
剪力图上某点处的切线斜率等 于该点处荷载集度的大小。 于该点处荷载集度的大小。
4.1 平面弯曲梁的内力
∑m (F ) = 0 ,
A i
1 FS (x)dx + q(x)(dx)2 + M (x) −[M (x) + dM (x)] = 0 2 dM (x) = FS (x) dx
x
水平线 斜直线 斜直线
M图
x
dM(x) 常量 dx = FS = FS > 0 FS = 0 FS < 0
2 d M(x) =q dx 2 q>0 q<0 极小值
M
极大值
抛物线 斜直线 水平线 斜直线 抛物线
剪力、 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系
二、突变条件
突变条件对应表
q
q图
F F F x F
Me
Me
x FS F 图 S x M
M图
Me Me
第四章 弯曲强度
剪力图与弯矩图
控制点法画剪力图与弯矩图主要步骤： 控制点法画剪力图与弯矩图主要步骤：
n 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制点(面)。 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制点( n 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值 (假定剪力和弯矩都为正方向)。 假定剪力和弯矩都为正方向) n 建立FS一x和M一x坐标系，并将控制点(面)上的 建立F 坐标系，并将控制点( 剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。 剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。 n 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图 和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。 和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
剪力图和弯矩图
剪力图和弯矩图
做法： 做法： 1.横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩。 .横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩。 2.剪力正值画在x轴上方，负值画在下方。 .剪力正值画在 轴 值画在下 值画在上 3.弯矩正值画在x轴下方，负值画在上方。 .弯矩正值画在 轴 弯矩图在受拉边! 弯矩图在受拉边
x
0.5P
L
L PL
4.1 平面弯曲梁的内力 P PL + 0 L P L P M PL x M1 0.5PL – + 0.5P L L 0.5P M2 0.5PL + 0.5PL x
x
0.5P
L
L PL
0.5P
4.1 平面弯曲梁的内力 [例9] 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。 例 Q(kN) + 1m 3 – 2m 5kN 1m 1kN 2 1
剪力图和弯矩图
A
Me
q q
x
B l
ql __ 2
作剪力图和弯矩图的方法： 剪力图和弯矩图的方法： 的方法 1.列方程法 .
ql __ 2
F
x
FQ FS
F = F ( x) S S
2.叠加法 .
M = M ( x)
ql __ 2 F
x
q
x
ql __ 2
x
F ( x) = F − qx +Me⋅ 0 S
FAy
a
F1
M
x
FQ F
S
弯矩方程 ——弯矩随横截面变化的函数表达式 弯矩随横截面变化的函数表达式
M = M ( x)
弯矩图 ——弯矩随横截面的变化曲线 弯矩随横截面的变化曲线
剪力与弯矩——梁的内力 梁的内力 剪力与弯矩
二、符号规定
剪力与弯矩的正负号规则
FS FS
剪力F 使梁产生上凹、 弯矩M ——使梁产生上凹、下凸变形的弯矩为 弯矩M ——一使截开部分梁段产生顺时针方向 剪力FS 使梁产生上凹 转动趋势者为正；逆时针方向转动者为负。 反之为负。 转动趋势者为正；逆时针方向转动者为负。 正；反之为负。
材料力学
第四章
弯曲强度
剪力与弯矩——梁的内力 梁的内力 剪力与弯矩
剪力( 剪力(FS ) —— 与横截面的法向垂直的内力 剪力方程 ——剪力随横截面变化的函数表达式 剪力随横截面变化的函数表达式
F = F ( x) S S
剪力图 ——剪力随横截面的变化曲线 剪力随横截面的变化曲线 横截面上的内力偶矩 弯矩( 弯矩(M ) ——横截面上的内力偶矩
4.1 平面弯曲梁的内力 [例6]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。 6] P q A P A B + M x
B + q B M1
Pa qa2 + 2 2
x
= +
=
Pa 2
+ qa2 2
+
A
x
M2
4.1 平面弯曲梁的内力 [例7] 作下列图示梁的内力图。 例 P PL Q – 0 L P L P Q1 0.5P + – 0.5P 0.5P Q2 – 0.5P L L 0.5P 0.5P x P x
Q(PP ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅P ) = Q1(P) + Q2(P ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Qn(P ) 1 2 n 1 2 n
M(PP ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅P ) = M1(P) + M2(P ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Mn(P ) 1 2 n 1 2 n
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 适用条件 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。 步骤： 步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； ②将其相应的纵坐标叠加即可
剪力图与弯矩图
q
C A B
D
解：2．确定控制面 由于AB 段上作用 由于 AB段上作用 有连续分布载荷， 有连续分布载荷，故A 、B两个截面为控制面 ， 约束力FBy 右侧的 C 约束力 F 右侧的C 截面， 以及集中力 q 截面 ， 以及集中力qa 左侧的D截面， 左侧的D截面，也都是 控制面。 控制面。 3．建立坐标系 建立F 建立FS－x和M－x坐标系
=
=
q M1 + qa2/2 3qa2/2 – M2 x x
+
q
+
剪力、 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系
FS、M和q之间的微分关系 梁的平衡微分方程 和 之间的微分关系—
dF ( x) S = q ( x) dx
dM ( x) = F ( x) S dx
由此得到
d2M ( x) dFS ( x) = = q ( x) 2 dx dx
E
A
B
4a FAy FS
9qa/4 qa/4 a e qa c
a FBy
qa
qa d
x
O
qa/4 b 7qa/4 a
+
x
1.25 – + M(kN·m) 1
q=2kN/m 1 x
4.1 平面弯曲梁的内力 2、曲杆：轴线为曲线的杆件。 、曲杆： 。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。 [例11] 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。 例 解：建立极坐标，O为极点，OB R A O P 极轴，θ表示截面m–m的位置。
第四章 弯曲强度
剪力图与弯矩图
例9
q
D
A
B
4a FAy FBy
a
qa
梁由一个固定铰支座 和一个可动铰支座所支 承 ， 但是梁的一端向外 伸出， 这种梁称为 外伸 伸出 ， 这种梁称为外伸 beam) 梁(overhanging beam)。 梁的受力以及各部分尺 梁的受力以及各部分 尺 寸均示于图中。 均示于图中。
A O
B N图 + O P
O
P
M(θ ) = Px = P(R − Rcosθ ) = PR(1 − cosθ ) (0 ≤ θ ≤ π ) Q(θ) = P = Psinθ (0 ≤ θ ≤ π) 1 N(θ) = P = Pcosθ (0 ≤ θ ≤ π) 2
4.1 平面弯曲梁的内力 (2) a q M qa2 – a q x
M
第四章 弯曲强度
剪力图与弯矩图
q于弯矩图：在AB段 对于弯矩图：在AB段 ，因有均布载荷作用，图 因有均布载荷作用， 形为二次抛物线。 形为二次抛物线。又因为 q 向下为负 ， 弯矩图为凸 向下为负， 向 M 坐标正方向的抛物线 。于是，AB段内弯矩图的 于是，AB段内弯矩图的 形状便大致确定。 形状便大致确定。为了确 定曲线的位置， AB段上 定曲线的位置，除AB段上 两个控制面上弯矩数值外 ，还需确定在这一段内二 次抛物线有没有极值点， 次抛物线有没有极值点， 以及极值点的位置和极值 点的弯矩数值。 点的弯矩数值。从剪力图 上可以看出， 上可以看出 ， 在 e 点剪力 为零。 为零。
即：
剪力图 切线斜率 分布载荷集度 该截面处的 剪 力 弯矩图 上 x 截面处的 切线斜率 弯矩图
凹凸性取决于该截面处的分布载荷集度
剪力、 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系
微分关系对应表
q
q图
q ( x) = 0
q(x) = q = 常量
x FS
FS 图
dFS (x) dx = 0
dFS ( x) dx = q q>0 q<0
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 y M(x) FS(x) dx q(x) 弯矩与荷载集度的关系是： 弯矩与荷载集度的关系是： FS(x)+d FS(x) A M(x)+d M(x)
dM 2(x) = q(x) 2 dx
4.1 平面弯曲梁的内力 简易作图法: 简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。 [例4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。 qa A 特殊点的内力值来作图。 a a 特殊点: 特殊点: 端点、分区点（外力变化点）和 驻点等。 q 解: 利用内力和外力的关系及
1 2 M( x) = Fx − q x +Me 2
3.控制点法 .
M
Me
x
x
ql __ 8
2
4.1 平面弯曲梁的内力 五, 剪力,弯矩与分布载荷之间的关系 剪力、 1. 剪力、弯矩与分布荷载间的关系 q(x) 对dx 段进行平衡分析，有：
∑Y = 0
x y M(x) FS(x) dx dx q(x) FS(x)+d FS(x) A M(x)+d M(x)
4a FAy FS FBy
a
qa
x
O
x
O
M
第四章 弯曲强度
剪力图与弯矩图
q
D
A
B
4a FAy FS
9qa/4 qa/4 a qa
a FBy
qa
qa d
x
O
c qa/4 b 7qa/4
解：4．确定控制面 上的剪力和弯矩值， 上的剪力和弯矩值 ， 并将其标在F 并将其标在 FS － x和 M －x坐标系中。 坐标系中。