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3、若 a = ( 2,3,−1) ， b = ( −2,1,3) ，则 a, b 为邻边的平行四边形的面积为 答案： 6 5 ； 提示： cos < a, b >=
．
2 =− ， 7 | a || b | 3 5 ，可得结果． 7
．
a⋅b
得 sin < a, b >=
4、已知点 A(1，−2，11)、B(4，2，3)，C(6，−1，4)，则∆ABC 的形状是 答案：直角三角形；
| AB • n | |n|
.
②.异面直线间的距离 d =
CD • n n
( l1 , l2 是两异面直线， 其公垂向量为 n ，C、D 分
r
别是 l1 , l2 上任一点， d 为 l1 , l2 间的距离).
uuu r ur AB ⋅ m ur r ur ( m 为平面 α 的法向量). ③.直线 AB 与平面所成角 β = arc sin uuu | AB || m |
b ≠ 0, a // b ⇔ a = λ b ．
2、已知 A（－1，－2，6） ，B（1，2，－6）O 为坐标原点，则向量 OA, 与OB 的夹角是 （ A．0 答案：C； 提示： cosθ = ） B．
uuu r
uuu r
π 2 a⋅b | a |⋅| b |
C． π
D．
3π 2
，计算结果为－1．
对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，满足 OP = xOA + yOB + zOC ，则四点 P、A、B、C 是共面 ⇔ x + y + z = 1 3、a.空间两个向量的夹角公式：
r r r r a •b r = cos < a , b >= r | a |⋅| b |
a1b1 + a 2 b2 + a3 b3
a1b1 + a 2 b2 + a3 b3
2 2 2 a12 + a 2 + a3 ⋅ b12 + b2 + b32
（ a = ( a1 , a2 , a3 ) ， b = (b1 , b2 , b3 ) ）.求得。 题型三 计算有关的距离 例 3. 已知：正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，底面边长为 2 2 ，侧棱长为 4，E、F 分别为棱 AB、BC 的中点. （1）求证：平面 B1EF⊥平面 BDD1B1； （2）求点 D1 到平面 B1EF 的距离. 切入思维：建立直角坐标，利用向量的方法求点到面的距离。 （1）证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0） ， B（2 2 ，2 2 ，0） ，E（2 2 ， 2 ，0） ， F（ 2 ，2 2 ，0） ，D1（0，0，4） ， B1（2 2 ，2 2 ，4）.
令 y = 3 ，解得 x = −4, z = −3 ，又因为 n AC1 = −3 × ( −4) + 0 × 4 + 4 × ( −3) = 0 ，所以直 线 AC1 垂直于平面 CDB1 的法向量，所以有 AC 1//平面 CDB1； 规律总结：利用向量证明线线、线面、面面的平行与垂直的问题，通常先建立坐标系，坐 标系选择时，常抓住三线两两垂直的位置或线面垂直或面面垂直位置。再根据条件写出相 关点的坐标，求出相关向量的坐标，涉及到面的要求出平面的法向量，最后根据向量的运
A(3, 0, 0) ， B(0, 4, 0) ， C1 (0,0, 4) ， B1 (0, 4, 4) ，点 D 为 AB 中点则其坐标为 uuu r 3 ( , 2) 。 所 以 有 ： CA = (3, 0, 0) ， 2 uuuu r uuuu r BC1 = (0, 4, −4) ， AC1 = (−3, 0, 4) ，
2 2 2 ,所以 DH =（ , ,1）. 2 2 2
2 2 ×0 + × 0 + 1×1 2 2 2 (1)因为 cos〈 DH , CC ′ 〉= = , 2 1× 2
所以〈 DH , CC ′ 〉=45°,即 DP 与 CC′所成的角为 45°. (2)平面 AA′D′D 的一个法向量是 DC =(0,1,0).
a ∥α .
d.①共面向量定理：如果两个向量 a, b 不共线，则向量 P 与向量 a, b 共面的充要条件是 存在实数对 x 、 y 使 P = x a + y b . ②空间任 一点 O 不共线三点 A 、 B 、 C ，则 OP = xOA + yOB + z OC ( x + y + z = 1) ．．． ．和 ．．．．．． ． ． ． ． ． 是 PABC 四点共面的充要条件. 注：①②是证明四点共面的常用方法. 2、空间向量基本定理：如果三 个向量 a, b, c 不 共面，那么对空间任一向量 P ，存在 ．．．． ．．． 一个唯一的有序实数组 x 、 y 、 z ，使 p = x a + y b + z c . 推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序实数 组 x 、 y 、 z 使 OP = xOA + y OB + z OC (这里隐含 x + y + z = 1 ).
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提示：利用两点间距离公式得： | AB | 2 =| BC | 2 + | AC | 2 ，所以三角形为直角三角形。
题型二 线线、线面、面面所成角的求法 例 2．如图所示，已知点 P 在正方体 ABCD—A′B′C′D′的对角线 BD′上,∠PDA=60°. (1)求 DP 与 CC′所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小. 切入思维：要求线与线所成角，及线面所成角，则建立坐标系，利用向量的夹角公式可求 得。 解 如图所示，以 D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系 D—xyz.则 DA =（1，0， 0） ， CC ′ =(0,0,1). 连接 BD,B′D′.在平面 BB′D′D 中,延长 DP 交 B′D′于 H. 设 DH =(m,m,1) (m＞0),由已知〈 DH , DA 〉=60°, 由 DA ·DH =| DA || DH |cos 〈 DH , DA 〉 ,可得 2m= 2 m 2 + 1 . 解得 m=
uuu r 3 uuur CD = ( , 2, 0) ， CB1 = (0, 4, 4) 2 uuu r uuuu r （1）因为 CA BC1 = 3 × 0 + 0 × 4 + 0 × ( −4) = 0 ，所以有 AC⊥BC1； r uuu r 3 r n CD =0 x + 2y = 0 （2） 设平面平面 CDB1 的法向量为 n = ( x, y , z ) ， 则有 r uuur ， ， 所以有 2 n CB = 0 1 4 y + 4 z = 0
A n
▲Biblioteka Baidu
B
B
α
C A
β
▲
n1
C
D E
n2
α
α
四、课前预热： r 1、与向量 a = (1, −3, 2) 平行的一个向量的坐标是（
A． （
）
1 ，1，1） B． （－1，－3，2） 3 1 3 C． （－ ， ，－1） D． （ 2 ，－3，－2 2 ） 2 2
答案：C； 提示 ：向量的共线和平行 是 一 样 的， 可 利用空间向量共线定理 写 成数 乘 的 形 式 ． 即
④.利用法向量求二面角的平面角定理：设 n1 , n 2 分别是二面角 α − l − β 中平面 α , β 的 法向量，则 n1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（ n1 , n 2 方向相同，则为 补角， n1 , n 2 反方，则为其夹角）.
ur r ur r ur r m⋅n m⋅n 二面角 α − l − β 的平面角 θ = arc cos ur r 或 π − arc cos ur r （ m ， n 为平面 | m || n | | m || n | α ， β 的法向量）.
2 2 2 a12 + a 2 + a3 ⋅ b12 + b2 + b32
（ a = ( a1 , a2 , a3 ) ， b = (b1 , b2 , b3 ) ）. ②空间两点的距离公式： d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 . 则称这个向量垂直于平面 α ， 记作 a ⊥ α ， b.法向量： 若向量 a 所在直线垂直于平面 α ， 如果 a ⊥ α 那么向量 a 叫做平面 α 的法向量. c.向量的常用方法： ①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面 α 的法向量，AB 是平面 α 的 一条射线，其中 A ∈ α ，则点 B 到平面 α 的距离为
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三点 不 共线， 则 a ∥ α 的 充要条件是存 在有 序实数对 λ , µ 使 AB = λ CD + µ CE . （ 常设
AB = λ CD + µ CE 求解 λ , µ 若 λ , µ 存在即证毕，若 λ , µ 不存在，则直线 AB 与平面相交）.
2 2 ×0 + ×1 + 1 × 0 1 2 2 = , 因为 cos〈 DH , DC 〉= 2 1× 2
所以〈 DH , DC 〉=60°,可得 DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30°. 规律总结：求线线角、线面角、面面角，常常可以利用向量的夹角公式
r r a •b r r r = cos < a , b >= r | a |⋅| b |
二、重难聚焦：
重点：利用向量证明线线、线面、面面的平行与垂直。求线线、线面、面面所成角及距离。 难点：坐标系的建立与基向量的选择以及面与面所角的锐角和钝角的判断。
三、知识精要
1、a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合. b.共线向量定理： 对空间任意两个向量 a,b(b ≠ 0) ， a ∥ b 的充要条件是存在实数 λ（具 有唯一性） ，使 a = λ b . c.共面向量：若向量 a 使之平行于平面 α 或 a 在 α 内，则 a 与 α 的关系是平行，记作
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r uuuu r
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算得出结论。
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五、典例分析：
题型一：证明线线、线面、面面平行与垂直 例 1、如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3， BC＝4，AA1＝4，点 D 是 AB 的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面 CDB1； C B A1 E C1 B1
思维切入： （1）证明线线垂直方法有两类：二是通过线面垂直 来证明线；二是利用向量来 A 证明线线垂直； （2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过 面面平行得到线面平行. 证明： 以 CA、 CB、 CC1 所在直线为 x, y, z 轴。 间直角坐标系。则各点的坐标为： z C1 B1 A1 C B x A E y 建 立空
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uuu r uuu r uuu r uuur
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精讲 100 课
--2010 届新课标一轮复习
第 077 课时：空间向量的应用（理科）
一、课标导读：
空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量． ② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． ③ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） ． ④ 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了 解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
d.证直线和平面平行定理：已知直线 a ⊄ 平面 α ， A, B ∈ a, C , D ∈ α ，且 C、D、E
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