52直接三角分解法

思考
A的Doolittle 分解A ? LU中L为单位下三角阵 U 为上三角阵，如果将 A ? LU中的L表示为下三 角阵,U 表示为单位上三角阵 , 请找出 Crout分解 类似于 (1) ~ (4)式的表达式 .
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对于线性方程组
Ax? b
系数矩阵非奇异 ,经过Doolittle分解后
A ? LU
显然 , r ? 1时 , a i1 ? li1u11 i ? 2,3,? , n
7
综合以上分析 ,有
a1 j ? u1 j j ? 1,2,? , n
?r
j ? r ,? ,n
arj ? lrk ukj
k?1
r ? 1,2,? , n
a i1 ? li1u11
i ? 2,3,? , n
r
? a ir ? likukr k?1
?? ??u11 ?
?? ?
? ?
?? ?
1???
? ??
u1r ? ?
urr ? ?
u1n ?? ??
urn
? ?
??
unn ??
根据矩阵的乘法原理 , A的第一行元素 a1 j为
a1 j ? u1 j j ? 1,2,? , n
A的第 r 行元素主对角线以右元 素arj ( j ? r ,? , n)为
a1n ?
?? ?
a kn ?
a nn
? ? ???
?
LU
5
上式可记为
?? ?
a 11 ?
? ?
A ? ?????aa?nr 11
? ?
a1r ? ? arr ? ?? anr ?
a1n ?
?? ?
?? ?
1 ?
?
a rn ?
a nn
? ? ???
? ?????llnr?11
? ?
1 ?? lnr ?
U的第一行 ------(1) L的第一列 ------(2)
8
r?1
? urj ? a rj ? lrk ukj k?1
r?1
? air ? likukr
lir ?
k?1
urr
r ? 1,2,? , n U的第r行 ------(3) j ? r ,? ,n r ? 1,2,? , n ? 1 i ? r ? 1,? , n L的第r列 ------(4)
A=LU 其中L是单位下三角阵， U是上三角阵。 定义 设A为n阶矩阵（n>1).称A=LU为矩阵A的 三角分解，其中 L是下三角阵， U是上三角阵。
3
定义 如果L是单位下三角阵，U是上三角 阵，则称三角分解A=LU为Doolittle分解； 如果L是下三角阵，U是单位上三角阵，则 称A=LU为Crout分解。 定理 如果n阶（n>1)矩阵A的n个顺序主 子式不为零，则A有唯一Doolittle分解和唯 一Crout分解。
4
直接三角分解法 (Doolittle 法)
若n阶方阵 A ? (a ij )n? n的顺序主子式 Dk ? 0, k ? 1,2,? , n
Doolittle 分解 A ? LU 存在且唯一 ,即
?? ?
a 11 ?
? ?
A
?
? ? ???
ak1 ?
an1
? ?
a1k ? ? akk ? ?? ank ?
un? 1 ,n u nn
? ???
10ห้องสมุดไป่ตู้
不难得到Ly ? b的解 :
y1 ? b1
y2 ? b2 ? l21 y1
r?1
? yr ? br ? lrj yj j?1
?? 1 ?l21
1
?? ?
r ? 2,3,?
, n L ? ?????ll3n?11
l32 ? ln 2
1 ? ln 3
? ?
? ? 1???
i ? r ? 1,? , n r ? 1,2,? , n ? 1
r?1
? a rj ? lrk ukj ? 1 ?urj k?1
r?1
? air ? likukr ? lir urr k?1
因此可以推导出
u1 j ? a1 j
li 1
?
ai1 u11
j ? 1,2,? , n
i ? 2,3,? , n
? ?
1 ?? lnr ?
?? ??u11 ?
?? ?
? ?
?? ?
1???
? ??
u1r ? ?
urr ? ?
u1n ?? ??
urn
? ?
??
unn ??
可知A的第r列元素主对角线以下元 素 air (i ? r ? 1,? , n)为
r
? air ? likukr k?1
i ? r ? 1,? , n r ? 1,2,? , n ? 1
r
? a rj ? lrk ukj k? 1
j ? r ,? ,n r ? 1,2,? , n
6
同样,由
?? ?
a 11 ?
? ?
A ? ?????aa?nr 11
? ?
a1r ? ? arr ? ?? anr ?
a1n ?
?? ?
?? ?
1 ?
?
a rn ?
a nn
? ? ???
?
?????lrl?n?11,1
(Ab) ? L ? (U g)
其中U是上三角矩阵。而由线性代数理论可知，对一 个矩阵进行一次初等行变换，相当于给这个矩阵左乘 一个相应的初等矩阵，所以上述初等行变换相当于在
2
增广矩阵左边乘了一系列的初等矩阵
LkLk?1L L2L1( A b) ? (U g)
其中 Li (i ? 1,2,L , k) 均为单位下三角阵（对 角元为1的下三角阵 )。 记L ? (Lk Lk?1 L L2 L1 )?1，则有
线性方程组可化为下面两个三角形方程组
Ly ? b
Ux ? y
y为中间未知量向量
?? 1 ?l21
1
?? ?
??u11 u12 u13
?
u22 u23
? ?
u1,n ?? u2,n ?
L ? ?????lln3?11
l32 ?
ln 2
1 ? ln 3
? ?
? ? 1???
U?? ? ???
?
??
un ? 1,n ? 1
因此再由Ux ? y的解便得到Ax? b的解
xn
?
yn unn
n
? yr ? urj xj
xr ?
j?r ?1
urr
??u11 u12 u13
?
u1,n ??
?
u22 u23
? 第五A章?A??????xaaa??n21线111b 性aaa?n12222代???数? 方aaa?21nnnn程?????? 组的数值解i?1 法 bi ? lij xj
§5.2 矩阵三角分解法xi ?
j?1
lii
i ? 2,3,? , n
1
一、基本的三角分解法 (Doolittle 法)
若系数矩阵 A ? (aij )n? n的顺序主子式 Dk ? 0, k ? 1,2,? , n 且对增广矩阵进行若干次初等行变换（把某行的倍数 下边某行），可使系数矩阵化为上三角矩阵，即