中考数学压轴题专题复习—旋转的综合附答案

4．如图所示，△ ABC 和△ ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠ BAC=∠ DAE=90°，EC 的
延长线交 BD 于点 P．
（1）把△ ABC 绕点 A 旋转到图 1，BD，CE 的关系是
（选填“相等”或“不相等”）；简
要说明理由；
（2）若 AB=3，AD=5，把△ ABC 绕点 A 旋转，当∠ EAC=90 °时，在图 2 中作出旋转后的图
∴ 当点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 BC+AB＝a+b， 故答案为 CB 的延长线上，a+b； (2)①CD＝BE， 理由：∵ △ ABD 与△ ACE 是等边三角形， ∴ AD＝AB，AC＝AE，∠ BAD＝∠ CAE＝60°， ∴ ∠ BAD+∠ BAC＝∠ CAE+∠ BAC， 即∠ CAD＝∠ EAB，
∵ 四边形 ADGF 是正方形， ∴ DG FG AD AF 6 . ∵ ABD 绕点 A 逆时针旋转 90 得到 AEF ， ∴ BAD EAF ， BD EF 2 ，∴ EG FG EF 6 2 4 . ∵ 将 AFE 沿 AE 折叠得到 AME ， ∴ MAE FAE ， AF AM . ∴ BAD EAM . ∴ BAD DAM EAM DAM ，即 BAM DAE . ∵ AF AD ， ∴ AM AD.
【答案】(1)CB 的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE 长的最大值为 5；(3)
满足条件的点 P 坐标(2﹣ 2 ， 2 )或(2﹣ 2 ，﹣ 2 )，AM 的最大值为 2 2 +4．
【解析】 【分析】 （1）根据点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，即可得到结论；（2） ①根据已知条件易证△ CAD≌ △ EAB，根据全等三角形的性质即可得 CD＝BE；②由于线段 BE 长的最大值＝线段 CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接 BM， 将△ APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△ PBN，连接 AN，得到△ APN 是等腰直角三角形， 根据全等三角形的性质得到 PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当 N 在线段 BA 的延长线时，线段
【答案】（1）①120°②DE=EF；（2）①90°②AE2+DB2=DE2 【解析】 试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出 AC=BC，∠ BAC=∠ B=60°，求出 ∠ ACF=∠ BCD，证明△ ACF≌ △ BCD，得出∠ CAF=∠ B=60°，求出∠ EAF=∠ BAC+∠ CAF=120°； ②证出∠ DCE=∠ FCE，由 SAS 证明△ DCE≌ △ FCE，得出 DE=EF 即可； （2）①由等腰直角三角形的性质得出 AC=BC，∠ BAC=∠ B=45°，证出∠ ACF=∠ BCD，由 SAS 证明△ ACF≌ △ BCD，得出∠ CAF=∠ B=45°，AF=DB，求出∠ EAF=∠ BAC+∠ CAF=90°； ②证出∠ DCE=∠ FCE，由 SAS 证明△ DCE≌ △ FCE，得出 DE=EF；在 Rt△ AEF 中，由勾股定 理得出 AE2+AF2=EF2，即可得出结论． 试题解析：解：（1）①∵ △ ABC 是等边三角形，∴ AC=BC， ∠ BAC=∠ B=60°．∵ ∠ DCF=60°，∴ ∠ ACF=∠ BCD． 在△ ACF 和△ BCD 中，∵ AC=BC，∠ ACF=∠ BCD，CF=CD，∴ △ ACF≌ △ BCD（SAS）， ∴ ∠ CAF=∠ B=60°，∴ ∠ EAF=∠ BAC+∠ CAF=120°； ②DE=EF．理由如下：
（拓展迁移）
（4）在（3）的前提下，如图，将 AFE 沿 AE 折叠得到 AME ，连接 MB ，若 AD 6 ， BD 2，求 MB 的长.
【答案】（1）详见解析；（2） CD CF AC ；（3）四边形 ADGF 是正方形；（4） 2 13
【解析】 【分析】 （1）根据旋转得：△ ACE 是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE，则四边形 ABCE 是菱形； （2）先证明 C、F、E 在同一直线上，再证明△ BAD≌ △ CAF（SAS），则∠ ADB=∠ AFC， BD=CF，可得 AC=CF+CD； （3）先根据∠ ADC=∠ DAF=∠ F=90°，证明得四边形 ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形 ADGF 是正方形； （4）证明△ BAM≌ △ EAD（SAS），根据 BM=DE 及勾股定理可得结论． 【详解】
形，PD=
，简要说明计算过程；
（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段 PD 的最小值为
，最大值为
．
【答案】（1）BD，CE 的关系是相等；（2） 5 34 或 20 34 ；（3）1，7
17
17
【解析】
分析：（1）依据△ ABC 和△ ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠ BAC=∠ DAE=90°，即
∵ ∠ DCF=60°，∠ DCE=30°，∴ ∠ FCE=60°﹣30°=30°，∴ ∠ DCE=∠ FCE．在△ DCE 和△ FCE 中，∵ CD=CF，∠ DCE=∠ FCE，CE=CE，∴ △ DCE≌ △ FCE（SAS），∴ DE=EF； （2）①∵ △ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB=90°，∴ AC=BC， ∠ BAC=∠ B=45°．∵ ∠ DCF=90°，∴ ∠ ACF=∠ BCD．在△ ACF 和△ BCD 中，∵ AC=BC， ∠ ACF=∠ BCD，CF=CD，∴ △ ACF≌ △ BCD（SAS），∴ ∠ CAF=∠ B=45°，AF=DB， ∴ ∠ EAF=∠ BAC+∠ CAF=90°； ②AE2+DB2=DE2，理由如下： ∵ ∠ DCF=90°，∠ DCE=45°，∴ ∠ FCE=90°﹣45°=45°，∴ ∠ DCE=∠ FCE．在△ DCE 和△ FCE 中，∵ CD=CF，∠ DCE=∠ FCE，CE=CE，∴ △ DCE≌ △ FCE（SAS），∴ DE=EF．在 Rt△ AEF 中，AE2+AF2=EF2，又∵ AF=DB，∴ AE2+DB2=DE2．
AM AD 在 BAM 和 EAD 中， BAM DAE ，
AB AE
∴ BAM EADSAS .
∴ BM DE EG2 DG2 42 62 2 13 .
【点睛】 本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形 的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边 三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．
AD AB 在△ CAD 与△ EAB 中， CAD EAB ，
AC AE
∴ △ CAD≌ △ EAB(SAS)， ∴ CD＝BE； ②∵ 线段 BE 长的最大值＝线段 CD 的最大值， 由(1)知，当线段 CD 的长取得最大值时，点 D 在 CB 的延长线上， ∴ 最大值为 BD+BC＝AB+BC＝5； (3)如图 1，
BN 取得最大值，即可得到最大值为 2 2 +4；如图 2，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，根据等腰直角
三角形的性质即可求得点 P 的坐标．如图 3 中，根据对称性可知当点 P 在第四象限时也满 足条件，由此求得符合条件的点 P 另一个的坐标． 【详解】 (1)∵ 点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC＝a，AB＝b，
∵ AN＝ 2 AP＝2 2 ， ∴ 最大值为 2 2 +4；
如图 2，
过 P 作 PE⊥x 轴于 E， ∵ △ APN 是等腰直角三角形，
∴ PE＝AE＝ 2 ， ∴ OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣4﹣ 2 ＝2﹣ 2 ， ∴ P(2﹣ 2 ， 2 )．
如图 3 中，
根据对称性可知当点 P 在第四象限时，P(2﹣ 2 ，﹣ 2 )时，也满足条件． 综上所述，满足条件的点 P 坐标(2﹣ 2 ， 2 )或(2﹣ 2 ，﹣ 2 )，AM 的最大值为 2 2 +4．
【点睛】 本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的 性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（探索发现）
如图， ABC 是等边三角形，点 D 为 BC 边上一个动点，将 ACD 绕点 A 逆时针旋转 60 得到 AEF ，连接 CE .小明在探索这个问题时发现四边形 ABCE 是菱形.
①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段 BE 长的最大值．
(3)拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(6，0)，点 P
为线段 AB 外一动点，且 PA＝2，PM＝PB，∠ BPM＝90°，请直接写出线段 AM 长的最大值
及此时点 P 的坐标．
小明是这样想的：
（1）请参考小明的思路写出证明过程；
（2）直接写出线段 CD ， CF ， AC 之间的数量关系：______________；
（理解运用）
如图，在 ABC 中， AD BC 于点 D .将 ABD 绕点 A 逆时针旋转 90 得到 AEF ，延 长 FE 与 BC ，交于点 G . （3）判断四边形 ADGF 的形状，并说明理由；
∵ 将△ APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△ PBN，连接 AN， 则△ APN 是等腰直角三角形， ∴ PN＝PA＝2，BN＝AM， ∵ A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(6，0)， ∴ OA＝2，OB＝6， ∴ AB＝4， ∴ 线段 AM 长的最大值＝线段 BN 长的最大值， ∴ 当 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值， 最大值＝AB+AN，
2．(1)发现：如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC＝a，AB＝b．填空：
当点 A 位于
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时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为
(用含 a，b 的式子表示)
(2)应用：点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC＝4，AB＝1，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为
边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE．
（1）证明：∵ ABC 是等边三角形， ∴ AB BC AC .
∵ ACD 绕点 A 逆时针旋转 60 得到 AEF ， ∴ CAE 60， AC AE . ∴ ACE 是等边三角形. ∴ AC AE CE . ∴ AB BC CE AE . ∴ 四边形 ABCE 是菱形. （2）线段 DC ， CF ， AC 之间的数量关系： CD CF AC . （3）四边形 ADGF 是正方形.理由如下： ∵ RtABD 绕点 A 逆时针旋转 90 得到 AEF ， ∴ AF AD ， DAF 90 . ∵ AD BC ， ∴ ADC DAF F 90 . ∴ 四边形 ADGF 是矩形. ∵ AF AD ， ∴ 四边形 ADGF 是正方形. （4）如图，连接 DE .
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．（操作发现） （1）如图 1，△ ABC 为等边三角形，先将三角板中的 60°角与∠ ACB 重合，再将三角板绕 点 C 按顺时针方向旋转（旋转角大于 0°且小于 30°），旋转后三角板的一直角边与 AB 交于 点 D，在三角板斜边上取一点 F，使 CF=CD，线段 AB 上取点 E，使∠ DCE=30°，连接 AF， EF． ①求∠ EAF 的度数； ②DE 与 EF 相等吗？请说明理由； （类比探究） （2）如图 2，△ ABC 为等腰直角三角形，∠ ACB=90°，先将三角板的 90°角与∠ ACB 重合， 再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转（旋转角大于 0°且小于 45°），旋转后三角板的一直 角边与 AB 交于点 D，在三角板另一直角边上取一点 F，使 CF=CD，线段 AB 上取点 E，使 ∠ DCE=45°，连接 AF，EF．请直接写出探究结果： ①∠ EAF 的度数； ②线段 AE，ED，DB 之间的数量关系．