蒙特卡洛方法ppt课件
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8
Monte Carlo方法的发展历史
• 20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可
以实现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问 题才有了可能。其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大 战期间，为解决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问 题，美国数学家冯.诺伊曼和乌拉姆等提出蒙特卡罗模拟方法.由 于当时工作是保密的，就给这种方法起了一个代号叫蒙特卡罗， 即摩纳哥的一个赌城的名字。用赌城的名字作为随机模拟的名称 ，既反映了该方法的部分内涵，又易记忆，因而很快就得到人们 的普遍接受。
11
Monte Carlo方法的思想框图
建立概率统计模型
N 根据随机数在各风
险变量的概率分布
收集模型中风险变量的数据，确定风险 因数的分布函数
中随机抽样，代入 第一步中建立的数
学模型
N
根据风险分析的精度要求，
N
确定模拟次数N
建立对随机变量的抽样方 法，产生随机数
N个样本值
统计分析，估计均
值，标准差
x 1 sin
2
0 x a ，0
• 其中：
2 ，x
• 建立直角坐标系
，上述条件在坐标系下将
是曲线所P围 成Gg的的的面面曲积积 边 12梯0 a形sin区d域 。a2l 由几何概率知：
2
7
Monte Carlo方法的发展历史
历史上的实验
1901
蒙特卡洛模拟方法
1
蒙特卡洛模拟方法
1
蒙特卡罗方法概述
2
蒙特卡洛方法思想框图
3 相关案例分析及其软件操作
4 蒙特卡洛的优缺点及其适用范围
2
Monte Carlo方法的发展历史
• 早在17世纪，人们就知道用事件发生的
“频率”来决定事件的“概率”。从方 法特征的角度来说可以一直追溯到18世 纪后半叶的蒲丰（Buffon）随机投针试 验，即著名的蒲丰问题。
随机数属于一种特殊的由已知分布的随机抽样问题。随
• 机数［是0，随1机］抽上样f均(x的匀) 基分10本,,布0其工（他x具单1。位均匀分布），其分布密度
函数为：
0, x 0 F (x) x,0 x 1
1, x 1
• 分布函数为：
15
随机数的定义及其性质
• 由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位
收集P,L,Q数据，确定分布函数
模型
f(P),f(L),f(Q)
N
模拟次数N；根据分布函数，
N
产生随机数
建立对随机变量的抽样方 法，产生随机数
产生N个A值
统计分析，估计均
值，标准差ຫໍສະໝຸດ 14随机数的定义及其性质• 随机数的定义
• 用Monte Carlo方法模拟某过程时，需要产生各种概率
分布的随机变量。最简单、最基本、最重要的随机变量 是在［0，1］上均匀分布的随机变量。由该分布抽取的 简单子样称为随机数序列，其中每一个体称为随机数。
4
例.蒲丰氏问题
• 设针投到地面上的位置可以用一组
参数（x,θ）来描述,x为针中心的坐 标,θ为针与平行线的夹角,如图所示 。
• 任意投针，就是意味着x与θ都是任
意取的，x的范围限于［0，a/2］ ，夹角θ的范围限于［0，π］。
5
蒲丰氏问题数学基础
• 上述问题简图：
6
蒲丰氏问题数学基础
• 分析知针与平行线相交的充要条件是：
1850
沃尔弗（Wolf） 投计次数：5000次 pi的实验值：3.1596
1855
1894
拉查里尼（Lazzarini） 投计次数：3408次 pi的实验值：3.141592
福克斯（Fox） 投计次数：1120次 pi的实验值：3.1419
斯密思（Smith） 投计次数：3204次 pi的实验值：3.1553
• 如下等式成立：
16
随机数的定义及其性质
• 其中P(M)表示事件M发生的概率。反之，如
果随机变量序列ξ1, ξ2…对于任意自然数s， 由s个元素所组成的s维空间上的点 （ξn+1，…ξn+s）在Gs上均匀分布，则它们 是随机数序列。
• 由于随机数在蒙特卡罗方法中所处的特殊
地位，它们虽然也属于由具有已知分布的 总体中产生简单子样的问题，但就产生方 法而言，却有着本质上的差别。
12
Monte Carlo方法的框图实例
• 某投资项目每年所得盈利额A由投资额P、
劳动生产率L、和原料及能源价格Q三个 因素。
1
A aP bL2 cQ 2 d
13
Monte Carlo方法的思想框图实例
1
A aP bL2 cQ 2 d
N
抽取P,L,Q一组
随机数，代入
10
Monte Carlo方法的基本思想
• 蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是
以概率统计理论为基础的一种方法。
• 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个
事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望 ，或者是与概率、数学期望有关的量时。通过 某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或 者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值， 通过它得到问题的解。这就是蒙特卡洛方法的 基本思想。
3
Monte Carlo方法的发展历史
• 1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来
好些客人玩投针游戏（针长是线距之 半），他事先没有给客人讲与π有关的 事。客人们虽然不知道主人的用意，但 是都参加了游戏。他们共投针2212次， 其中704次相交。蒲丰说， 2212/704=3.142，这就是π值。这着 实让人们惊喜不已。
9
Monte Carlo方法的基本思想
• 蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是
以概率统计理论为基础的一种方法。
• 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个
事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望 ，或者是与概率、数学期望有关的量时。通过 某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或 者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值， 通过它得到问题的解。这就是蒙特卡洛方法的 基本思想。
置，我们用专门的符号ξ表示。由随机数序列的定 义可知，ξ1，ξ2，…是相互独立且具有相同单位均 匀分布的随机数序列。也就是说，独立性、均匀
性是随机数必备的两个特点。
•
随机数具有非常重要的性质：对于任意
自然数s，由s个随机数组成的s维空间上的点
（ξn+1，ξn+2，…ξn+s）在ss 维空间的单位立方体Gs 上均匀分布，即P(对n1任 意ai )的 ia1i，ai 0≤i a i1≤,...1, s，i=1,2,…,s
Monte Carlo方法的发展历史
• 20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可
以实现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问 题才有了可能。其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大 战期间，为解决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问 题，美国数学家冯.诺伊曼和乌拉姆等提出蒙特卡罗模拟方法.由 于当时工作是保密的，就给这种方法起了一个代号叫蒙特卡罗， 即摩纳哥的一个赌城的名字。用赌城的名字作为随机模拟的名称 ，既反映了该方法的部分内涵，又易记忆，因而很快就得到人们 的普遍接受。
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Monte Carlo方法的思想框图
建立概率统计模型
N 根据随机数在各风
险变量的概率分布
收集模型中风险变量的数据，确定风险 因数的分布函数
中随机抽样，代入 第一步中建立的数
学模型
N
根据风险分析的精度要求，
N
确定模拟次数N
建立对随机变量的抽样方 法，产生随机数
N个样本值
统计分析，估计均
值，标准差
x 1 sin
2
0 x a ，0
• 其中：
2 ，x
• 建立直角坐标系
，上述条件在坐标系下将
是曲线所P围 成Gg的的的面面曲积积 边 12梯0 a形sin区d域 。a2l 由几何概率知：
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Monte Carlo方法的发展历史
历史上的实验
1901
蒙特卡洛模拟方法
1
蒙特卡洛模拟方法
1
蒙特卡罗方法概述
2
蒙特卡洛方法思想框图
3 相关案例分析及其软件操作
4 蒙特卡洛的优缺点及其适用范围
2
Monte Carlo方法的发展历史
• 早在17世纪，人们就知道用事件发生的
“频率”来决定事件的“概率”。从方 法特征的角度来说可以一直追溯到18世 纪后半叶的蒲丰（Buffon）随机投针试 验，即著名的蒲丰问题。
随机数属于一种特殊的由已知分布的随机抽样问题。随
• 机数［是0，随1机］抽上样f均(x的匀) 基分10本,,布0其工（他x具单1。位均匀分布），其分布密度
函数为：
0, x 0 F (x) x,0 x 1
1, x 1
• 分布函数为：
15
随机数的定义及其性质
• 由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位
收集P,L,Q数据，确定分布函数
模型
f(P),f(L),f(Q)
N
模拟次数N；根据分布函数，
N
产生随机数
建立对随机变量的抽样方 法，产生随机数
产生N个A值
统计分析，估计均
值，标准差ຫໍສະໝຸດ 14随机数的定义及其性质• 随机数的定义
• 用Monte Carlo方法模拟某过程时，需要产生各种概率
分布的随机变量。最简单、最基本、最重要的随机变量 是在［0，1］上均匀分布的随机变量。由该分布抽取的 简单子样称为随机数序列，其中每一个体称为随机数。
4
例.蒲丰氏问题
• 设针投到地面上的位置可以用一组
参数（x,θ）来描述,x为针中心的坐 标,θ为针与平行线的夹角,如图所示 。
• 任意投针，就是意味着x与θ都是任
意取的，x的范围限于［0，a/2］ ，夹角θ的范围限于［0，π］。
5
蒲丰氏问题数学基础
• 上述问题简图：
6
蒲丰氏问题数学基础
• 分析知针与平行线相交的充要条件是：
1850
沃尔弗（Wolf） 投计次数：5000次 pi的实验值：3.1596
1855
1894
拉查里尼（Lazzarini） 投计次数：3408次 pi的实验值：3.141592
福克斯（Fox） 投计次数：1120次 pi的实验值：3.1419
斯密思（Smith） 投计次数：3204次 pi的实验值：3.1553
• 如下等式成立：
16
随机数的定义及其性质
• 其中P(M)表示事件M发生的概率。反之，如
果随机变量序列ξ1, ξ2…对于任意自然数s， 由s个元素所组成的s维空间上的点 （ξn+1，…ξn+s）在Gs上均匀分布，则它们 是随机数序列。
• 由于随机数在蒙特卡罗方法中所处的特殊
地位，它们虽然也属于由具有已知分布的 总体中产生简单子样的问题，但就产生方 法而言，却有着本质上的差别。
12
Monte Carlo方法的框图实例
• 某投资项目每年所得盈利额A由投资额P、
劳动生产率L、和原料及能源价格Q三个 因素。
1
A aP bL2 cQ 2 d
13
Monte Carlo方法的思想框图实例
1
A aP bL2 cQ 2 d
N
抽取P,L,Q一组
随机数，代入
10
Monte Carlo方法的基本思想
• 蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是
以概率统计理论为基础的一种方法。
• 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个
事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望 ，或者是与概率、数学期望有关的量时。通过 某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或 者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值， 通过它得到问题的解。这就是蒙特卡洛方法的 基本思想。
3
Monte Carlo方法的发展历史
• 1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来
好些客人玩投针游戏（针长是线距之 半），他事先没有给客人讲与π有关的 事。客人们虽然不知道主人的用意，但 是都参加了游戏。他们共投针2212次， 其中704次相交。蒲丰说， 2212/704=3.142，这就是π值。这着 实让人们惊喜不已。
9
Monte Carlo方法的基本思想
• 蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是
以概率统计理论为基础的一种方法。
• 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个
事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望 ，或者是与概率、数学期望有关的量时。通过 某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或 者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值， 通过它得到问题的解。这就是蒙特卡洛方法的 基本思想。
置，我们用专门的符号ξ表示。由随机数序列的定 义可知，ξ1，ξ2，…是相互独立且具有相同单位均 匀分布的随机数序列。也就是说，独立性、均匀
性是随机数必备的两个特点。
•
随机数具有非常重要的性质：对于任意
自然数s，由s个随机数组成的s维空间上的点
（ξn+1，ξn+2，…ξn+s）在ss 维空间的单位立方体Gs 上均匀分布，即P(对n1任 意ai )的 ia1i，ai 0≤i a i1≤,...1, s，i=1,2,…,s