第4章根轨迹法

j1
H s
m个零点 n个极点
（nm）
m
s zi
幅值条件
K * i1 n
1
s pj
j 1
必要条件：
相角条件（k 1, 2,... ）
m
n
(s zi ) (s pi ) (2k 1)
i 1
i 1
充要条件：
二、根轨迹方程
例4-2 已知系统开环传递函数
G(s)H(s) K*(s z1 ) s(s p2 )(s p3 )
a
j1
i 1
nm
4
•
5 1
0
3
5. 实轴上的根轨迹
➢实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时， 这段区域必为根轨迹的一部分
p3 j
° ° p2 z2 p1 z1
0
p4
6.根轨迹的起始角和终止角
起始角：始于开环极点的根轨迹，在起
点处的切线与水平线的正方向夹角 p 1
j
s1
p1
p1
终止角：止于开环零点的根轨迹，在终
例4-1
GK
s
K s(0.5s
1)
2K
ss 2
Y s
2K
GB (s) R s s2 2s 2K
D(s) s2 2s 2K
s1,2 1 1 2K
Rs
K
Y s
s 0.5s 1
jω
K 0 s1 0 ; s2 2
解为两实根；
K 0.5 s1 1 ; s2 1
K 0
解为两实重根
2
K 1 s1 1 j ; s2 1 j
解为一对共轭复根
K 1
K 0.5 K 0 0
K 1
4-1 根轨迹与根轨迹方程
二、根轨迹方程
D(s) 1 G(s)H(s) 0
Rs
Y s
Gs
G(s)H(s) 1
根轨迹方程
m
(s zi )
G(s)H(s) K*
i 1 n
1
(s pj)
其开环零、极点如图所示，
求取系统闭环根轨迹。
°z1
s1 z1 s1 s1 p2 s1 p3 2k 1
p2 p2
j
s1
p1
z1
0 p1
p3
p3
K * s1 s1 p2 s1 p3 s1 z1
根轨迹的绘制过程为：
（1）寻找平面上所有满足相角条件的s；
（2）利用幅值条件确定各点的K*值。
4
z 2 z2 pj
p4
j 1
3
z2 zi i 1,i 2
(2k 1)
149.5o
° z2
°
z3
°
j p2
0 p1
p3
7. 根轨迹的分离点和会合点
分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。
分离点
会合点
K 0
• d
K 0
K Baidu Nhomakorabea
°
K
• d
°
a）
b)
根轨迹上的分离点和会合点是与特征方程式的重根相对应的。
1.根轨迹的起点和终点
➢根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点
K* 0
幅值条件
n
s pj
K *＝
j 1 m
s zi
i 1
s值必须趋近于
开环极点
根轨迹起始于开环极点
K'
s值必须趋近于
开环零点
根轨迹终止于开环零点
2.根轨迹的分支数
➢n阶系统根轨迹有n个分支
3.根轨迹的对称性
➢根轨迹各分支连续且关于实轴对称
第四章 根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念
所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由 零到无穷大变化时，其闭环特征根（极点） 在s平面上移动的轨迹。
一、根轨迹的基本概念
例4-3 已知系统开环传递函数为 K (s 1.5)(s 2 j)(s 2 j)
GK (s) s(s 2.5)(s 0.5 1.5j)(s 0.5 1.5j)
求闭环系统大致根轨迹
3
4
p 2 p2 zi )
p2 pj
i 1
j 1，j 2
(2k 1) 79o
4）关键点的标注
K
°3
j
• K 35, 1.35
1 1
1
0
• K 35, 1.35
4-2 绘制根轨迹的基本法则
➢1.根轨迹的起点和终点 ➢2.根轨迹分支数 ➢3.根轨迹的对称性 ➢4.根轨迹的渐近线 ➢5.实轴上的根轨迹 ➢6.根轨迹的起始角和终止角 ➢7.根轨迹的分离点和会合点 ➢8.根轨迹与虚轴的交点 ➢9. 根之和
点处的切线与水平线的正方向夹角
j
z
1
s1
p1
z1
°z1
° z1
z1
p3
0 p3
p2
p2
m
n
p1 p1 zi ) p1 pj
i 1
j2
(2k 1)
° z2
0
p2
n
m
z 1 z1 pj z1 zi
j 1
i2
(2k 1)
6.根轨迹的起始角和终止角
4.根轨迹的渐近线
➢渐近线与实轴的倾角：
a
(2k 1)
nm
k 0 , 1 , 2 L L
例4-2 求下面闭环特征方程式根 轨迹的渐近线
s(s 4)(s2 2s 2) K1(s 1) 0
解：
G s
H
s
s(s
K1(s 1) 4)(s2 2s
2)
j
➢渐近线与实轴的交点：
n
m
pj zi
7. 根轨迹的分离点和会合点
例4-4：已知 D(s) s3 3s2 2s K 0 ，试求系统闭环根轨迹的分离点坐标值
方法1:解方程法
开环传递函数 K
G(s) s(s 1)(s 2)
3 1 1 1
1
0
j1 s pj s s 1 s 2
s1 0.423 , s2 1.57（舍去）
4-2 绘制根轨迹的基本法则
设控制系统的开环传递 函数为
m
(s zi )
G(s)H(s) K*
i 1 n
(s pj)
j 1
K *(s z1 )L (s zm ) (s p1 )(s p2 )L (s pn )
！绘制注意点
1）实轴、虚轴相同的刻度
K
K0 K0 6 5 5.53
2）“×”、 “〇” 3）加粗线及箭头
7. 根轨迹的分离点和会合点
➢分离点（或会合点）d坐标值的求取方法:
1、d坐标值由方程解出
n 1
m1
j1 d pj i1 d zi
2 、重根法求解d
f (s) A(s) K B(s) 0
A(s)B(s) A(s)B(s) 0
3、由极值点求解d
dK
坐标值由
0 ds
解出d
检验：当解得多个s值时，其中k*值为正实数时或s是根轨迹 上的点才有效。
方法2:重根法
A(s)B(s) A(s)B(s) 0
B(s) 1, B'(s) 0
A(s) s3 3s2 2s
A'(s) 3s2 6s 2 s1 0.423 , s2 1.57（舍去）