高三数学一轮复习函数与方程
3.7.1函数的零点与方程的解二分法课件高三数学一轮复习
【命题说明】
高考命题常以基本初等函数及其图象为载体,考查函数零点 考向
是否存在、存在的区间及个数,利用零点的存在情况求参数 考法
是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现. 预计2025年高考函数与方程仍会出题,可能以选择题或填空 预测 题考查三种形式的灵活转化,也可能与导数结合考查,题目的 难度较大.
常用结论 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零 点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根. 2. 由 函 数 y=f(x)( 图 象 是 连 续 不 断 的 ) 在 闭 区 间 [a,b] 上 有 零 点 不 一 定 能 推 出 f(a)·f(b)<0,如图所示,
A.(3,4)
B.(2,3)
C.(1,2)
D.(0,1)
【解析】选C.函数f(x)=ex+2x-6是R上的连续增函数,因为f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,
可得f(1)f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).
2.方程ln x=4-2x的根所在的区间是( )
A.(0,1)
由图象可知,直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点; 直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点; 直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有一个交点. 综上,函数y=f[f(x)+1]的零点个数为5.
解题技法 求复合函数y=f(g(x))的零点的个数或方程解的个数的策略
1
2
考点三函数零点的应用 考情提示 函数的零点问题充分体现了函数与方程的联系,蕴含了丰富的数形结合思想,因 此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点,且形式逐渐多样化,各 种题型均可考查.
函数的零点与方程的解课件——2025届高三数学一轮复习
4
得f (x)＝1或f (x)＝ .作出f (x)的简图．
9
4
由图象可得当f (x)＝1或f (x)＝ 时，分别有4个
和3个交点，故关于x的函数y＝4f 2(x)－13f (x)＋9
的零点的个数为7.故选B.]
第10课时 函数的零点与方程的解
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
名师点评 求解函数零点个数的基本方法
对于②，存在k＜0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确；
对于③，若k＜0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有2个交点，③错误；
对于④，当k＞0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x＞1)的切线，此时共有两个
交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确．]
3x－x3＝0可得，其根依次记为x1＝－ 3，x3＝0，x4＝ 3，而2x
1
2
＋1＝0的根记为x2＝－ ，可得其草图如图所示．
若函数f (x)有且只有一个零点，由函数解析式可知该零点
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核心考点
课时分层作业
(3)函数零点存在定理
f (a) f (b)<0
连续不断
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有_________，
(a，b)
那么，函数y＝f (x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得
有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点．
第10课时 函数的零点与方程的解
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第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
高考数学一轮复习专题02 一元二次函数、方程与不等式
专题02 一元二次函数、方程与不等式（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1 等式性质与不等式性质1、等式性质2、不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a 可逆2 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c 同向3 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4 可乘性 a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5 同向可加性 a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6 正数同向可乘性 a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向 7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点2 一元二次不等式的解集有两相异实根x 1，x 2有两相等实根x 1＝x 2没有实数根x |x <x 1或x >x 2xx ≠－b 2a {x |x ∈R }∅1、重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.变形公式：()2222()()a b a b a b R +≥+∈，22a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >> （2）等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号． （3）算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为2a b +基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、利用基本不等式求最值 已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)重难点01 利用基本不等式求最值的方法法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系【典例1】（2024·重庆·模拟预测）若实数a ，b 满足2ab =， 则 222a b +的最小值为（ ） A ．2B．C ．4D．【典例2】（2024·四川成都·三模）若正实数,a b 满足22a b m +=，则a b +的最大值为（ ） ABC．D ．2m法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
高三一轮复习教案-函数与方程
课题：函数与方程（高三第一轮复习课）教学内容分析：本节课选自人教版必修一第三章第一节《函数与方程》内容。
函数与方程在高中数学中占举足轻重的地位，高考对函数零点的考查有：（1）求函数零点；（2）确定函数零点的个数：（3）根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围。
题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图像和性质，主观题考查较为综合，涉及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法等。
本节课通过对函数零点的讨论，将函数零点与方程的根、与函数图像三者有机结合起来。
它既揭示了函数与方程之间的内在联系，又对函数知识进行了总结拓展，同时将方程与函数图像联系起来，渗透了“数形结合”、“方程与函数”等重要思想。
学情分析：这是一个理科的普通班，学生基础普遍不扎实，学生具有强烈的畏难情绪，且眼高手低。
通过高一高二的知识积累，学生虽然对本节内容有简单的认识，但是时间较长，知识点大多遗忘。
所以，在本课开始前，先通过简单的知识梳理让学生把知识点贯穿起来，然后根据学生的实际情况进行适当的知识点拓展。
设计思想：教学理念：以第一轮复习为抓手，让学生把各个相关的知识点有机的结合起来。
教学原则：夯实基础，注重各个层面的学生。
教学方法：讲练结合，师生互动。
教学目标：知识与技能：让学生理清函数零点、函数图象与x轴的交点、方程的根三者之间的关系；弄清零点的存在性、零点的个数、零点的求解方法等三个问题。
过程与方法：利用已学过的函数的图像、性质去研究函数的零点。
情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的归纳思想，提高辩证思维以及分析问题解决问题的能力。
教学重点难点：重点：函数零点，方程的根，函数图象与x轴交点三者之间的互相联系。
难点：零点个数问题，含参数的零点问题。
教学程序框图：教学环节与设计意图：（一）、知识梳理设计意图：第一部分知识梳理要求学生在课前完成，学生回顾已学过的内容，结合相关知识整理出“函数与方程”的知识体系。
函数与方程课件-2025届高三数学一轮复习
D.（0，2）
答案 （1）C
目录
目录
目录
变式训练
若函数f（x）＝2ax2－x－1在（0，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围
是
.
答案：（1，＋∞）
目录
｜解题技法｜
利用函数零点求参数（范围）的方法
目录
（
）
（
）
答案：（3）√
（4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.
答案：（4）×
目录
函数零点的判定
目录
函数零点的判定
目录
目录
1
（2）函数f（x）＝｜x－4｜－ 的零点的个数为（
A.0
B.1
C.2
）
D.3
1
1
解析 （2）令f（x）＝｜x－4｜－ ＝0得｜x－4｜＝ ，在同一坐标系下分
（b） ＜ 0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内 至少 有一个零点，
即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解.
提醒 函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断
函数的不变号零点，而连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在
这个区间上存在零点的充分不必要条件.
第十节
函数与方程
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在性定理，并能简
单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解的步骤.
参考答案：
例11.D
： 2.B .C 2.A 3.A
学习评测：
1.D 2.A 3.C 4.B 5.（-1，）
高三数学一轮复习 函数与方程、函数模型及应用课件 新人教B版
• 四、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实根的 符号与系数之间的关系 • 1．方程有两个不相等的正实数根⇔
• 2．方程有两个不相等的负实根⇔
• 五、一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区间根问 题 • 研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三 个方面考虑： • 1．一元二次方程根的判别式； • 2．对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)若f(x0)· f(b0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间 (x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0. 1 第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝ 2 (a1＋b1)，重复第 二、第三步，……直到第n次，方程f(x)＝0的一个根总在 区间(an，bn)中． 第五步：当|an－bn|<ε，(ε是规定的精确度)时，区间 (an，bn)内的任何一个值就是方程f(x)＝0的一个近似根． 注意：二分法只适用于求函数f(x)的变号零点．
解析：(1)设投资x万元时，A产品的利润为f(x)万 元，B产品的利润为g(x)万元． 由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x， 1 1 由图知f(1)＝4，∴k1＝4. 5 5 又g(4)＝2，∴k2＝4. 1 5 从而f(x)＝ x(x≥0)，g(x)＝ x(x≥0)． 4 4
• 解析：(1)当0<x≤100时，f(x)＝60； • 当100<x≤600时，f(x)＝60－(x－100)×0.01＝61－ 0.01x.
60 ∴f(x)＝ 61－0.01x
0<x≤100 . 100<x≤600
• • • • •
(2)设利润为y元，则0<x≤100时， y＝60x－50x＝10x， ∴x＝100时，ymax＝1000元． 当100<x≤600时， y＝(61－0.01x)·x－50x＝11x－0.01x2
高三数学一轮复习专题：函数与方程
函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。
2.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。
函数基础知识梳理高三数学一轮复习
函数基础知识梳理一、函数的概念与表示【知识清单】1．函数的概念：设A ，B 是两个 ，如果对于集合A 中的 一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，使，在集合B 中都有 的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y ＝f (x )，x ∈A .在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的 .特别地,如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有 、图象法和 . 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【必备知识】 1．常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)零次幂的底数不能为0. (5)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为 .(6)y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的定义域为 ． (7)y ＝tan x 的定义域为 . 2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：当a ＞0时，值域为 ；当a ＜0时，值域为 . (3)y ＝kx(k ≠0)的值域是 ．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是 ．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是 . 补充(1)一次分式函数()()0ax b f x c cx d+=≠+的值域 ；(2)函数()()0,0bf x ax a b x =+>>的值域为 ；(3)函数()()0,0b f x ax a b x=->>的值域为 ； (4)函数()(),,R f x x a x b a b x =-+-∈的值域为),a b ⎡-+∞⎣； 函数()(),,R f x x a x b a b x =---∈的值域为,a b a b ⎡---⎤⎣⎦.二、函数的基本性质【知识清单】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是 的自左向右看图象是 的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．★函数单调性的证明：定义法“取值—作差—变形—定号—结论”。
高三数学第一轮复习讲义
高三数学第一轮复习讲义第一章：函数与方程1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
在数学中，我们通常用自变量和因变量来描述一个函数。
自变量是输入值，而因变量是输出值。
1.1.2 函数的性质1.定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，而值域是因变量的取值范围。
2.单调性：函数的单调性指的是函数在定义域内是否单调递增或单调递减。
3.奇偶性：函数的奇偶性指的是函数在定义域内是否关于原点对称。
4.最值与极值：函数的最值是函数取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一特定区间内取得的最大值或最小值。
1.2 一次函数与二次函数1.2.1 一次函数的性质与图像一次函数是指函数的最高次幂为一的函数，其一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。
一次函数的性质与图像包括： - 斜率：斜率表示了函数图像在平面上的倾斜程度，可以通过斜率的正负来判断函数的单调性。
- 截距：截距表示了函数图像与 y 轴的交点位置。
1.2.2 二次函数的性质与图像二次函数是指函数的最高次幂为二的函数，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a，b 和 c 是常数，且a ≠ 0 。
二次函数的性质与图像包括： - 开口方向：二次函数的开口方向由二次项的系数 a 决定。
- 判别式：判别式可以用来判断二次函数的图像与 x 轴的交点情况。
-顶点坐标：二次函数图像的顶点坐标可以通过解方程组求得。
第二章：不等式与数列2.1 不等式2.1.1 不等式的基本性质不等式是一种表示两个数之间大小关系的数学式子。
在解不等式时，需要注意以下基本性质： - 加减变换：对不等式两边同时加减某个数不改变不等关系的方向。
- 乘除变换：对不等式两边同时乘除某个非零数不改变不等关系的方向。
需要注意，当乘除以负数时，不等关系的方向会发生变化。
2.1.2 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，其一般形式为 ax + b >0（或 < 0）。
第八节函数与方程学案高三数学一轮复习
第八节函数与方程一、学习目标1、理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系，并会求函数的零点或判断个数。
2、会根据函数的零点求参数，了解函数零点存在定理，会判断零点所在区间。
二、学习过程知识点一函数的零点1.函数零点的概念对于函数y＝f（x），x∈D，我们把使f（x）＝0的叫做函数y＝f（x），x∈D的零点.注意：零点不是点，是满足f（x）＝0的实数x.2.三个等价关系3.零点存在定理【提醒】函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点.自查自测1、（判断题）函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点. ( )2、函数245y x x =--的零点为（ ）.A ．()5,0B ．()1,5-C ．1-和5D ．()1,0-和()5,03、(人教A 版必修①P155·T1改编)下列图象所表示的函数中不能用零点存在性定理求零点的是( ).A 、B 、C 、D 、考点一 函数零点所在区间的判断例11、设()2f x lnx x ＝＋－，则函数f (x )的零点所在的区间为( ).1(0)A ， ).(12?B ， .3(2)C ， .4(3)D ，变式11：()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()4,5 变式12、(人教A 版必修①P160)已知函数x x f x +=2)(，x x x g +=2log )(，x x x h +=3)(的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c ，的大小顺序为( ).A 、c b a >>B 、a c b >>C 、b a c >>D 、c a b >>考点二 函数零点个数问题例21、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,log 0,)(221x x x x f x ，则函数g (x )＝f (x )－12的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3变式21、函数()()0.2sin log 02f x x x x π⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4交点个数为（ ）A 、3B 、4C 、6D 、8拓展、已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数()()g x f x x m =++，若()g x 有两个零点，则m 的取值范围是（ ）．A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞- C ．[0,)+∞ D ．[1,0)-【当堂检测】1．函数()234x f x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,32．已知函数()1,02,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则方程()30x f x -=的解的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 3．函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,8π上的所有零点之和为（ ）A ．45πB ．40πC ．35πD ．30π 4．（选做）若函数()2ln f x x m x =+-在区间()1,2上只有一个零点，则常数m 的取值范围为（ ）A ．12m <<B ．ln 22m <<C ．11ln 2m <<+D ．1ln 22m +<<【归纳总结】1、确定函数零点所在区间的常用方法2、函数零点个数的判断方法【作业】1、函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭2、（多选）函数2()2x f x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的可能取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、函数()32,03e ,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩的零点个数为___________. 4、（2024上海模拟卷改编 选做）已知函数()()()122,0,R log 1,0,x x f x a x x ⎧≤⎪=∈⎨+>⎪⎩，a x f x g +=)()(在R 上没有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){},10-∞- B ．(),1∞-- C ．()1,-+∞ D ．。
高三数学一轮复习精品教案2：2.8函数与方程教学设计
第八节函数与方程1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间『a，b』上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系续表3.二分法对于在区间『a，b』上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．(人教A 版教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2，4)B ．(3，4)C ．(2，3)D ．(2.5，3)『解析』 由零点存在性定理知x 0∈(2，3)，故选C. 『答案』 C2．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－14，0) B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)『解析』 显然f (x )＝e x ＋4x －3的图象连续不间断，又f (12)＝e －1＞0，f (14)＝4e －2＜0.∴由零点存在定理知，f (x )在(14，12)内存在零点．『答案』 C3．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12『解析』 由题意知2a ＋b ＝0， 即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0得x ＝0或x ＝a b ＝－12，故选C.『答案』 C4．(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－(12)x 的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 在同一平面直角坐标系内作出y 1＝x 12与y 2＝(12)x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数f (x )＝x 12－(12)x 只有1个零点．『答案』 B5．(2013·德州调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0，1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．『解析』 函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0，1)上递增． 由已知条件f (0)f (1)＜0，即a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0. 『答案』 (－2，0)(1)(2012·天津高考)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)(2013·湛江模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是________．『思路点拨』 (1)先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．(2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．『尝试解答』 (1)因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0，1)上递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)设f (x )＝x 3－(12)x －2，则x 0是函数f (x )的零点．在同一坐标系下画出函数y ＝x 3与y ＝(12)x－2的图象，如图所示． ∵f (1)＝1－(12)－1＝－1＜0，f (2)＝8－(12)0＝7＞0∴f (1)f (2)＜0， ∴x 0∈(1，2)．『答案』 (1)B (2)(1，2),确定函数f (x )零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间『a ，b 』上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(1)函数f (x )＝x －cos x 在『0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点(2)(2013·汕头模拟)函数f (x )＝ln(x －2)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)『解析』 (1)令f (x )＝x －cos x ＝0，则x ＝cos x ，设函数y ＝x 和y ＝cos x ，在同一坐标系下做出它们在『0，＋∞)的图象，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f (x )＝x －cos x 在『0，＋∞)内有且仅有一个零点．(2)由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ＞2}，∴排除A. ∵f (3)＝－23＜0，f (4)＝ln 2－12＞0，f (5)＝ln 3－25＞0，∴f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＞0，∴函数f (x )的零点在(3，4)之间，故选C.『答案』(1)B(2)C若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为()A．1.25B．1.375C．1.406 25 D．1.5『思路点拨』(1)二分法求近似零点，需将区间一分为二，逐渐逼近；(2)必须满足精确度要求，即|a－b|＜0.1.『尝试解答』根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.1，故方程的一个近似根可以是1.406 25.『答案』C,1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y＝f(x)的图象在『a，b』内连续不间断，②f (a )·f (b )＜0.(2)在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计算次数．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．『解析』 在(1，2)内取中点x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，∵f (32)＝278－4<0，f (2)＝8－4－1>0，f (1)＜0，∴f (x )＝0的根在(32，2)内．『答案』 (32，2)(2013·临沂模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)． (1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．『思路点拨』 解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f (x )与g (x )有两个交点，从而数形结合求解．『尝试解答』 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是『2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点．故当g (x )＝m 有实数根时，m 的取值范围为『2e ，＋∞)． 法二 作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.故当g (x )＝m 有实数根时，m 的取值范围为『2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2，故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．(2013·淮南模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x －1|，x ≤0，2x －1＋a ， x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．『解析』 由于当x ≤0，f (x )＝|x 2＋2x －1|时图象与x 轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x －1＋a ＝0有1个正根即可，变形为2x ＝－2a ，结合图形只需－2a ＞1⇒a ＜－12即可．『答案』 a ＜－12一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．两个防范1.函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间『a ，b 』上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．从近两年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型以客观题为主，主要考查学生转化与化归及函数与方程的思想．思想方法之五 用函数与方程思想解决图象公共点问题(2012·山东高考)设函数f (x )＝1x，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0『解析』 由题意知函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2，因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)，∴b ＝a (－2x 1－x 2)， x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.『答案』 B易错提示：(1)不能把函数图象的交点问题转化为方程的根的问题，找不到解决问题的切入点．(2)不能把方程根的情况与相应函数的极值大小联系起来，思维受阻，无法解答． 防范措施：(1)明确函数图象的交点、方程的根与函数的零点三者之间的关系是解决问题的关键所在．(2)方程的根的情况与函数的极值的大小有密切的关系，求解时应注意寻找它们之间的关系．1．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间『0，4』上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7『解析』 根据x 2的范围判断y ＝cos x 2在区间『0，4』上的零点个数．当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈『0，4』，所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2，所以函数y＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间『0，4』上的零点个数为6.『答案』 C2．(2013·威海模拟)设方程log 4x －(14)x ＝0，log 14x －(14)x ＝0的根分别为x 1、x 2，则( )A ．0＜x 1x 2＜1B ．x 1x 2＝1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2『解析』 在同一坐标系内画出函数y ＝(14)x ，y ＝log 4x ，y ＝log 14x 的图象，如图所示，则x 1＞1＞x 2＞0，由log 4x 1＝(14)x 1，log 14x 2＝(14)x 2得log 4x 1x 2＝(14)x 1－(14)x 2＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故选A. 『答案』 A。
高考数学一轮复习第8讲 函数与方程
第8讲函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈区间D)，把使01f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈区间D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与02x轴有交点⇔函数y＝f(x)有03零点.(3)函数零点的判定(零点存在定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有04 f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间05(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得06f(c)＝0，这个07c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点08(x0)，(x2,0)09(x1,0)无交点1,零点个数102111120有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．1．(2020·云南玉溪一中二调)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是() A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 B解析易知函数f(x)＝2x＋3x在定义域上单调递增，且f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以由函数零点存在定理得，零点所在的区间是(－1，0)．故选B．2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 12345 6y 124.433－7424.5－36.7－123.6 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案 B解析∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 作出函数y ＝|x －2|与g (x )＝ln x 的图象，如图所示．由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数f (x )在定义域内有2个零点．故选C ．4．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点有________个． 答案 1解析 ∵f (x )＝e x ＋3x 在R 上单调递增，且f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝1>0，∴函数f (x )有1个零点．5．(2020·河南信阳调研)若函数f (x )＝3mx －4在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－23解析 由已知得f (－2)·f (0)＝(－6m －4)·(－4)≤0，解得m ≤－23，故实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－23.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ex ，x≤0，x2－1，x ＞0，则函数y ＝f (x )－1的零点是________.答案 0或2解析 要求函数y ＝f (x )－1的零点，则令y ＝f (x )－1＝0，即f (x )＝1，又因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ex ，x≤0，x2－1，x ＞0，①当x ≤0时，f (x )＝e x ，由e x ＝1，解得x ＝0.②当x ＞0时，f (x )＝x 2－1，由x 2－1＝1，解得x ＝2(负值舍去)．综上可知，函数y ＝f (x )－1的零点是0或2.考向一 函数零点所在区间的判断例1 (1)(2020·济南模拟)已知f (x )＝x 3＋x －4，则函数f (x )的零点所在区间是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)答案 C解析 由函数f (x )＝x 3＋x －4在定义域上单调递增，且f (1)＝1＋1－4＝－2＜0，f (2)＝8＋2－4＝6＞0，再根据函数零点存在定理可得零点所在区间是(1,2)，故选C ．(2)(2020·长春模拟)设函数f (x )＝log 4x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x ，g (x )＝log x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 的零点分别是x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＝1B ．0＜x 1x 2＜1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2＞2 答案 B解析 由题意可得x 1是函数y ＝log 4x 的图象和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 的图象的交点的横坐标，x 2是y ＝log x 的图象和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 的图象的交点的横坐标，且x 1，x 2都是正实数，如图所示：故有log x 2＞log 4x 1，故log 4x 1－log x 2＜0，∴log 4x 1＋log 4x 2＜0，∴log 4(x 1x 2)＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故选B ．判断函数零点所在区间的常用方法(1)定义法：利用函数零点存在定理，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上必有零点．(2)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b∈N *，则a ＋b ＝( )A ．0B ．2C ．5D ．7答案 C解析 ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上单调递增，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3，∴a ＋b ＝5.2．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 函数y ＝f (x )是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．考向二 函数零点个数的讨论例2 (1)(2020·青岛模拟)已知图象连续不断的函数f (x )的定义域为R ，f (x )是周期为2的奇函数，y ＝|f (x )|在区间[－1,1]上恰有5个零点，则f (x )在区间[0,2020]上的零点个数为( )A ．5050B ．4041C ．4040D ．2020答案 B解析 因为图象连续不断的函数f (x )的定义域为R ，f (x )是周期为2的奇函数，y ＝|f (x )|在区间[－1,1]上恰有5个零点，所以f (0)＝0，f (1)＝0，x ∈(0,1)时，函数有1个零点，所以x ∈(0，1]时，函数有2个零点，所以x ∈(0,2020]时，函数有4040个零点，则f (x )在区间[0,2020]上的零点个数为4041.故选B ．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＜0，x2＋12x ，x≥0，则函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由题意，令f (f (x ))－1＝0，得f (f (x ))＝1，令f (x )＝t ，由f (t )＝1，得t ＝－1或t ＝－1＋174，作出函数f (x )的图象，如图所示，结合函数f (x )的图象可知，f (x )＝－1有1个解，f (x )＝－1＋174有2个解，故y ＝f (f (x ))－1的零点个数为3，故选B ．确定函数零点个数的方法及思路(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)函数零点存在定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．函数f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x |的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 由f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x |，得f (－x )＝(－x )2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|－x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)·f (1)<0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有1个零点．∴函数f (x )的零点个数为2，故选C ．4．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 B解析 由2x |log 0.5x |－1＝0得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，作出y ＝|log 0.5x |和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图象，如图所示，则两个函数图象有两个交点，故函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1有两个零点．多角度探究突破考向三 函数零点的应用 角度1 利用零点比较大小例3 (1)已知a 是函数f (x )＝2x －log x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( ) A ．f (x 0)＝0 B ．f (x 0)>0 C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)与0的大小关系不确定 答案 C解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝2x ，y ＝log x 的图象(图略)，由图象可知，当0<x 0<a 时，有2x 0<log x 0，即f (x 0)<0.(2)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2<x 1<x 3B ．x 1<x 2<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1答案 B解析 令y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1，因为函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1与y ＝－x 的图象的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，在同一平面直角坐标系内分别作出函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1及y ＝－x 的图象如图，结合图象可得x 1<x 2<x 3，故选B ．在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较．5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零答案 A解析 由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x －log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0.故选A ．6．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案 B解析 在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象，如图所示．由图象可知函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x ＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0.角度2 由函数零点存在情况或个数求参数范围 例4 (1)(2020·海南省新高考诊断性测试)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2－4x ＋1，x≤0，2－2－x ，x>0，若关于x 的方程[f (x )－1]·[f (x )－m ]＝0恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(1,5)C ．(2,3)D ．(2,5)答案 A解析 由[f (x )－1][f (x )－m ]＝0，得f (x )＝1或f (x )＝m ，作出y ＝f (x )的图象，如图所示．由图可知，方程f (x )＝1有2个实根，故方程f (x )＝m 有3个实根，故m 的取值范围为(1,2)．(2)(2020·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x≥0，－x ，x ＜0.若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(22，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(0,22)C ．(－∞，0)∪(0,22)D ．(－∞，0)∪(22，＋∞)答案 D解析 注意到g (0)＝0，所以要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx －2|＝错误!恰有3个实根即可，令h (x )＝错误!，即y ＝|kx －2|与h (x )＝错误!的图象有3个不同交点．因为h (x )＝错误!＝错误!当k ＝0时，y ＝2，如图1，y ＝2与h (x )＝错误!的图象有1个交点，不满足题意；当k ＜0时，如图2，y ＝|kx －2|与h (x )＝错误!的图象恒有3个不同交点，满足题意；当k ＞0时，如图3，当y ＝kx －2与y ＝x 2的图象相切时，联立方程得x 2－kx ＋2＝0，令Δ＝0得k 2－8＝0，解得k ＝22(负值舍去)，所以k ＞22.综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞)．故选D ．已知函数零点求参数范围的常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．7．当x ∈[1,2]时，若函数y ＝12x 2与y ＝a x (a >0)的图象有交点，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，2 解析 当a ＝1时，显然成立．当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1<a ≤2；当0<a <1时，如图②所示，要使两个函数图象有交点，需满足12×12≤a 1，即12≤a <1，综上可知，a ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，2. 8．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________. 答案 －14，2解析 因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，所以方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －122－14，因为x ∈[－1,1]，所以2x∈12，2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －122－14∈－14，2.所以实数a 的取值范围是－14，2.一、单项选择题1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)答案 C解析 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．故选C ．2．(2021·长郡中学高三月考)设函数f (x )＝x ＋log 2x －m ，则“函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4上存在零点”是“m ∈(1,6)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 函数f (x )＝x ＋log 2x －m 在区间(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4上存在零点，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－12－m ＜0，f (4)＝6－m ＞0，解得－12＜m ＜6，故“函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4上存在零点”是“m ∈(1,6)”的必要不充分条件．故选B ． 3．(2020·北京市大兴区一模)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增且存在零点的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝x ＋1C ．y ＝－log xD ．y ＝(x －1)2答案 C解析 函数y ＝e x ＞0恒成立，不存在零点，即A 不符合题意；函数y ＝x ＋1＞0恒成立，不存在零点，即B 不符合题意；函数y ＝－log x ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，且当x ＝1时，y ＝0，所以函数的零点为x ＝1，即C 正确；函数y ＝(x －1)2在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即D 不符合题意．故选C ．4．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点答案 B解析 当x ∈(0,1]时，因为f ′(x )＝12x＋sin x ，x ＞0，sin x ＞0，所以f ′(x )＞0，故f (x )在[0,1]上单调递增，且f (0)＝－1＜0，f (1)＝1－cos1＞0，所以f (x )在[0,1]内有唯一零点．当x ＞1时，f (x )＝x －cos x ＞0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B ．5．函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 f (x )＝x cos2x ＝0⇒x ＝0或cos2x ＝0，又cos2x ＝0在[0,2π]上的根有π4，3π4，5π4，7π4，共4个，故f (x )有5个零点． 6．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＝x 的解，则x 0属于区间( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，13答案 C解析令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，f (x )＝x ，则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，所以由图象关系可得13<x 0<12.7．f (x )＝3x －log 2(－x )的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 f (x )的定义域为(－∞，0)，且f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝13>0，f (－2)＝－89<0，所以函数f (x )＝3x －log 2(－x )有且仅有1个零点，故选B ．8．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有两个不同的交点，故选B ．二、多项选择题9．(2020·山东德州高三模拟)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.则关于x 的方程f (x )＝k 的根的情况，下列结论正确的是( )A ．当k ＝1时，方程有一个实根B ．当k >1时，方程有两个实根C ．当k ＝0时，方程有一个实根D．当k≥1时，方程有实根答案ABD解析方程f(x)＝k化为e|x|＝k－|x|，设y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y1＝e|x|恰好有一个公共点时，k＝1.如图，若关于x 的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选ABD．10．(2021·湖南郴州高三质检)已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是()A．1<x1<2 B．x1＋x2<1C．x1＋x2<2 D．x1＜1答案AC解析函数f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，即y＝|2x－2|的图象与直线y＝－b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1>x2)，在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y ＝－b的图象如图所示，可知1<x1<2,2x1－2＋2x2－2＝0，即4＝2x1＋2x2>22x1×2x2＝22x1＋x2，所以2x1＋x2＜4，所以x1＋x2＜2.11．(2020·海南中学高三月考)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．f (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x2－1，x≤1，|2－x|，x ＞1D ．f (x )＝1x－x答案 BCD解析 根据定义可知，若f (x )有不动点，则f (x )＝x 有解．对于A ，令2x ＋x ＝x ，所以2x ＝0，此时无解，故f (x )不是“不动点”函数；对于B ，令x 2－x －3＝x ，所以x ＝3或x ＝－1，所以f (x )是“不动点”函数；对于C ，当x ≤1时，令2x 2－1＝x ，所以x ＝－12或x ＝1，所以f (x )是“不动点”函数；对于D ，令1x －x ＝x ，所以x ＝±22，所以f (x )是“不动点”函数．故选BCD ．12．(2020·山东临沂高三模拟)定义域和值域均为[－a ，a ]的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，其中a ＞c ＞b ＞0，给出下列四个结论，其中正确的是( )A ．方程f (g (x ))＝0有且仅有三个解B ．方程g (f (x ))＝0有且仅有四个解C ．方程f (f (x ))＝0有且仅有八个解D ．方程g (g (x ))＝0有且仅有一个解 答案 AD解析 由图象可知对于函数y ＝f (x )，当－a ≤y ＜－c 时，方程有一解，当y ＝－c 时，方程有两解，当－c ＜y ＜c 时方程有三解，当y ＝c 时，方程有两解，当c ＜y ≤a时，方程有一解，对于函数y ＝g (x )，由图象可知，函数g (x )为单调递减函数，当－a ≤y ≤a 时，方程有唯一解．对于A ，设t ＝g (x )，则由f (g (x ))＝0，即f (t )＝0，此时t ＝－b 或t ＝0或t ＝b ，即t ＝g (x )有三个不同的值，又由函数g (x )为单调递减函数且a >c >b >0，所以方程f (g (x ))＝0有三个不同的解，所以是正确的；对于B ，设t ＝f (x )，则由g (f (x ))＝0，即g (t )＝0，此时只有唯一的解t ＝b ，即方程b ＝f (x )，此时有三解，所以不正确；对于C ，设t ＝f (x )，则由f (f (x ))＝0，即f (t )＝0，此时t ＝－b 或t ＝0或t ＝b ，当t ＝－b,0或b 时，方程t ＝f (x )均有三个不同的解，则f (f (x ))＝0有九个解，所以不正确；对于D ，设t ＝g (x )，则由g (g (x ))＝0，即g (t )＝0，此时t ＝b ，对于方程b ＝g (x )，只有唯一的解，所以是正确的．故选AD ．三、填空题13．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1解析 ∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xln x ，x>0，x2－x －2，x≤0，则其零点为________.答案 －1,1解析 当x >0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，也就是(x ＋1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数的零点为－1,1.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m，x2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，则m 的取值范围是________.答案 (3，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，只需4m －m 2<m ，解得m >3或m <0，又m >0，所以m >3.16．(2020·聊城二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，0<x≤1，－1＋ln x ，x>1，若f (a )＝f (b )，则1a ＋1b的最小值为________.答案 1＋1e2解析 已知分段函数f (x )在两段区间内都是单调函数，若f (a )＝f (b )，则必然分属两段内，不妨设0<a ≤1，b >1，则f (a )＝1－ln a ，f (b )＝－1＋ln b ，即1－ln a ＝－1＋ln b ⇒ln a ＋ln b ＝ln (ab )＝2⇒ab ＝e 2.当1a ＋1b ＝be2＋1b ＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋e2b 时，令g (b )＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋e2b ，b ∈(1，＋∞)，由双勾函数性质可知g (b )在区间(1，e)上单调递减，在区间(e ，＋∞)上单调递增，所以g (b )min ＝g (e)＝2e ，此时a ＝e(不符合题意)，当1a ＋1b ＝1a ＋ae2＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋e2a 时，令h (a )＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋e2a ，a ∈(0,1]，由双勾函数性质可知h (a )在区间(0,1]上单调递减，所以h (a )min ＝h (1)＝1＋1e2，此时a ＝1，b ＝e 2.故1a ＋1b的最小值为1＋1e2.四、解答题17．函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝错误!对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)．若在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围．解因为对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)，所以函数f(x)的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m有三个不同的零点，知函数f(x)与函数h(x)＝mx－m 的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[－5,3]上的图象，如图所示．由图可知1－0－1－1≤m<1－0－5－1，即－12≤m<－16.21 / 21。
高中数学高考高三理科一轮复习资料第1章 1.10 函数与方程
解析：∵函数 f(x)唯一零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)， (0,2)内，∴函数 f(x)的唯一零点必在区间(0,2)内，故应选 C. 答案：C
2 3．函数 f(x)＝lnx－ 的零点所在的大致区间是( x A．(1,2) B．(2,3) C．(e,3) D．(e，＋∞)
)
解析：∵f(1)＝ln1－2＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，故排除 2 A，又∵f(3)＝ln3－3，∵3＞e，∴ln3＞1， ∴f(3)＞0，故选 B. 答案：B
3．函数零点的存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是④________的一 条曲线，并且⑤________，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有 零点，即存在 c∈(a，b)，使得⑥________，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根． 4．二分法的定义 对于在区间[a， b]上连续不断且 f(a)· f(b)＜0 的函数 y＝f(x)， 通过不断把函数 f(x)的零点所在的区间⑦________，使区间的 两个端点逐渐逼近零点， 进而得到⑧________的方法叫做二分 法．
)
解析：∵x2＋2x－3＝0，∴(x＋3)(x－1)＝0， ∴x＝1，－3. ∵f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴顶点为(－1，－4)． 故应选 C. 答案：C
2．若函数 f(x)唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)， (0,2)内，那么下列命题正确的是( ) A．函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C．函数 f(x)在区间[2,16)上无零点 D．函数 f(x)在区间(1,16)内无零点
高中数学
1．10 函数与方程
第10讲函数的零点与方程的解课件高三数学一轮复习
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(5)(2023·三明模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)， 当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数 为
A.6
B.8
C.12
D.14
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4sin
πx，4≤x<5，
－5sin πx，5≤x<6，
…，
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令 g(x)≥0 ， 解 得 x≤150 ， 画 出 y ＝ |f(x)|与y＝g(x)的部分图象如图所示．
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由图可知 y＝|f(x)|与 y＝g(x)的图象在每个区间[k，k＋1](3≤k≤149 且 k∈Z)上均有 2 个交点，所以交点总数为(150－3)×2＝294，所以方程|f(x)| ＝3－5x0在(0，＋∞)上的实根个数为 294.故选 C.
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当 x>a 时 ， f(x) ＝ 2x － 3 单 调 递 增 ， 当 － 1<x≤a时，f(x)＝log2(x＋1)单调递增．由题意， 若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，即存在 实数t，使得方程f(x)＝－t有两个不相等的根，即 函数f(x)的图象与直线y＝－t有两个交点，所以当 点 P(a ， log2(a ＋ 1)) 在 点 Q(a ， 2a － 3) 上 方 ， 即 log2(a ＋ 1)>2a － 3 时 ， 符 合 题 意 ． 因 为 log2(2 ＋ 1)>22－3＝1，log2(3＋1)<23－3＝5，结合y＝2x－ 3与y＝log2(x＋1)的图象可得正整数a的最大值为 2.
高三第一轮数学复习知识点
高三第一轮数学复习知识点在高三数学的学习过程中，第一轮复习是非常关键的一步。
在这个阶段，学生们要回顾并巩固自己在之前学习中所掌握的数学知识，同时要注意查漏补缺，填平知识漏洞，为接下来的复习打下坚实的基础。
一、函数与方程函数与方程是高三数学的基础。
在这一部分中，学生们需要掌握函数的概念、性质以及基本的图像变换知识。
此外，还需要了解常见的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等函数的性质与特点，并能熟练解决相关的题目。
在方程的学习中，需要掌握一元一次方程、一元二次方程等常见方程的解法，并能灵活应用于实际问题的解决过程中。
二、数列与数列的求和数列是高中数学中的重点知识，也是数学建模的基础。
在数列的学习中，学生们需要了解等差数列、等比数列、斐波那契数列等常见数列的概念、性质以及特点，并能运用差分法、通项公式等方法解决数列的相关问题。
此外，数列的求和也是数学学习中的重点内容，学生们需要学会通过列式法、分组求和法等方法求解数列的和，并能理解这些方法的推导过程。
三、几何图形与几何推理几何学是数学学科的基础，也是高三数学复习中不可或缺的一部分。
在几何图形的学习中，学生们需要掌握平面几何和立体几何相关的基本概念、性质以及定理，并能够灵活运用这些知识解决相关的几何问题。
在几何推理的学习中，学生们需要理解各种推理方法的基本原理，并能通过逻辑推理解决几何问题。
四、概率与统计概率与统计是高中数学中的实际应用部分。
在概率的学习中，学生们需要了解基本概率的概念、性质以及计算方法，并能够应用概率理论解决生活中的实际问题。
在统计的学习中，学生们需要熟悉数据的收集、整理、分析等基本方法，并能够通过统计理论解决实际问题。
五、解析几何与立体几何解析几何是数学学科的重要分支之一，立体几何是几何学的重要内容之一。
在解析几何的学习中，学生们需要掌握坐标系的建立与运用、直线与曲线的方程等相关内容，并能熟练解决相关的几何问题。
在立体几何的学习中，学生们需要了解空间几何中的基本概念、性质以及相关定理，并能运用这些知识解决实际问题。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。