函数展开成傅里叶级数

2
22
当 x (2k 1)π 时级数收敛于 f (x) .
f
(
x)

x, 0,
π x 0, 0 x π.
an

1 π
π
f (x) cos nxdx
π
1 π
0
x cos nxdx
π

1 π

x sin n
nx

cos nx n2
0



(1)n1 n
sin
nx
( x ; x π, 3π, ) .
级数的和函数的图形如下：
y
3π 2π π O π 2π 3π x
π
如果函数 f (x) 仅仅只在 π, π 上有定义,并且满足收敛
定理的条件, f (x) 仍可以展开成傅里叶级数.方法:
1、周期延拓 在[π, π) 或 (π, π] 外补充函数 f (x) 的定义，
4 1 sin(2k 1)x π k 1 2k 1 ( x ; x 0, π, 2π, ) .
级数的和函数的图形为:
y 1
2π π O π
-1
2π x
例 设 f (x) 是周期为 2π 的周期函数，它在π, π 上的
表达式为
f
(x)

当x是
f
(x)
的间断点时，级数收敛于
1 2

f (x-)
f (x ) .
记
C


x

f (x) 1 [ f (x) 2
f (x )] ,
在 C 上就成立 f (x) 的傅里叶级数展开式
f
(x)

a0 2


(an
n 1
cos nx bn
sin nx)
, xC
.
例 设 f (x) 是周期为 2π 的周期函数,它在π, π 上的
表达式为
f
(x)

1,

1,
π x 0, 将 f (x) 展开成
0 x π.
傅里叶级数,并作出级数的和函数的图形.
解 所给函数满足收敛定理的条件, 它在点 x kπ 处间断， 其中 k 0, 1, 2, , 在其他点处连续.
上可积，则一定可以作出 f (x) 的傅里叶级数.
定理(收敛定理，狄利克雷(Dirichlet)充分条件)
设 f (x) 是周期为 2π 的周期函数，如果它满足：
1、在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； 2、在一个周期内至多只有有限个极值点，
则 f (x) 的傅里叶级数收敛， 并且当 x 是 f (x) 的连续点时，级数收敛于 f (x) ；
π
1 n2π
(1
cos
nπ)
2

n
2
π
0,
,
n 1,3,5, n 2, 4, 6,
,
a0

1 π
π f (x)dx 1
π
π
0 π
xdx

1 π

x2 2
0 π


π 2
;
bn

1 π
π f (x) sin nxdx 1
π
π
π
π cos kxdx bk
π π
sin
kxdx

,
a0 2π , 2
a0

1 π
π
f (x)dx .
π
0
其次求 an ,
f
(x)

a0 2

k 1
(Fra Baidu bibliotekk
cos kx
bk
sin
kx)
用 cos nx 乘等式两端,再从 π 到 π 逐项积分,得
π f (x) cos nxdx a0
使它被拓广成周期为 2π 的周期函数 F (x) . 2、将 F (x) 展开成傅里叶级数.
3、限制 x ( π, π ) ,此时 F (x) f (x) .
该级数在区间端点
x

π
处收敛于
1 2

f
(π)
f
(π )
.
例 将函数 u(t) E sin t , π t π 展开成傅里叶级数, 2
x, 0,
π x 0, 0 x π.
将 f (x) 展开成
傅里叶级数,并作出级数的和函数的图形.
解 所给函数满足收敛定理的条件, 它在点 x (2k 1)π
处间断,其中 k 0, 1, 2, ,在其他点处连续.
当 x (2k 1)π 时级数收敛于
f (π ) f (π ) 0 π π

1 π

cos nx π n 0
2 1 cos nπ
nπ


4 nπ
,
0,
n 1,3,5, n 2, 4, 6,
, .
f (x) 的傅里叶级数展开式为
f
(x)

4 π
sin
x

1 3
sin
3x

1 sin(2k 1)x 2k 1

π0
0 (n 0,1, 2, ) ;
f
(
x)

1,

1,
π x 0, 0 x π.
bn

1 π
π
f (x) sin nxdx
π
1
0 (1) sinnxdx 1
π
1sin nxdx
π π
π0

1 π
cos nx 0 n π
函数展开成 傅里叶级数
设 f (x) 是以 2π 为周期的周期函数, 能展开成三角级数
f
(x)

a0 2

k 1
(ak
cos kx

bk
sin
kx)
.
先求 a0 ,对上式从 π 到 π 逐项积分有
π
f (x)dx
π
π π
a0 2
dx
k 1

ak
π 2
2E π t
π 0 sin 2 cos nt dt

E π


cos

n

1 2
n 1

t

cos

n

1 2
n1

t
π

4E (4n2 1)π

2
2 0 (n 0,1, 2, ) ;
bn

E π
π sin t sin nt dt 0 (n 1, 2,3,
π
( n 0,1, 2, 3, ) ,
函数 f (x) 的傅里叶系数.
若三角级数
a0 2

n 1
(an
cos nx
bn
sin
nx)
中的系数是
函数 f (x) 的傅里叶系数，这样的三角级数叫做函数
f (x) 的傅里叶级数.
函数 f (x) 定义在 , 上,周期为 2π ，在一个周期
π
cos nxdx
π
2 π

k 1

ak
0
π
cos kx cos nxdx+
π
bk
π π
sin
kx
cos
nxdx

,
0
π
π f (x) cos nxdx an
π π
cos2
nxdx

an π
,
an

1 π
π
f (x) cos nxdx
π
( n 1, 2, 3, ) .
用 sin nx 乘等式的两端，
f
(x)

a0 2

k 1
(ak
cos kx
bk
sin
kx)
再从 π 到 π 逐项积分，可得
bn

1 π
π
f (x) sin nxdx
π
( n 1, 2, 3, ) .
an

1 π
π
f (x) cos nxdx
0
x sin nxdx
π

1 π

x cos nx n

sin nx 0 n2 π

cos nπ n
(1)n1

(n 1, 2,3,
).
n
f (x) 的傅里叶级数展开式为
f
(x)


π 4

2 π
k 1
1 (2k 1)2
cos(2k
1) x


n1
其中 E 是正的常数.
解 所给函数在区间π, π 上满足收敛定理的条件,
并且拓广为周期函数时, 它在每一点 t 处都连续,
拓广的周期函数的傅里
u
E
叶级数在π, π 上收敛于 u(t) .
2π π O π 2π
t
an

1 π
π u(t) cos nt dt E
π
π
π
t
sin cos nt dt
π
2
).
u(t) 的傅里叶级数展开式为
u(t)

4E π

1 2

n 1
1 4n2

1
cos
nt

(πt π
).
由收敛定理知 f (x) 的傅里叶级数收敛, 且当 x kπ 时级数
收敛于 11 1 (1) 0 ,当 x kπ 时级数收敛于 f (x) .
2
2
an

1 π
π
f (x) cos nxdx
π
1
0 (1) cos nxdx 1
π
1 cos nxdx
π π