离散时间系统的线性二次型最优控制 - 离散时间系统的线性二次型最优控制(ppt文档)
线性二次型指标的最优控制-PPT课件
Q为n×n半正定常数矩阵，且
为能观测矩阵。
Beihang University
定理内容及说明
综上，状态调节器的设计步骤如下： 1.根据系统要求和工程实际经验，选定加权矩阵Q和R； 2.由A,B,Q,R按 求解黎卡提 矩阵代数方程，求得矩阵K； 3.由式 求最优控制u(t); 4.解式 求相应的最优轨迹x(t); 5.按式 计算性能指标最优值。
闭环系统的状态方程为
得到闭环系统的特征值
闭环系统线性稳定。
Beihang University
原系统的脉冲响应曲线 Beihang University
输出反馈后系统的脉冲响应曲线 Beihang University
故当tf时，性能指标的最优值 将趋于无穷大，即
这与性能指标的最优值 为有限值相矛盾，所以上述系统是渐进稳定的。 Beihang University
定理内容及说明
对于以上结论，作如下几点说明： 3.Q为正定这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。 性能指标J取有限值，还不能保证系统稳定。例如，只 要不稳定的状态变量在性能指标中不出现，那么Q为半 正定时就可能出现这种情况，所以Q必须正定。
线性时变系统输出调节器问题
将输出方程 y(t)=C(t)x(t) 代入性能指标
得到
Beihang University
状态调节器的 性能指标函数
线性时变系统输出调节器问题
在状态调节器的性能指标中，要求P和Q(t)为半正 定矩阵。由于系统可观测，可证明出输出调节器的性 T T ( tf ) PC ( tf ) 和 C ( t ) Q ( t ) C ( t )也 能指标中 C 是半正定的。输出调节器的问题就可以用状态调节器 问题来阐述。即：对于系统
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的 协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
离散系统线性二次型最优控制的算法设计
一种离散系统线性二次型最优控制的算法设计姓名: 专业: 学号:一种离散系统线性二次型最优控制的算法设计一：背景意义对于许多的控制系统，为得到满意的控制效果，需根据建立的系统数学模型，选择一个容许的控制规律，在一定的条件下，使得控制系统在完成所要求的控制任务时，使给定的某一性能指标达到最优值，极小值或极大值，以使某一种性能指标为最小，实现最优控制.常用的性能指标有积分型性能指标如最小时间控制和最小能量控制；末值型性能指标如机床工作台移动准确停止控制和复合型性能指标等.线性二次型最优控制是一种常用的最优控制系统设计方法.这种方法中的性能指标是对象状态与控制输入的二次型函数，在线性系统的约束条件下，选择控制输入使得二次型函数达到最小。
二：模型描述离散线性定常系统：，x(k+1) =Ax(k) +Bu(k)y(k) =Cx(k) Du(k) ( 1)式中，x(k)为n维状态向量；u(k)为p维控制向量;A为n x n 非奇异阵；B为n x p矩阵，当其可控性矩阵的秩为n,选择完全可控线性离散系统的性能指标为：1 1 N 4「]J =2x T(N)Sx(N) + 2瓦x T(k)Qx(k)+u T(k)R u(k)] (2)2 2 K =0Q为n x n维正定或半正定实对称矩阵；R为p x p维正定实对称矩阵;S为n x n维正定或半正定实对称矩阵若选择最优反馈距阵为K(k)二R」B T(A T)」P(k) —Ql (3)则其对应的最优控制序列和最优性能指标分别表示为公式(4)和(5)：u (k)二-K(k)x(K)二-R—1B T(A T)—1〔P(k)- QX(k)(4) (k 二0,1,2.…N -1)J = 1 x T(0)P(0)x(0)2/ ( 5)其中P(k)二Q A T P」(k 1) BR_1B T ]J A3、最优控制序列的确定令N—► 8卡则桌统最优控制[Q解为稳态解,系统性能指标变人：八当£ P⑷创約+/⑷也⑷]Z k-QK(k)变为常数増益矩阵：K=IR+B'PR\'B WP(M变为常数矩阵；P^Q±A J[P l对应的最优控制用列为：u\k) = -Kx(k) = -{R + B T PBY[ B7PAx(k)闭环系统的状态方程为:x(k-1) = Ax(k) + Bu(k)= ( / + fi/? 'B7 P) 1Ax(k)(9)其戢优性能指标仍为公式(5)氣实例仿真与结论某伺服系统动态结构图如图1所/J <・X(A 4^1) = »(*) + *«(*)Xi) = cx(A)⑹(7)(8)(10)山图1,可得(u(k) = kyV^k) - k 2x(k)I v(A) = rx(k) 一 y ⑻ + 咻一 1)(11)山公式(10)和(11),有v(t + 1) = -cax(k) + v(k) 一 cbu(k) + r(k + 1) (12)山公式(11)和(12),可得跆阵:令 Xc(k)=x(k 卜 x(8), v e (k)=v(k)- W 00), u c (k)=u(k> 11(°°)III 公式(11),有：叫⑷=広叫伙)-S")(15)令鬲⑷=兀⑷,2仏)=V e (*),W(i)=叫⑹=X”)兀2伙)对于单位阶跃给宦输入，冇:图I •何服系统动态结构芷x(k +1) 咻+1) _a -caOTx(i) 1咻)h -ca"伙)十卜伙十1)(13)兀伙+ 1)a -ca：］［常 檢)04)一伙2為伙+1) 勺伙+1)a -ca(16)100选择0=1 , R 二|】]・三：程序及仿真图clear;a=2;b=0.5;c=1;d=0;Q=[100 0;0 1];R=[1]; A=[a 0;-c*a 1];B=[b;-c*b];KX=dlqr(A,B,Q,R);k 仁-KX(2);k2=KX(1);axc=[(a-b*k2) b*k1;(c* a+c*b*k2)(1-c*b*k1)]; bxc=[0;1];cxc=[1 0];dxc=[0];dstep(axc,bxc,cxc, dxc,1,100) 计算出的稳态最优反馈增益矩阵为 K=[3.8785-0.1743]工仏十1) 咻+1) \-cbky/i y(k)= cx(k)= [c ojXi k)吨)选择性能* f 标为；J =(k)Qx(k) + w*(k)Rw ⑹]图2。
第4章线性二次型最优控制
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
离散时间系统的线性二次型最优控制 - 离散时间系统的线性二次型最优控制(ppt文档)
2 k0
2 k0
1 xT (0)Px(0) 2
因此，
xT (k)Qx(k) xT (0)Px(0)
k 0
其中的P是 ATPA P Q 的无穷级数的和！
系统的离散时间模型： x(k 1) Ax(k) Bu(k)
二次型性能指标
其中的矩阵P满足
P Q AT PA AT PB(R BT PB)1 BT PA
离散系统 Riccati方程
J1
[xT (k)Qx(k) uT (k)Ru(k)]
2 k0
目的：设计一个状态反馈控制律
u(k) Kx(k)
使得性能指标 J 最小化。
离散系统线性二次型 最优控制问题
定理7.3.1 若（A, B）是能控的，则离散系统线性二次型
最优控制问题有解，最优控制器是
u(k) (R BT PB)1 BT PAx(k)
利用李雅普诺夫方程
xT (k)Qx(k) V (x(k)) V (x(k 1))
xT (k)Qx(k) V (x(k)) V (x(k 1))
两边求和，并利用稳定性可得
J 1 xT (k)Qx(k) 1 [xT (k)Px(k) xT (k 1)Px(k 1)]
7.3 离散时间系统的线性二次型最优控制 自治系统的离散时间模型
x(k 1) Ax(k)
假定系统渐近稳定，即矩阵A的所有特征值在单位圆内 系统的初始状态 x(0) 是已知的。
性能指标 J 1 xT (k)Qx(k) 2 k0
问题：如何计算系统的性能指标值？ 直接计算法，需要求无穷级数的和。
由于系统 x(k 1) Ax(k) 是渐近稳定的， 故对任意的对称正定矩阵Q，
线性二次型最优控制器设计
程序运行结果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009 同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-2所示。
图1-2 闭环系统阶跃响应曲线 由图1-1和图1-2知，经最优输出反馈后，闭环系统阶跃响应曲线与经最优状态反 馈后的阶跃响应曲线很接近。
三、离散系统线性二次型最优控制
下面对离散系统线性二次型最优控制进行详细介绍。
其中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩 阵；Q为给定的半正定实对称常数矩阵；R为给 定的正定实对称常数矩阵；N代表更一般化性 能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K为最优反馈 增益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正定解P （若矩阵A-BK是稳定矩阵，则总有正定解P存 在）；E为矩阵A-BK的特征值。
1000 Q= 取 0
,R=1。 用MATLAB函数dlqr()来求解最优控制器，给出程序清 单如下： %求解最优控制器 a=2;b=1;c=1;d=0; Q=[1000,0;0,1]; R=1; A=[a,0;-c*a,1]; B=[b;-c*b]; Kx=dlqr(A,B,Q,R) k1=-Kx(2);k2=Kx(1); axc=[(a-b*k2),b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1)]; bxc=[0;1];cxc=[1,0];dxc=0; dstep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100)
•
1.LQG最优控制原理 最优控制原理
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + Gw(t ) 假设对象模型的状态方程表示为：
y (t ) = Cx(t ) + v(t )
T
式中，ω(t)和ν(t)为白噪声信号，ω(t)为系统干扰噪声，ν(t)为传感器带来的 量测噪声。假设这些信号为零均值的Gauss过程，它们的协方差矩阵为：
离散时间平均场二次最优控制问题
离散时间平均场二次最优控制问题冀鹏飞【摘要】讨论了带有约束终端的离散时间系统的平均场随机线性二次型最优控制问题.利用拉格朗日乘子定理,在线性二次最优控制问题成立的条件下,给出了状态反馈解的一个必要条件.从某种意义上说,本文可以看作是平均场离散时间随机线性二次最优控制问题的推广.【期刊名称】《德州学院学报》【年(卷),期】2018(034)002【总页数】7页(P8-14)【关键词】随机二次最优控制;离散时间系统;平均场理论;拉格朗日乘子定理【作者】冀鹏飞【作者单位】山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛 266000【正文语种】中文【中图分类】O2321 引言1958年,贝尔曼开始研究二次型最优控制.1960年卡曼建立了基于状态反馈的线性二次型最优控制理论,并在最优控制理论中引入了黎卡提微分方程.这样就可以用统一的解析式来表示线性二次型最优控制的解,且得到一个简单的线性状态反馈控制律,从而构成闭环最优控制.同时线性二次型最优控制问题还可以兼顾系统的性能指标等多方面的因素,如它可以把得到的最优反馈控制与非线性系统开环最优控制结合起来,可以减少开环系统的误差,得到更精确的结果.从20世纪50年代末开始,控制理论进入了一个新的发展时期,它所研究的对象扩展为多输入多输出的,非线性的,时变的离散时间系统,它涉及到了线性控制,自适应控制,最优控制,鲁棒控制,非线性控制,控制系统CAD等理论和方法.今天,随着被控模型的复杂性,不确定性和规模的增大,传统的基于精确的数学模型的控制理论的局限性日益明显. 众所周知,系统很容易受到各种限制因素的影响,例如温度、压力等.因此受约束的随机线性二次最优控制问题的研究是一个非常重要的课题.文献[1]针对模型自由的随机线性离散时间系统,通过Q学习算法,求解无限时间随机线性二次最优控制问题.文献[2]研究了离散时间随机二次最优控制问题.文献[3]考虑了具有确定性系数的平均场随机微分方程的线性二次最优控制问题.在文献[4]中,研究了在无限时间范围内存在的平均场二次最优控制问题.文献[5]提出了有限时域随机最优控制模型的数值方法,推导出了随机最小值原理,并在此基础上提出了一种基于最小值原理直接求解的数值方法.文献[6]研究一类基于社交影响力和平均场理论的信息传播动力学模型,在针对影响力度量中主要研究静态拓扑结构,利用平均场理论来忽略个体行为特征,提出了一种基于动态节点行为和用户影响力的信息传播动力学模型.本文利用凸分析的拉格朗日乘子定理研究带终端的随机线性二次最优控制问题,并且将平均场理论应用到最优控制问题中,可以最大限度的减小噪声对系统的影响,并能方便的处理噪声方面的问题.同时验证了平均区域随机二次最优控制问题存在线性反馈最优解的必要条件,其结果可以看作是平均场离散时间随机二次最优控制问题的推广.为了方便,给出以下定义：M'是矩阵M的转置；Tr(M)是矩阵M的迹；当M>0(M≥0)时,M为正定矩阵；Ex代表随机变量x的数学期望,Rm×n为n×m矩阵；N={0,1,2,…,T}；并且令2 问题陈述考虑以下形式的平均区域离散时间系统(1)bi1x1T+bi2x2T+…+binxnT=ξi, i=1, 2,…, r(2)其中是给定的矩阵值函数；xt和ut分别是状态过程和控制过程；E[ωt]=0和E[ωtωt]=δst是一个二阶过程,δst是Kronecker函数；ωt, t∈N是定义在概率空间(Ω, F, P)上的一维的标准Brown运动,Ft=σ(ωs:s∈N+)为Brown运动生成的信息流.u(.)属于允许控制集(3)ξi为给定的FT可测的平方可积随机变量,即E|ξi|<+,bij为已知实数,i=1,2,…,r;j=1,2,…,n. 令Nr×n=(bij)r×n,ξ=(ξ1,ξ2,…,ξr)′,则约束(2)可写为NT=ξ,在这里假设N为行满秩.表述本文主要定理之前,首先给出本文要用到的拉格朗日乘子定理和一些重要的引理.定义1[7] 设X为向量空间,Y为赋范线性空间,T为X到Y的变换,对x,h∈X,如果极限(4)存在,称此极限为T在x处方向h的方向导数或Gateaux导数.若对任意的h∈X,上述极限都存在,则称T在x处为 Gateaux 可导.定义2[7] 设X,Y为赋范线性空间,T为定义于X到Y的变换.对于给定的x∈D,h∈X,T在x处为Gateaux 可导,Gateaux导数δTx; h∈Y关于h为有界线性变换,且满足则称T在x处为 Frechet 可导,δTx, h为T在x处h的 Frechet 导数.定义3[7] 设Tx为定义于Banach空间X到Banach空间Y的变换,且有连续的Frechet导数.若对x0∈D,δTx; h为从X到Y的满射,则称x0为变换T的正则点. 引理1 [7] 设fx是定义于 Banach 空间X上具有连续的Frechet导数的实值函数,Hx为X到Banach空间Z的映射,x0为变换Hx的正则点.若fx在约束Hx=0下在x0处达到极值,则存在Z上有界线性泛函使Lagrang泛函在x0处有驻点,即†Hx0; h=0,对所有h∈X都成立.在本节的最后再给出一个关于广义逆矩阵的引理.引理2[8] 给定M∈Rm×n,则存在唯一的M†∈Rn×m,满足矩阵M†称为M的 Moor-Penrose 广义逆.3 主要结论对于离散时间控制系统(1),给出关于可容许控制集Uad的目标函数(5)其中是对称矩阵.定义4 如果存在u0∈Uad 满足Jx0, u0=infJx0, u，>-, u∈Uad(6)则称u0为最优控制,系统(1)为适定的.为最优轨迹,Jx0,u0为最优目标函数.如果线性反馈控制对问题(1)和(6)是最优的,那么它在下列形式的反馈中也是最优的(7)其中Lt, t∈NT-1是矩阵值函数,为最优状态反馈控制.把(7)代入(1),则二次最优控制问题变为以下形式(8)称Lt, t∈N为新的控制集.令通过(8)式可以得到(9)X0=Ex0x0′(10)把(9)和(10)代入(5),经过简单的变形得到目标泛函如下其中约束终端(2)变为(11)最优控制问题归结为以下形式目标泛函Jx0, u可视为定义在空间Cm×n[0,T]×Cm×n[0,T]上,其中Cm×n[0,T]为所有元素是[0,T]上连续函数的n阶方阵构成的空间；(9)式和(10)式定义了从Cm×n×Cm×n到Cn×n的变换(12)而(11)式定义了从Cn×n[0,T] 到Rr×r的变换G(XT)=NXTN′从而约束(9)式,(10)式,(11)式可表示成为(13)下面来证明和有连续的Frechet 导数.定理都有连续的 Frechet 导数,且导数为δHX( ΔXt+1)=-ΔXt+1(14)(15)的 Fretchet 导数为其中是矩阵值连续函数.证明在这里只证明(14)式,其他证明过程跟(14)式相似. 令Xαt=Xt+αΔXt,通过定义1,能够得出(16)其中(17)令α→0,可以得出(14).定理2 如果存在(18)是最优控制,那么存在对称矩阵和λ∈Rr×r满足(19)(20)证明设是(5)式的最优解,通过定理2,可以得到对称矩阵和满足以下等式δJXΔXt+δHXΔXt+1+δHXΔXt+δGΔXT=0(21)δJLΔLt+δHLΔHt=0(22)由于那么(21)式和(22)式变为NΔXTN'-TrPTΔXT=0由于ΔXt和ΔXT相互独立,则(19)式证出.通过类似的方法,(20)式也可以被证出.结论1 如果(8)式,(11)式,(18)-(20)式存在解是最优控制,则最优目标函数满足其中把(16)式代入(5)式,经简单变形,就可得到上述结论.推论1 对于平均场二次最优控制问题,如果满足则满足≥0,t∈T.此证明过程与参考文献[9]的证明过程相似,不再加以赘述.4 数值例子考虑一个周期为3的数值例子满足其系数值为借助于Riccati方程(12)和(18),可以得到Riccati解为应用结论1,可以得到最优控制其中5 总结主要研究了平均场线性二次最优控制问题.借助于拉格朗日乘子定理,给出了该问题存在最优解的必要条件,并计算出了状态反馈最优解.将平均场理论应用到最优控制问题中,可以最大限度的减小噪声对系统的影响并能方便的处理噪声问题.最后通过一个数值例子验证了结论的正确性.参考文献:[1] 么彩莲,王涛.模型自由的离散时间系统的随机线性二次最优控制问题[J].辽宁石油化工大学学报,2016,36(6):64-68.[2] X.K.Liu.Y.Li,W.H.Zhang.stochastic linear quadratic optimal control with constraint for discrete-time systems[J].Applied Mathematics and Computation,2014,228(9): 264-270.[3] J.M.Yong.A linear-quadratic optimal control problem for mean-field stochastic differential equations[J].SIAM J.Control andOptim,2013,51(4):2809-2838.[4] Y.N.Ni,R.Elliott,X.Li.Discrete-time mean-field stochastic linear-quadratic optimal control problems,: Infinite horizoncase[J].Automatica,2013,57(11):65-77.[5] P.Parpas,M.Webester.A stochastic minimum principle and an adaptive pathwise algorithm for stochastic optimalcontrol[J].Automatica,2013,49(6):1663-1671.[6] 肖云鹏,李松阳,刘宴兵.一种基于社交影响力和平均场理论的信息传播动力学模型[J].物理学报,2017,66(3):1-13.[7] D.G.Luenberger,Optimization by vectors Space Methods[M].Wiley,New York,1968.[8] M.A.Rami.J.B.Moore.X.Y.Zhou.Indefinite stochastic linear quadratic control and generalized differential Riccati equation[J].SIAM J.Control &Optimization,2001,40:1296-1311.[9] R.J.Elliott,X.Li,Y.H.Ni.Discrete-time mean-field stochastic linear-quadratic optimal control problems[J].Automatica,2013,49:3222-3223.。
线性二次型最优控制问题.ppt
上式所示的性能指标中加权矩阵S，Q(t)和R(t)
（1）加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系，将直接影 响系统的工作品质。例如，提高S阵中某一元素的比重，说明 更加重视与该元素对应的状态分量的终端准确性；提高Q(t) 阵中某一元素的比重，说明希望与之对应的状态分量具有较 好的快速响应特性；而提高R(t)阵中某一元素的比重，意味着 需要更有效地抑制与之相应的控制分量的幅值及由它引起的 能量消耗。这只是大致趋势，实际情况十分复杂。因此，如 何安排各加权阵的各个元素之间的关系，乃是一件十分重要 而又十分困难的工作 。
J
1 2
eT
(t f
)Se(t f
)
1 2
tf t0
[eT (t)Q(t)e(t) U T (t)R(t)U (t)]dt
(6.1.2)
2019年8月3
3
为最小，这就是线性二次型最优控制问题。其中S是ll半正定
对称常数矩阵，Q(t)是ll半正定对称时变矩阵，R(t)是mm正 定对称时变矩阵，终端时间tf是固定的，终端状态X(tf)自由。
但是，由于协态变量在实际系统中是不存在的，自然也无法 检测到。因此式（6.2.3）的最优调节作用在工程上是难以实 现的。为了便于在工程上实现，需将调节作用U(t)表示成系 统状态变量X(t)的函数。令：
(t) P(t)X (t)
其中P(t)是nn待定的时变矩阵。对上式两边求导数，得
(t) P(t)X (t) P(t)X (t)
2019年8月3
5
（2）在这些不同目标之间，往往存在着一定矛盾。例如，为 能尽快消除误差并提高终端准确性，就需较强的控制作用及 较大的能量消耗；而抑制控制作用的幅值和降低能耗，必然 会影响系统的快速性和终端准确性。如何对这些相互冲突的 因素进行合理折衷，是系统设计者必须认真对待的课题。
【现代控制理论与方法概述-清华课件】op-lect13线性二次型最优控制
(3)⎤ (3)⎥⎦
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 2⎥⎦
该方程为非线性，通常利用计算机求得数 值解，然后代入下式即得最优控制。
u∗ = −R−1(t)Bτ (t)P(t)x
[ ] = −2 0
1
⎡ p11 ⎢⎣ p12
Байду номын сангаас
p12 ⎤⎡ x1 ⎤ p22 ⎥⎦⎢⎣x2 ⎥⎦
= −2 p12 x1 − 2 p22 x2
则有∂uu∗ = −R−1(t)Bτ (t)λ
（13.5） （13.6）
将式（13.6）代入状态方程，得
x (t) = A(t)x(t) + B(t)R−1(t)Bτ (t)λ
x(t0 ) = x0
（13.7）
其伴随方程为
λ = −Q(t)x(t) − Aτ (t)λ
λ(t f ) = Fx(t f )
（13.8）
方程（13.7）和（13.8）是线性方程，x
和λ有线性依赖关系，有以下关系
λ = P(t)x
（13.9）
将式（13.9）对时间求导，并将状态方程 代入，得
λ = P(t)x + P(t)x
[ ] = P(t) + P(t) A(t) − P(t)B(t)R−1(t)Bτ P(t) x
x (t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) x(t0 ) = x0
二次型性能指标的一般形式为
[ ] J
=
1 2
∫tt0f
xτ Q(t)x
+ uτ R(t)u
dt
+
1 xτ 2
(t f
)Fx(t f
离散双线性系统二次型最优控制的迭代算法
离散双线性系统二次型最优控制的迭代算法
1 离散双线性系统二次型最优控制
离散双线性系统二次型最优控制是一项将控制学和运筹学技术结
合起来的复杂分析方法，主要用于解决离散二次型最优控制问题。
该
方法可以获得系统的理想动态行为，极大地改善系统的性能，从而实
现系统的良好性能控制。
2 迭代算法
迭代算法是一类基于迭代的解决方案。
它通过不断地重复处理一
系列操作，以满足某一条件终止或找到最佳解，以达到解决问题的目的。
在离散双线性系统二次型最优控制中，迭代算法是期望最小化控
制策略获得最佳控制效果的有效手段。
3 强化学习
强化学习是一种数学方法，用于寻找改善系统性能的动作序列。
通过评估和改善现有动作序列，强化学习能够获得最佳控制解决方案，从而极大地改善系统性能。
强化学习在离散双线性系统二次型最优控
制中发挥了重要作用，它可以让系统以最佳操作模式达到期望效果。
4 结论
离散双线性系统二次型最优控制是一项有效而复杂的分析方法，
它可以将控制学和运筹学技术结合起来，实现控制策略的优化，获得
系统最佳性能。
迭代算法和强化学习在离散双线性系统二次型最优控
制中担当了重要角色，在评估和优化控制策略的性能方面发挥了重要作用。
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
得 x 2 A22 x2 u w A12 x2 { A, C}能观 { A22 , A12 }能观
闭环系统为
x [ A BR1BT P]x
仍保持为定常系统。
对P的要求：最优系统必须是稳定的，即 [ A BR1BT P] 的所有特征值均具负实部。 可以证明：以上方法构成的最优闭环系统必是大范围渐 近稳定的。
证明： 选取Lyapunov函数
V ( x) xT Px x ( A BR1 B T P ) x V ( x) x Px x P x
step2 : 选取Gnq , 使{F , G}能控 step3 : 求解TA FT GC, 求出唯一解阵 T step4 : 若T非奇, 则H TB; 若T奇异, 返回step1或step2.
三.降维状态观测器
线性定常系统
x Ax Bu, x(0) x0 , t 0 y Cx rankC 输出的维数q
•
综上，有限调节时间LQ问题的综合步骤是： (1)A,B,P(tf)=S,Q,R代入Riccati非线性矩阵微分方程，解 出增益矩阵P(t); (2)构造状态反馈 此时闭环状态方程为
u (t ) R1BT P(t ) x (t )
x [ A BR1BT P(t )]x , x (0) x0
C PQ [Q1 Q 2 ] R CQ1 CQ2 RQ RQ 2 1 0 I q 0 I nq CQ1 I q , CQ2 0, RQ1 0, RQ2 I n q
step2:作线性非奇异变换， x Px
x PAP1 x PBu A x B u y CP 1 x [CQ1 CQ2 ]x [ I q x1q 记x x 2 nq 0]x
线性二次型最优控制 现代控制理论 教学PPT课件
1 2
e
T
(t
f
)Fe(t f
)
1 2
tf t0
eT
(t)Q(t)e(t)
uT
(t ) R(t )u(t ) dt
演变为
J
1 2
xT (t f
)Fx(t f
)
1 2
tf t0
xT (t)Q(t) x(t)
uT (t)R(t)u(t)dt
这时，线性二次型问题归结为：当系统受扰偏离原平衡零状态时，要求系统产生一控制向
2021年4月30日
第7章第14页
可以证明，只要系统是能控的，无限时间状态调节器与有限时间状态调节器的求解过 程基本相同。最优控制为
u R1BT Px(t)
其中， P 是黎卡提矩阵方程
PA AT P PBR1BT P Q 0
的解。最优轨线满足如下方程
性能指标最小值为
x(t) A BR1BT P x ， x(0) x0
P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) Q(t) 0 满 足 边 界 条 件
P(t1) S 的解。
2021年4月30日
第7章第12页
有限时间状态调节器问题的求解步骤：
（1）求解如下黎卡提矩阵微分方程
P AT P PA PBR1BP Q
量，使性能指标 J
1 2
yT (t f
)Fy(t f
)
1 2
tf t0
yT
(t)Q(t)
y(t)
uT
(t ) R(t ) u(t) dt
极小，即
使得系统状态 x(t) 始终保持在零平衡状态附近。因而，这一类线性二次型最优控制问题称
线性二次型最优控制
线性二次型最优控制
本文旨在探讨线性二次型最优控制的理论及其实际应用。
线性二次型控制是一种广泛使用的有效控制策略，用于解决复杂的系统问题。
本文以线性二次型的哲学和理论基础为主线，全面总结了线性二次型最优控制的哲学和原理，研究了它的实际应用，并介绍了理论与实践的关系。
首先，本文介绍了线性二次型最优控制的哲学和理论基础。
实践证明，线性二次型控制技术在它所面对的问题中具有优势。
线性二次型最优控制是一种基于目标的最优化控制技术，以有效地通过控制技术来实现有效的控制者。
其次，本文研究了线性二次型最优控制的实际应用。
实际应用中，线性二次型最优控制的最大特点在于它的非线性输入和输出行为。
基于该技术，可以构建一类实用性强的系统，以有效地满足实际应用中的复杂性及非线性性需求。
此外，线性二次型最优控制也可用于节能、飞行控制，机器人控制、智能汽车控制等领域的实际应用。
最后，本文介绍了线性二次型最优控制的理论与实践的关系。
在实践中，要求在有效消耗低的基础上实现有效控制，这要求模型与实践相结合。
只有通过深入理解和求解这种关系，才能有效地利用这种理论在实践中得到最优的控制效果。
总之，线性二次型最优控制作为一种有效的最优化控制策略，极大地促进了复杂系统的发展和应用，同时为更加高效和可靠的实践应用提供了有效的方案。
本文为线性二次型最优控制的哲学和理论研究
以及实际应用提供了一个全面的研究和探讨，以帮助更好地理解和应用这种控制策略。
线性二次型最优控制..
一、主动控制简介概念：结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力，最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。
特点：主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，是一种需要额外能量的控制技术，它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。
优缺点：主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动，减少输入的干扰力，以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力，特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果，与被动控制相比，主动控制具有更好的控制效果。
但是，主动控制实际应用价格昂贵，在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题，控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。
组成：传感器、控制器、作动器工作方式：开环、闭环、开闭环。
二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用1.主动变刚度A VS控制装置工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器，控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现不同的变刚度状态。
锁定状态（ON）：电液伺服阀阀门关闭，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此时结构附加一个刚度；打开状态（OFF）：电液伺服阀阀门打开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移，液压缸的压力差使得液体发生流动，此过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个阻尼。
示意图如下：2. 主动变阻尼A VD控制装置工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻力通过活塞传递给结构，从而实现为结构提供阻尼的目的。
关闭状态（ON）：开孔率一定，液体的流动速度受限，流动速度越小，产生的粘滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大阻尼力，此时成为ON状态；打开状态（OFF）：控制阀完全打开，由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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J1
[xT (k)Qx(k) uT (k)Ru(k)]
2 k0
目的：设计一个状态反馈控制律
u(k) Kx(k)
使得性能指标 J 最小化。
离散系统线性二次型 最优控制问题
定理7.3.1 若（A, B）是能控的，则离散系统线性二次型
最优控制问题有解，最优控制器是
u(k) (R BT PB)1 BT PAx(k)
利用李雅普诺夫方程
xT (k)Qx(k) V (x(k)) V (x(k 1))
xT (k)Qx(k) V (x(k)) V (x(k 1))
两边求和，并利用稳定性可得
J 1 xT (k)Qx(k) 1 [xT (k)Px(k) xT (k 1)Px(k 1)]
7.3 离散时间系统的线性二次型最优控制 自治系统的离散时间模型
x(k 1) Ax(k)
假定系统渐近稳定，即矩阵A的所有特征值在单位圆内 系统的初始状态 x(0) 是已知的。
性能指标 J 1 xT (k)Qx(k) 2 k0
问题：如何计算系统的性能指标值？ 直接计算法，需要求无穷级数的和。
其中的矩阵P满足
P Q AT PA AT PB(R BT PB)1 BT PA
离散系统 Riccati方程
由于系统 x(k 1) Ax(k) 是渐近稳定的， 故对任意的对称正定矩阵Q，
AT PA P ) xT (k)Px(k)
V (x(k)) V (x(k 1)) V (x(k)) xT (k 1)Px(k 1) xT (k)Px(k) [Ax(k)]T P[Ax(k)] xT (k)Px(k) xT (k)(AT PA P)x(k)
2 k0
2 k0
1 xT (0)Px(0) 2
因此，
xT (k)Qx(k) xT (0)Px(0)
k 0
其中的P是 ATPA P Q 的对称正定解矩阵。
特点：通过求解一个代数方程来求得无穷级数的和！
系统的离散时间模型： x(k 1) Ax(k) Bu(k)
二次型性能指标