北京科技大学建模与仿真考试题

系统：为了达到基种目的的一组具有特定功能,被此想互联系又相互作用的元素之间的有机组合。

它包含所有的工程系统:电气、机械、通信、液压、化工热力学、系统
非工程系统:经济、交通、管理、生物系统
系统组成三要素
实体：组成系统的具体对象或者元素
属性：实体的有效特征（状态和参数）
活动：对象随时间推移而发生的状态变化
例1－1：系统（银行）：实体（出纳员、顾客）属性（帐户号、支票号、余额）：活动（取号、取款、存款）
例1－2：制造单元；机器、作业；速度、容量故障率；焊接、冲压
系统的主要特性：目的性：系统必项实现一定的目的，即包含实现某些特定功能和系统优化集合性：系统各元素或子系统具有一定的独立性，但同时构成一个有机整体
相关性：各元素或子系统相互联系，相互作用，具有一定的逻辑关系
环境适应性：任何系统都有确定的边界和环境，由外部环是変化的、为了使系优化，系统生存必
环境：指对系统的活动结果产生影响的外界因素
系统的边界和环境关系：系统的边界包围了所研究对象的所有部件，它并不是固定不变的，它要根据所研完的目标来确定。

如何对待环境：环境是人、事、物变化的外因，应该充分重视。

适应改变利用学习保护
系統分类
连续系统：电机速度控制系统、锅炉温度调节系统离散系统：计算机系统连续离散混合系统：计算机控制系统（对象：连续；控制器：离散变量）
数学模型是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。

数学建模应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程
仿真（Simulation）仿真的基本思想是利用物理的或数学的模型来
类比模仿现实过程，以寻求对真实过程的认识。

它所遵循的基本原则是相似性原理
计算机仿真（Computer Simulation）
计算机仿真是基于所建立的系统仿真模型，利用计算机对系统进行分析与研究的方法。

模型：对现实系统有关结构信息和行为的某种形式的描述，是对系统的特征与变化规律的一种定量象，是人们认识事物的一布手段或工具。

模型的分类
（1）物理模型指不以人的意志为转移的客有在的实体，如飞行器研制中的飞行模型；船舶制造中的船舶模型等。

（2）数学模型是从一定的功能或结构上进行相似，用数学的方法来再现原型的功能或结构特征
（3）仿真模型指根据系统的数学模型，用仿真语言转化为计算机可以实施的模型计算机仿真系统：研究的对象模型：系统的对象计算机：工具与手段
例一某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后其先生开车接她回家。

有一天，她比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着先生来接她的方向步行回去并在途中
遇到了先生，这一天，她比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间
（1）实际问题：
某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。

有一天，他比平时提早了30min到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到妻子。

这天，他比平时提前10min到家，则此人步行了多长时间？
（2）模型的假设：
1)此人匀速步行。

2)妻子匀速开车。

3)此人与妻子相遇后立即返回，耽误时间忽略不计；
4)妻子从家出发去接丈夫。

（3）模型的分析与求解：
如图所示：
A点表示下班处。

B点表示此人妻子接他的地方。

C点表示这一天回去途中遇到妻子的地方。

D点表示此人的家。

T1表示平常到达B的时刻。

T2表示平常到达C的时刻。

t表示此人步行的时间。

由分析可知，此人，提前了10分钟到家，而从C到D所花费的时间和平常一样，即此人提前10分钟到达C处，所以这一天此人到达C处的时刻为T2-10,又因为提前了30分钟到达B处，所以这一天此人到达B处的时刻为T1-30 所以此人在BC段步行的时间：
t=T2-10-(T1-30)
(1)
将妻子作为单独的研究对象，妻子也提前了10分钟回家，与以往不同的是，妻子只直到了C处，相比平时节约了10分钟的路程即为BC段，所以
T2-T1=10/2
(2)
将（1）式与（2）式联立，可求得t=25（min）
（3）结果：
此人步行的时间为25分钟.
例二由于距离不同，设A到C行驶31分钟，B到C要行驶30分钟，考察
个时间长度为10分钟的区间，例如，可以从A方向来的车驶离C站时开始，在其后的9分钟内到达的乘客见到先来的车均为B开往A的，仅有最后1分钟到达的乘客才见到由A来的车先到。

由此可见，如果此人到C站等车的时间是随机的，则他先遇上B方向来的车的概率为90%
数学建模的作用
帮助人们不断加深对现象的认识准确清楚的通讯-辅助思考-提供较好的理解
启发人们进行可获得满意结果的实验，并在同一水平提供干预的可能
提高决策能力：提出管理策略-确定控制动作-实施决策
数学建模目标的二元性：
提高认识：实际系统不能观测部分-能观测部分
提高干预能力：实际系统不能控制部分-能控制部分
线性系统：简化直线发展
非线性系统：关联和交互影响中进化
非线性系统的复杂性
个系统的组成个体有无数可能的方式相互作用。

非线性系统中，整体并不等于所有部分的相加。

主观不确定性：决策者由于有关资料的缺乏而不能对事物的态度做出正确的判断，而这种判断却是其他掌握资料的人可以有的。

客观不确定性：事物状态的客观属性本身具有不确定性可以通过认识去把握客观规律。

但是，
认识本身并不能消除这种不确定性
数学建模的一般步骤:实体信息-假设-建模-求解-验证-应用
模型可信度：演绎归纳目的方面
智能是个体有目的的行为，合理的思维，以及有效的、适应环境的综合能力。

智能是个体认识客观事物和运用知识解决问题的能力。

人类个体的智能是一种综合能力
与认识客观事物、客观世界和自我的能力感知是智能的基础最基本的能力
通过学习取得经验与积累知识的能力这是人类在世界中能够不断发展的最基本能力。

理解知识，运用知识和经验分析、解决问题的能力这一能力可以算作是智能的高级形式。

是人类对世界进行适当的改造，推动社会不断发展的基本能力。

联想、推理、判断、決策语言的能力这是智能的高级形式的又一方面。

预测和认识“主动”和“被动”之分。

联想、推理、判断决策的能力是“主动”的基础。

运用进行抽象、概括的能力。

上述这5种能力，被认为是人类智能最为基本的能力
发现、发明、创造、创新的能力
实时、迅速、合理地应付复杂环境的能力
预测、洞察事物发展、变化的能力
人工神经网络：是对人类大脑系统的一阶特性的一种描述。

简单来说是一个数学模型，可以用电子线路来实现，也可以用计算机程序来模拟。

1.1 马尔萨斯（Malthus ）模型
马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r 基本上是一常数，（r =b -d , b 为出生率，d 为死亡率），既：
1dN
r N dt = 或 dN
rN dt =
(1) 其解为
0()0()r t t
N t N e -=
(2) 其中N 0=N (t 0)为初始时刻t 0时的种群数。

马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。

令种群数量翻一番所需的时间为T ，则有：
002rT
N N e =
(3) ln 2
T r =
(4)
表2 中国人口数量统计数据
比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6亿（即3.06×1010），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。

查1700年至1961年共260年的人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。

假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长（如图1）。

例如，到2515年，人口约达2×1014人，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2665年，人口约达4×1015人，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。

故马尔萨斯模型是不完善的。

图1 马尔萨斯模型人口预测呈几何级数增长
Malthus 模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象，后续将展开讨论。

所以Malthus 模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。

1.2 Logistic 模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即：r =r (N )，
从而有：
()dN
r N N dt =
(3) 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r (N )=r -aN
此时得到微分方程：
()dN
r aN N dt =-或(1)dN N
r N dt K =- (4)
(4)式被称为Logistic 模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst ）首先提出的。

一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。

(4)式可改写为 ()dN
k K N N dt =-
(5) (5)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。

设环境能供养的种群数量的上界为K （近似地将K 看成常数），N 表示当前的种群数量，K -N 恰为环境还能供养的种群数量，(5)式指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是(5)式也被称为统计筹算律的原因。

对(5)式分离变量： 11dN kKdt N K N ⎛⎫
+= ⎪-⎝⎭
(6) 两边积分并整理得： 1kKt K
N Ce -=+
(7) 令N (0)=N 0，求得： 0
K N C N -=
(8) 故(5)的满足初始条件N (0)=N 0的解为： 000
()()kKt N K
N t N K N e -=+-
(9) 易见：
N (0)=N 0，lim ()t N t K →+∞=
(10) N (t )的Logistic 模型曲线如图2
图2 Logistic 模型曲线图
历史上已有多个种群增长的实验验证了Logistic 模型所描述的规律。

1945年克朗皮克（Crombic ）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（E·F·Gauss ）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和Logistic 曲线十分吻合。

大量实验资料表明用Logistic 模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。

例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm 3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个。

实验数据与r =2.309，a =0.006157，N (0)=5的Logistic 曲线： 2.309375
()174t
N t e
-=+，几乎完全吻合，见图3。

图3 r =2.309，a =0.006157，N (0)=5的Logistic 曲线图
2 问题分析
我们将这个复杂过程分为三个部分： 1．1进入大气过程
小行星从外太空高速进入大气层，收到空气阻力的作用会有一定的减速。

1.2 碰撞过程
高速运动的小行星体带有巨大的动能接触南极冰层后，与冰层发生剧烈碰撞，在地面上留下一个巨大的陨石坑，同时溅射出大量的物质。

巨大的动能迅速转化为内能，产生高温高压，瞬间将大量的冰层融化为水与蒸汽。

此外，还有一部分能量转化为溅射物质的动能以及物体变形的动能。

地面吸收能量后引发地震，海啸等一系列次生灾害。

1.3 后期影响
碰撞的后期影响主要集中灾害在生态环境的影响，包括融水对海平面高度的影响，陨石中物质流入海洋的影响，溅射物质的影响等等。

3 问题假设
（1）入射的小行星形状近似为一个球体，其半径为1000m; （2） 小行星掉落的地点在地球的南极；
（3）小行星进入大气层后沿着一条直线运动，不发生偏移；
（4） 小行星进入大气层时不发生爆炸，与地面接触后也不发生反弹；
（5）小行星主要由铁和镍构成，这基本是陨石中密度最大的物质，我们可以估计出最坏的情况；
（6）南极冰层平均厚度约为2000m;
4 符号系统
star ρ 小行星的密度
V 0 小行星进入大气层时的速度 d star 小行星的直径
α 小行星撞击地面的角度 T 0 冰层的初始温度 M star 小行星的质量
5 模型建立
5.1进入大气过程
我们首先计算一下小行星的质量：M star = star ρπd star 3/6 ,小行星的初始动能 E star = M star V 02/2。

在小行星进入大气层的过程里，不可避免的要受到空气阻力的影响，损失动能，摩擦生热。

根据这个我们来计算一下空气阻力的影响，通过查找资料我们发现空气阻力的计算公式为
R = C ρAV 2
式中V 代表这个物体的速度，A 代表该物体与空气的接触面积，ρ为空气的密度。

C 是一个与空气相关的常数，一般为0.2到 0.4 kg/m 3。

我们想计算出物体与空气磨擦时，动能转化为热能的上限。

我们假设大气层的厚度为100km 。

100km 以内的大气随着高度的减小，其密度的对数（以
10为底）是一个线性线性增加的过程。

由此我们假设大气的归一化密度为ρair =10ad+b
(即假设海平面处的空气密度为1)，式中的d 为距海平面的高度，a 和b 为两个系数。

现在我们先来计算一下a 和b 。

由于100km 相对于地球的半径6400km 来说很小，所以当小行星在大气层运动时可以把地面看作一个水平面。

小行星进入大气层时沿着一个角度α，所以从100km 处大气层
到海平面经过的路程为S 0=105
/sin α。

在海平面处，ρair =10ad+b
=1，可得ad+b=0，而d=0，故b 也等于0。

在距海平面S 0处，空气密度大约是海平面的10-6，10-6=10a*S0+b ,所以-6=a*105
/sina,可得
a=-6 sin α/105。

故在大气层的范围内，空气阻力R = C ρAV 2=C*10a AV 2。

空气阻力做功为
W = -
⎰
sina
/105Rdh
=
)101(6ln10sin CAV 1062
5--α ≈α
sin 10ln 6102
5CAV
为了估计一下最坏的情况，我们取C=0.4, A 为πr 2,此处r 取500m(因为小行星的面直径约为1000m)。

我们计算一下在不同角度下空气阻力做功占总动能的比例P ，结果如下：
从这个结果可以看到空气阻力的影响非常小，作用最强时也仅消耗总动能的0.163%，所以我们在下面的分析里忽略空气阻力的影响，即动能在进入大气层时不损失。

5.2碰撞过程
小行星以超高速撞击地球的南极点，根据碰撞遵循质量守恒原理、动量守恒原理和高速碰撞理论，强烈的冲击波将引起强大的冲击压力。

首先让我们初步估计一下撞击的能量：
撞击产生的能量来自于小行星的动能。

根据假设，令小行星的速度V0=30km/s,小行星的
πd star 3/6，质量M=2.62密度ρ=5g/cm3,小行星的直径D=1000m,所以小行星的体积M star=
star
×1012kg，因此，小行星的动能为E=11.78×1020J。

根据对大量碰撞所产生的能量的估计，直径为1000m的小行星撞击地球所产生的能量相当于100M TNT炸药所产生的能量（其中M 为小行星质量）。

1kg TNT炸药爆炸，会放出4560kJ热量，记C=4560kJ/kg，则有E=100×M×C≈11.94×1020J。

误差是由于忽略了小行星穿过大气层所损失的能量。

之后我们来计算一下冲击波压力P c（其中ρ1为冰块密度，ρ1’为水的密度，ρstar为小行星平均密度，V0为小行星速度，C1为冲击波在冰块中的传播速度，C2为冲击波在行星内的传播速度，V c为冲击波的反射速度，P0为冰块的初始压力，P c为冲击波的反射压力，σ为与材料有关的弹塑性常量。

对于冰块，根据质量守恒和动量守恒，得：
ρ1 C1 =ρ1’（ C1 - V c ） (1)
（ρ1 C1）C1 + P0 =ρ1’（ C1 - V c ）（C1 - V c ）+ P c （2）
由（1）、（2）式得：
P c - P0 =ρ1 C1 V c (3）
对于小行星
P c - P0 =ρ2 C2（V0- V c）（4）
由（3）、（4）式得：
P c - P0 =（ρ1 C1ρstar C2）V0/（ρ1 C1 +ρstar C2）（5）
根据高速碰撞理论：
C = （σ/ρ）0.5（6）
对于冰块ρ 1 = 0.9ρ2；初始压力p0≈0，由（1）式到（5）式，得P c约为0.2×1016P a 。

在这个地区，温度在短时间内快速升高，大量冰块融化向各个方向扩散，同时大量水蒸气进入大气。

根据功能原理，冲击压力P c对地球所做的功W为：
W = 0.5P cεv (7)
其中εv是压缩形变。

因为是超高速碰撞，εv和P c不是线性关系，两者服从下面的非线性关系：
εv = aP c2 + bP c (8）
这里a和b是两个常数（a<0 , b>0）。

我们把由冲击波产生的能量分配为被南极大陆冰块吸收的能量E1,深层未融化冰块吸收的能量E2，升华成水蒸气的冰块吸收的能量，也就是说，E1、E2之和远大于E3、E k之和，若总能量为E，我们假定E1 + E2 = 80%E，E3 = 10%E，E k = 10%E 。

双层玻璃：
不妨可以提出以下假设：1.设室内热量的流失是热传导引起的，不存在户内外的空气对流。

2.室内温度T1与户外温度T2均为常数。

3.玻璃是均匀的，热传导系数为常数。

设玻璃的热传导系数为K1，空气的热传导系数为K2。

单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为0·。

121
21=a a b b T T T T T T
k k k d l d
θ---== 121212(1/)2()()a k l k d T T T k l k d ++=
+ 12
112=(2/)
T T k d k l k d θ-+
类似有'
121=2T T k d θ- '1222()/()k l k d θθ=+一般1216~32k k =故'
118/l d θθ
≤+取h=l/d 考虑到美观和使用上的方便，h 不必取得过大，例如可以取h=3，此时房屋热量的损失不超
过单层玻璃的3% 理想单摆：
小球所受合力为sin mg θ，根据牛顿第二定律可得：''
sin ml mg θθ=-''sin 0g
l
θθ+
='0(0)0,(0)θθθ==
当θ很小时sin θθ≈，此时可得近似线性方程''
0g
l
θθ+
='0(0)0,(0)θθθ== 解的
0()c o s t t θθω=其中ω=
当t=T/4, ()0t θ=故有2
π
=由此得出2T = 放水：
以容器的底部O 点为原点，取坐标系如图所示，令h(t)为t 时刻容器中水的高度，现建立和
h （t ）满足微分方程，设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水的内部摩擦力
和表面张力的假定下有()v t =，因体积守恒，可得2dV r dh svdt π=-=，
r =，2[()]0.6R R h dh π---=即
dh
dt = 最终得522
2
T ==⎰。