第2章工程随机数学基础习题答案解析

第2章 随机变量及其分布

习题 2

1．设有函数

⎩⎨

⎧≤=其它，

,

0,0,sin )(πx x x F

试说明)(x F 能否是某随机变量的分布函数。 解：

不能，易知对21x x <，有：

122121{}{}{}()(),P x X x P X x P X x F x F x <<=<-<=-

又)()(,0}{1221x F x F x X x P ≥≥<<，因此)(x F 在定义域内必为单调递增函数。 然而)(x F 在),0(π上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。

2．－筐中装有7只蓝球，编号为1，2．3，4，5，6，7.在筐中同时取3只，以X 表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量X 的分布列。

解：X 的可能值为3，4，5，6，7。在7只篮球中任取3个共有3

7C 种取法。

}3{=X 表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情

况，故351

5673211)3(37=⋅⋅⋅⋅=

==C X P

}4{=X 表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取

两个，共有2

3C 种取法，故

35

3

56732113)4(3723=⋅⋅⋅⋅===C C X P 。

}5{=X 表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取

2个，共有2

4C 种取法，故

35

6

5673212134)5(3724=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ， }6{=X 表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中

任取2个，共有2

5C 种取法，故

35

10

5673212145)6(3725=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ，

}7{=X 表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6

中任取2个，共有2

6C 种取法，故

3515

5673212156)7(372

6=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P 。

3. 设X 服从)10(-分布，其分布列为,)1(}{1k

k

p p k X P --== ,1,0=k 求X 的分布

函数，并作出其图形。

当10<≤x 时，p X P x X P X F -===≤=1}0{}{)(

当1≥x 时，,

1)1(}

1{}0{}{)(=+-==+==≤=p p X P X P x X P X F

即有： 1100,1,

1,0)(≥<≤<⎪⎩

⎪

⎨⎧-x x x p X F ，其分布图形如下图2-1

0图 2-1

4．将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次所得点数之和，以Y 表示两次中得到的小的点数，试分别求X 与Y 的分布列。

解 以21X X 分别记第一次，第二次投掷时的点数，样本空间为

}6...,21;6...,21

|)({2121，，，，===X X X X S 个样本点共有3666=⨯

12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,221所有可能的取值为X X X += 12

)66(11)56(),65(10)46(),55(),64(9)36(),45(),54(),63(8)26(),35(),44(),53(),62(7)16(),25(),34(),43(),52(),61(6)15(),24(),33(),42(),51(5)14(),23(),32(),41(4)13(),22(),31(3)12(),21(2)11(),(21取，取，，取，，，取，，，，取，，，，，取，，，，，，取，，，，，取，，，，取，，，取，，取，分别为：

易知当X X X X X X X X X X X X X

故X 的分布列如下：

Y 的取值为1,2,3,4,5,6 Y 的分布列为：

5．试求下列分布列中的待定系数k

（1） 3,2,1,4}{~..=-==m m k

m P v r ξξ （2） 3,2,1,3

4}{~..===m k

m P v r m ξξ

（3）0,,2,1,0,!

}{~..>===λλξξ m m k

m P v r m

为常数。

解：（1）由分布列的性质有

611

4342411k k k k -=-+-+-=

，

所以

。11

6

-

=k （2）由分布列的性质有

k

k m P 2)31

31(4}{121=++===∑∞

= ξ，

所以

2

1

=

k 。 或解 由

...,3,2,1,3

4)31(34)(1===

=-m k k m P m m ξ所以ξ服从几何分布， 故有

2

1

,31134=-=k k 。 （3）由分布列的性质有

λ

λλξke m k m k m P m m

m m m =====∑∑∑∞

=∞

=∞

=000!!}{1，

所以 λ

-=e

k 。

6．进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p 失败的概率为)10(1<<-=p p q 。 （1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布列。

（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。）

（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布列。