概率论中几种常用重要分布

概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。

关键词

1 一维随机变量分布

随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布．下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．

随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性” 类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值(实值或向量值)的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数——一维随机变数。

定义1.1 设X 为一个随机变数，令

F(x) P([X ( ,x)]) P([X p x]),( p xp ).

这样规定的函数F(x)的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。

有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值a1,a2,..., 使得

P([ X { a1, a2 ,...}]) 1

称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。

【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。

(1) X可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a,使P([X a]) 1 o

称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数 a 来确定。

(2) X可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a , b，使

P([X {a,b}]) 1.称这种随机变数的分布为两点分布。如果P([X b]) p，那么，P ([X a]) 1 p。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数a,b及一个在区间(0,1 )内的值p来确定。

特殊地，当a,b依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零

-壹分布可以用一个在区间(0，1)内的值p来确定。

(3) X可能取的值只有n个：a1,...,a2 (这些值互不相同)，且，取每个a：值

■. 、. 1

得概率都是-，称这种随机变数的分布为离散型均匀分布。一个离散型均匀分布n

可以用一个正整数n及n个不同的常数a-,...,a2来确定。

定义1.2 若随机变量X的概率分布为

P{X 0} 1 p, P{X 1} p

其中Op p p 1，则称X服从参数为p的（0-1）分布。

（0-1）分布是最简单的一种分布，它用于描述只有两个可能结果的试验。例如，对新生婴儿的性别登记，观察机器是否正常工作，考察一件产品是否为合格品等，均可用（0-1）分布来描述。

定义1.3若随机变量X的概率分布为

{X k} c；p k（1 p）（n k）,k 0,1,..., n

其中n 1为正整数，0p p p 1，则称X服从参数为n, p的二项分布，记作

X ~ B（n,p）

由二项分布的导出可知，该种分布用于描述n重伯努利试验中发生的概率为

p.在研究某事件A发生的概率时，我们对事件A所在的试验进行独立重复观察,

统计出事件A发生的次数n。这里n是一个随机变量，它就服从二项分布。另外，一批种子能发芽的个数，一定人群中患某种疾病的人数，某时刻一个城市开着的灯的盏数都可以认为是服从二项分布的。

在二项分布中，如果n 1，那么只能取0或1,这是显然有

P0 1 P，P1 P

也可以表示成

这个分布就是上面介绍的（0-1）分布，它是二项分布的特例。在讨论抛掷均匀硬币的例子中，随机变量的分布列为

P i

1

它就是（0-1 ）分布当p丄时的特例。

2

定义1.4 若随机变量X的概率分布为

1

还有

从而

lim 1 n n

lim

n

lim

n

lim n

b (k ；n, P n )

k

e k!

P{X k} 丁，k o,1,2，…

其中f 0为常数，则称X 服从参数为 的泊松分布，记作X ~P().

泊松分布是作为二项分布的极限分布而引入的。事实上，泊松定理表明，当 n 很大时，p 很小，np 适中时，B(n, p)分布就近似于P()分布，其中 叩。 由二项分布描述的内容可知，泊松分布主要用于描述大量独立重复实验中稀有事 件发生的次数，所谓稀有事件指概率很小的事件。由此，纺织品上的疵点数，印 刷品中的错字数，某时间段内电话交换台接到的呼叫次数， 某时间段内公共汽车 站等车的乘客人数等均可用泊松分布来描述。

n(n 1)...(n k 1)

k!

k

—1 k!

对于任一固定的k ，显然有

lim

n

定理1.1 (泊松定理) 在n 重贝努力试验中，事件 概率为p n

(与实验总数n 有关)，如果当n 时，np .

lim b(k; n, p n )

n

k

e k!

,k 0,1,2,…

证明

记np n

n ，则

b(k; n, p n )

k n k

P n

(1 P n )

A 在一次实验中出现的 (f 0常数)，则

...1

(x)dx

为此，可令-—y ，贝U

这时有

1 (x )2

e 2 2 dx

1

2

(x )2

1 2

匸 e 2 2 dx

e 2 dy

2 2

2 2

_y_

1 e

2 x y

e 2 dy

2

dx

e 2 dy

1 2 2

x y

e 2 dxdy

2

对任意k ( k 0,1,2,...)成立，定理得证

2连续性随机变量分布

以上对离散型随机变量做了一些研究, 见的随机变量——连续型随机变量

定义2.1若()是随机变量，F(x)是它的分布函数，如果存在函数 p(x)， 使对任意的，有

x

F(x) p(y)dy

则称()对连续型随机变量，相应的 F(x)为连续型分布函数，同时称 p(x)是 F(x)的概率密度函数或简称为密度

由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数 性质：

(1) p(x) 0

(2)

p(x)dx 1

定义2.2

若随机变量X 的概率分布为

1

(X a)

(x) e 2

2 ,(a, 2(f 0)都是常数)

为密度连续型分布，称这种分布为正态分布，记作X~N(a, 2) F 面验证(x)是一个密度函数。

因为这时为显然，此外还可以验证有

F 面将要研究另一类十分重要而且常

p(x)必具有下述