旱灾预测

2014年研究生数学建模初试

气象海洋学院研究生五队组长：张婷组员：李宛桐、张志华

一．问题重述

某地区平均降水量（单位：毫米）的原始数据为：

={386.6, 514.6, 434.1, 484.1, 647.0, 399.7, 498.7, 701.6, 254.5, 463.0, 745.0, 398.3, 554.5, 471.1, 384.5, 242.5, 671.7, 374.7, 458.9, 511.3, 530.8, 586.0, 387.1, 454.4}, 规定年降水量390(毫米)为旱灾年，试作旱灾预测。

二．问题分析

灰色系统（grey system ）即指信息不完全、不充分的系统。灰色系统理论GM （1，1）代表1个变量的一阶微方方程，它既是一种动态的数学模型，又是一种连续的数学函数。其根据联度收敛原理、生成数、灰导数和灰微方程等论据和方法来建模。建模技巧是利用量化方法将杂乱无章的原始数据列，通过累加生成处理，使之变成有规律的原始数据列，利用生成后的数据列建模，在预测时再通过还原检验其误差。它对未来的研究具有重要意义，应用该方法对各种自然灾害进行预测，是减轻灾害和作出科学决策的重要措施之一。灰色灾变预测的任务是给出下一个或几个异常值出现的时刻，以便人们提前防备，采取对策，减少损失。作为灰色预测模型的应用，本文对异常值出现的时间序列进行研究，预测下个异常值出现即干旱出现的年份。

三．模型假设

1. 假设所给数列真实反映当地降水情况；

2. 忽略随机因素对平均降水量的影响；

3. 假设原始数据中的下标为年份。

()()(){}1,2,...,24X x x x =≤ξ

四．模型建立

设为原始序列，为了更明显的观测此地区24年的平均降水量特征，对原始数据统计，如图1可明显观察到发生灾变的年份。

图1某地区平均降水量的24年原始数据分布

取x(i)∈X 且x(i)<390构成新序列ζX ，即灾变序列为

ζX ={x(1),x(9),x(15),x(16),x(18),x(23)} (1) 则灾变日期序列为

0Q ={1,9，15,16,18,23}

0Q 的级比数列为λ={0.1111,0.6000,0.9375,0.8889,0.7826} (2)

可容覆盖范围为（0.7515 1.3307） 0Q 的级比数列为λ的值并不都在它的可容覆盖范围内，故需要对0Q 进行合适的平移变换，经过一系列的取值、检验，得到新的序列0Q =0Q +25，即灾变日期平移后序列。

0Q 的一次累进1-AGO 序列为，即灾变日期平移后一次累加序列，其中)

1(k

Q =∑=k

i i Q 1

)(0得到

={26,60,100,141,184,232}

取的加权均值，则)5,4,3,2)(1()1()()()1()1()1(=--+=k k Q k Q k z αα，α为紧邻

生成数列的权值，在这里我们取α=0.5，在后边的模型检验中我们会加以说明。

X 246810

12141618202224

某地区平均降水量的24年原始数据分布

年数

平均降水量 （m m ）

)1(Q )1(Q )1(Q

则下式（3）即一次累加序列的紧邻生成序列为

(1)(1)(1)(1)(1)((2),(3),,(5),(6))(43,80,120.5,162.5,208)z z z z z == （3）

于是GM （1,1）的白化微分方程模型为

b aQ dt

dQ =+)1()

1( （4） 其中a 是发展灰度，b 是内生控制灰度.

由于(1)(1)(1)(1)(1)0()(1)()(1)(1)dQ Q k Q k Q k Q k Q k dt k k --==--=--（）

（）,k=2,3,4,5,6，

则灰导数为(0)Q ()(26,34,40,41,43,48),1,2,3,4,5,6k k ==，)()1(k z 为背景值，则将方程（4）对相应的灰微分方程为

)6,5,4,3,2()()()1()0(==+k b k az k Q

或

)6,5,4,3,2()()()1()0(=+-=k b k az k Q

则矩阵形式为

T b a B Y ),()0(⋅=

其中T

T

z z z B Q Q Q Y ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---==111)6()3()2(,))6(,),3(),2(()1()1()1()0()0()0()

0( 。 上述方程组中，(0)Y 和B 是已知量，,a b 为待定参数，由于变量只有两个,a b ，而

方程组有5＞2个。因此方程组无解，但可用最小二乘法求得参数估计量为

^^

1(0)(,)()(-0.07495,32)T T T T a b B B B Y -=⋅⋅⋅=（5）

其中,a b 的置信区间分别为(-0.1124, -0.03752)，(26.91, 37.09)。

于是方程（4）的特解，即一次累加序列的估计值为

(1)

^(0)0.07495(1)(1)452.9513- 426.9513

=(61.2533 99.2504 140.2048 184.3467 231.9242 283.2047)

at t b b Q t Q e e a a -⎛

⎫+=-⋅+=⋅ ⎪⎝

⎭ 则灾变日期平移后序列的估计值为

(0)(1)

^^^(1)

(0)(1)0.074950.07495-1(1)(1)()(1)()

=452.9513(-)(35.253337.997140.954444.141947.577551.2805)(k=1,2,3,4,5,6)

ak a k k k b Q k Q k Q k Q e e a e e ---⎛

⎫+=+-=-⋅- ⎪⎝

⎭⋅= （）

，，，，，（6）