对 数 运 算 法 则
初中数学知识归纳代数式的乘法和除法运算法则
初中数学知识归纳代数式的乘法和除法运算法则初中数学知识归纳——代数式的乘法和除法运算法则代数式是数学中常见的一种运算表达方式，它由数和字母组合而成，用于表示数的运算关系。
在初中数学中，代数式的乘法和除法是非常基础且重要的运算法则。
本文将对初中数学中代数式的乘法和除法运算法则进行归纳和总结。
一、乘法运算法则代数式的乘法运算法则主要包括以下几点：1. 同底数相乘：当两个代数式具有相同的底数时，它们的乘积等于底数不变，指数相加。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)，其中a为底数，m和n为指数。
2. 幂的乘积：当一个代数式的底数是另一个代数式时，它们的乘积等于将底数相乘，指数相加。
例如，(a^m) * (b^n) = (a*b)^(m+n)，其中a和b为底数，m和n为指数。
3. 分布律：乘法运算可以和加法运算结合使用，即分配律。
例如，a*(b+c) = a*b + a*c。
这个法则在代数式的运算中非常常见。
通过上述乘法运算法则，可以简化代数式的运算过程，提高计算的效率和准确性。
二、除法运算法则代数式的除法运算法则主要包括以下几点：1. 除法的定义：除法可以理解为乘法的逆运算。
例如，a/b可以理解为a乘以b的倒数，即a*1/b。
2. 同底数相除：当两个代数式具有相同的底数时，它们的商等于底数不变，指数相减。
例如，a^m / a^n = a^(m-n)，其中a为底数，m和n 为指数。
3. 幂的商：当一个代数式的底数是另一个代数式时，它们的商等于底数相除，指数相减。
例如，(a^m) / (b^n) = (a/b)^(m-n)，其中a和b为底数，m和n为指数。
除法运算法则能帮助我们简化代数式的除法运算，提高运算的准确性。
三、应用举例下面通过一些具体的例子来应用乘法和除法运算法则，加深对其理解和应用能力。
例1：简化代数式的乘法运算化简表达式 (2x^2)*(3x^3)。
根据同底数相乘法则，底数相乘，指数相加。
数的运算知识点归纳
数的运算知识点归纳数学运算是我们生活中不可或缺的一部分，它涵盖了加、减、乘、除等基本运算以及更加复杂的运算方式。
正确地掌握这些数学运算，可以帮助我们更好地理解数学知识，提高数学水平，本文将对数的运算知识点进行归纳总结。
一、小数的加减乘除小数是数学中的重要知识点，在加减乘除中，小数与整数之间的运算方法基本相同，但小数之间的运算则需要注意小数点的位置、数位的对齐等。
在小数的加减法中，首先需要将小数点对齐，然后按照整数加减法的方法计算即可。
在小数的乘法中，需要将两个小数中的小数点忽略掉，计算乘积后再根据小数点的位置确定答案。
在小数的除法中，则需要将被除数和除数都乘以一个适当的数，使得除数变为整数，然后计算商，最后再根据小数点的位置确定答案。
二、分数的加减乘除分数是数学中较为困难的知识点，它的加减乘除需要掌握相应的方法。
在分数的加减法中，首先需要将两个分数化成相同的分母，然后按照整数加减法的方法计算即可。
在分数的乘法中，需要将两个分数的分子和分母分别相乘，然后化简分数。
在分数的除法中，则需要将除数倒数后，转化为乘法计算。
三、整式的加减乘除整式是代数中的一种常见形式，在加减乘除中需要掌握相应的方法。
在整式的加减法中，首先需要将同类项进行合并，然后按照整数加减法的方法计算即可。
在整式的乘法中，需要将两个整式中的每一项都相乘，然后将所有的乘积相加得到结果。
在整式的除法中，则需要将除式乘以被除式的倒数，然后进行化简。
四、三角函数的计算三角函数是高一数学中的难点，需要掌握各种三角函数的定义、性质以及计算方法。
在三角函数的计算中，根据三角函数的定义和性质，可以得到各种三角函数的计算公式。
例如，正弦函数的计算公式为sin(x)=对边/斜边，余弦函数的计算公式为cos(x)=邻边/斜边，正切函数的计算公式为tan(x)=对边/邻边等。
五、向量的运算向量是高中数学中的重要知识点，在向量的加减、数量积、向量积等方面需要掌握对应的运算方法。
幂的运算所有法则和逆运算法则
幂的运算所有法则和逆运算法则幂的运算法则包括乘法法则、除法法则和幂的指数法则。
逆运算法则包括开平方运算和对数运算。
下面将详细介绍这些法则。
一、幂的乘法法则：对于任意实数a和正整数n，有：a^n*a^m=a^(n+m)这条乘法法则表明，当两个幂具有相同的底数时，可以将底数保持不变，指数相加得到新的指数。
二、幂的除法法则：对于任意实数a和正整数n，有：a^n/a^m=a^(n-m)这条除法法则表明，当两个幂具有相同的底数时，可以将底数保持不变，指数相减得到新的指数。
三、幂的指数法则：1.幂的幂法则：对于任意实数a和正整数n、m，有：(a^n)^m=a^(n*m)这条指数法则表明，当一个幂的指数再次被指数化时，可以将指数相乘得到新的指数。
2.幂的乘法法则的推广：对于任意实数a和正整数n_1，n_2，...，n_k，有：a^(n_1)*a^(n_2)*...*a^(n_k)=a^(n_1+n_2+...+n_k)这条指数法则表示，当一个底数出现多次相乘时，可以将所有指数相加得到新的指数。
3.幂的除法法则的推广：对于任意实数a和正整数n_1，n_2，...，n_k，有：a^(n_1)/a^(n_2)/.../a^(n_k)=a^(n_1-n_2-...-n_k)这条指数法则表示，当一个底数出现多次相除时，可以将所有指数相减得到新的指数。
四、逆运算法则：1.幂的开平方运算：对于任意非负实数a和正整数n(a^(1/n))^n=a这条逆运算法则表示，当一个数的n次幂再开n次方时，可以得到该数本身。
2.幂的对数运算：对于任意正实数a、b和正整数n，有：log(base a)(a^n) = n这条逆运算法则表示，当一个数的n次幂再以底数a进行对数运算时，可以得到n。
总结：幂的运算法则包括乘法法则、除法法则和幂的指数法则。
乘法法则指出当两个幂具有相同底数时，可以将指数相加；除法法则指出当两个幂具有相同底数时，可以将指数相减；指数法则包括幂的幂法则和幂的乘法法则的推广，指数可以相乘得到新的指数。
对数乘除法运算法则
对数乘除法运算法则《对数乘除法运算法则》对数乘除法运算法则是数学中用于处理对数的基本规则，在求解复杂的对数运算时起着重要的作用。
这些法则包括了对数的乘法法则和除法法则，可以帮助我们简化计算过程，更快速地得到结果。
对数乘法法则告诉我们，当两个数的对数相加时，等于这两个数的乘积的对数。
具体地说，如果log_a b表示以a为底，b的对数，那么log_a (b * c)就等于log_a b + log_a c。
这个法则可以用来简化确实对数值的乘法运算，将其转换为求对数的和的形式，从而更容易计算出结果。
例如，我们要计算log_2 8 * log_2 16。
根据对数乘法法则，我们可以将这个式子转换为求和的形式：log_2 8 + log_2 16。
我们知道2^3等于8，所以log_2 8等于3；同样地，2^4等于16，所以log_2 16等于4。
将这两个对数相加，我们得到3 + 4 = 7。
因此，log_2 8 * log_2 16等于7。
对数除法法则告诉我们，当两个数的对数相减时，等于这两个数的除法的对数。
具体地说，如果log_a b表示以a为底，b的对数，那么log_a (b / c)就等于log_a b - log_a c。
这个法则可以帮助我们简化对数值的除法运算，将其转换为求对数的差的形式。
例如，我们要计算log_5 25 / log_5 5。
根据对数除法法则，我们可以将这个式子转换为求差的形式：log_5 25 - log_5 5。
我们知道5^2等于25，所以log_5 25等于2；同样地，5^1等于5，所以log_5 5等于1。
将这两个对数相减，我们得到2 - 1 = 1。
因此，log_5 25 / log_5 5等于1。
通过对数乘法法则和除法法则，我们可以高效地求解复杂的对数运算，使得计算过程更加简单和容易理解。
同时，这些法则也为我们在实际问题中使用对数提供了便利，帮助我们更好地理解和分析各种数学和科学现象。
对数的概念及运算法则
对数的概念及运算法则对数是数学中的一个概念，它表示一个数相对于一些给定的底数的幂。
在日常生活中，对数经常被用来解释指数增长或减少的情况。
首先，对数的定义是：对于给定的正数a（a ≠ 1），将正数x表达为底数a的幂的等式，即x = a^m (m为任意实数)，称m为x的以a为底的对数，记作m =log[底数a](x)，即m = loga(x)。
对数有以下几个重要特点：1.底数必须是一个正数，并且不能等于12.对数函数中x的取值范围为正实数，因为负数和0的对数不存在。
3.对数的结果m可以是任意实数，包括正数、负数和零。
对数具有一些重要的性质和运算法则，下面介绍其中的一些：1.换底公式：对于任意给定的x和任意的正数a、b（a、b≠1），有以下等式成立：loga(x) = logb(x) / logb(a)换底公式可以将一个对数用另一个底数的对数表示，这样在计算和比较对数时更加方便。
2.加减法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x、y，有以下等式成立：loga(x * y) = loga(x) + loga(y)loga(x / y) = loga(x) - loga(y)加减法法则可以将对数的乘法和除法分解为对数的加法和减法，简化对数运算。
3.乘方法则：对于任意给定的正数a和任意的正数x和正整数n，有以下等式成立：loga(x^n) = n * loga(x)乘方法则可以将对数中的指数化简为对数本身的乘法。
4.对数的乘法和除法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：loga(x^b) = b * loga(x)loga(b^x) = x * loga(b)乘法和除法法则可以将指数中的对数化简为对数本身的乘法或除法。
5.对数的幂次法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：a^(loga(x)) = x如果a ≠ 1，则loga(a^x) = x幂次法则可以将对数中的幂次化简为原指数。
对数的运算法则解读
对数的运算法则市级一等奖旬阳中学谢道仁一、概述对数的运算法则是北师大版高中《数学》（必修1）第三章第4.1节第（二）部分。
本课需要学生掌握对数的运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题；通过对法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括，归纳总结思想，使学生自主、探究地开展学习活动。
二、学习目标分析1、知识与技能掌握对数的运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题；2、过程与方法通过对法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括，归纳总结思想，使学生自主、探究地开展学习活动3、情感态度价值观通过了解我国古代在对数研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。
[学习重点和难点]对数的运算法则的推导和应用是本节课的重点，，法则的探究与证明是本节课的难点．三、教学策略的选择与设计学习过程中，通过课件创设的情境充分调动学生各知觉器官，做到＂细观察、多动手、勤思考，善总结＂．通过观察、猜想、探究、推理、模仿、体验，质疑等方法完成本节知识的学习。
本节课采用“问题导学，自主探索，归纳总结” 的教学模式，采用情境探究法、谈话法等，使学生在自主探究的过程中完成学习的任务。
四、资源（1）教师自制的多媒体课件；（2）教师准备的关于对数背景知识的小卡片，每组一套； （3）上课环境为多媒体大屏幕环境。
五、教学流程图六、教学过程实录： 引入新课 1、复习指数运算法则：nm nmaa a +=⋅，n m n ma aa -=，mn n m a a =)(并用文字语言叙述指数的运算法则。
2、从指数、对数的关系入手，研究对数是否有自身的运算特点和规律。
对数运算法则对数与指数互为逆运算，自然要把握两者之间的关系，由已知的指数的运算法则来探究对数的运算法则。
考察实例P 81，动手实践1中的第一组)328(log 85332log 8log 222⨯==+=+猜想性质：（1）MN N M a a a log log log =+ 请同学们自己用计算器完成 P 81动手实践2 验证前面的猜想证明：设p M a =log ，q N a =log ，则由对数定义得M a p =，N a q = q p q p a a a MN +=⋅=)(log MN q p a =+∴ N M MN a a a log log )(log +=∴这里应注意（1）公式成立的条件是什么？（每个对数式有意义为前提条件） （2）能用文字语言叙述法则：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和N M MN a a a log log )(log +=其意义在于将两个正数积的对数化为两个正数的对数的和的形式，实现高级运算（积的对数运算）化为低级运算（对数的加法运算），作为)(log log log MN N M a a a =+则体现了公式的逆运用，对两个同底的对数的和转化为一个同底的对数，实现了多到少的化简作用，如 16log 32log 3log 2log 6666==⨯=+同理，通过P 81动手实践1中第二组、第三组中的考察可猜想：0>a ，1≠a ，0>M ，0>N 时（2）、M n M anal o g lo g =（3）、N M NM aaalo g l o g l o g -=对于（2）、（3）的证明可仿（1），由对数与指数关系来证明，而（3）也可用（1）来证明：N M N N NM N M a a a a a alog log log log log log -=-+= 这种证法使用拆分技巧，化减为加，会常用到。
对数四则运算
对数四则运算对数是一种特殊的数学运算方法，用它可以快速解决复杂的数学问题。
对数的运用可以有效提高数学解题的速度，成为解决复杂的数学问题的重要工具。
数四则运算是指使用对数技巧解决遇到的数学题目，借助这种运算可以完成相对复杂的数学问题。
本文将介绍这种运算方法的基本原理和具体做法，以及在实际应用中常见的问题。
一、对数四则运算的基本原理1.数运算的基本原理：对数作为一种技巧，非常适合用来处理具有一定规律的数学题目。
这种运算的核心原理是使用对数的特性来解决数学问题，从而提高解题的效率。
2.数的特征：对数的特征是它的数值大小有排列规律，可以利用这种规律进行快速运算。
3.数的运用：数的特性使它可以用于解决复杂的数学问题，可以将数学题目中的运算转化为对数的运算，从而更容易求解。
二、常见的对数四则运算1.法：两个数字相加，将它们用相同的底数表示，就可以用对数运算来计算它们的和：给定两个数a和b，用相同的底数表示，可以得出：loga+logb=log(a+b)即能够将加法转化为对数的乘法。
2.法：两个数相减，可以将减法转化为加法：给定两个数a和b，用相同的底数表示，可以得出：loga-logb=log(a-b)即能够将减法转化为对数的加法。
3. 乘法：两个数相乘，可以将乘法转化为加法：给定两个数a和b，用相同的底数表示，可以得出：loga*logb=log(a*b)即能够将乘法转化为对数的加法。
4.法：两个数相除，可以将除法转化为减法：给定两个数a和b，用相同的底数表示，可以得出：loga÷logb=log(a÷b)即能够将除法转化为对数的减法。
三、实际应用中的问题1.底号问题：必须使用相同的底号才能够把两个数相加、减、乘、除等，如果使用不同的底号，则需要先将数字转换成相同底号表示形式才能够进行计算。
2.殊情况：有时候在计算某个数字对数的时候，会遇到0或负数，这种情况下需要加以特殊处理，例如：计算log(-1)，需要用到虚数的特殊解法。
对数与对数运算说课稿（精选5篇）
对数与对数运算说课稿（精选5篇）以下是网友分享的关于对数与对数运算说课稿的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇一§2.2.1对数与对数运算说课稿大家好，我是。
，我今天的讲课内容是对数与对数的运算。
我将从以下5个方面来进行今天的说课，第一是教学内容分析，第二是学生的学情分析，第三是教学方法的策略，第四是教学过程的设计，第五的教学反思。
一、教学内容分析对数与对数的运算是人教版高中教材必修一第二章第二节第一课时的内容。
本节课是第一课时，主要讲的就是认识对数和对数的一些基本运算性质。
本节课的学习蕴含着转化化规的数学思想，类比与对比等基本数学方法。
在上节课，我们学习了指数函数以及指数函数的性质，是本节课学习对数与对数的运算的基础，而下节课，我们又将学习对数函数与对数函数的性质，这节课恰好为下节课的学习做了一个铺垫。
二、学生学情分析接下来我将从认知、能力、情感三个方面来进行学生的学情分析。
首先是认知，该阶段的高中生已经学习了指数及指数函数的性质，具备了学习对数的基础知识；在能力方面，高一的学生已经初步具备运用所学知识解决问题的能力，但是大多数同学还缺乏类比迁移的能力；而在情感方面，大多数学生有积极的学习态度，能主动参与研究，但是还有部分的学生还是需要老师来加以引导的。
三、教学方法的策略根据教材的要求以及本阶段学生的具体学习情况，我制定了一下的教学目标。
首先是知识与技能，理解对数与指数的关系，能进行指对数互化并可利用对数的简单性质求值；接着是过程与方法，通过探究对数和指数之间的互化，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力；最后是情感态度与价值观，通过对问题转化过程的引导，培养学生敢于质疑、勇于开拓的创新精神。
基于以上的分析，我制定了本节课的重难点。
本节课的教学重点是对数的定义，对数式与指数式的互化，对数的运算法则及其推导和应用；本节课的难点是对数概念的理解和对数运算法则的探究和证明；本节课我所采用的教学方法是探究式教学法，分为以下几个环节：教师创设问题情境，启发式地讲授，讲练结合，引导学生思考，最后鼓励学生自主探究学习。
对数之间的运算法则
对数之间的运算法则对数是数学中常用的一种运算方法，它有着独特的运算法则。
本文将介绍对数之间的运算法则，包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法法则以及对数的换底法则。
一、对数的乘法法则对数的乘法法则是指两个数的对数相加等于这两个数的乘积的对数。
例如，log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c)。
这个法则可以帮助我们简化复杂的乘法运算，将乘法转化为加法运算。
二、对数的除法法则对数的除法法则是指两个数的对数相减等于这两个数的商的对数。
例如，log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c)。
这个法则可以帮助我们简化复杂的除法运算，将除法转化为减法运算。
三、对数的幂法法则对数的幂法法则是指一个数的对数与指数相乘等于这个数本身。
例如，log_a(b^c) = c * log_a(b)。
这个法则可以帮助我们求解指数运算中的对数值。
四、对数的换底法则对数的换底法则是指用一个底数的对数表示另一个底数的对数。
换底法则可以将对数从一个底数转化为另一个底数的对数。
具体来说，log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
这个法则在实际计算中非常有用，可以将对数运算转化为常用的底数进行计算。
通过运用对数之间的运算法则，我们可以简化复杂的数学运算，提高计算的效率。
同时，对数法则的应用也有助于我们理解数学中的一些概念和关系，拓宽数学思维。
在实际运用中，对数的乘法法则和除法法则常常被用于处理大数乘除运算，例如在科学计算、金融领域中的复利计算等。
对数的幂法法则则可以用于求解指数方程，解决一些与指数相关的问题。
对数的换底法则则可以将不常用的底数转化为常用的底数，方便计算和比较。
对数之间的运算法则是数学中重要且实用的工具。
通过熟练掌握这些法则，我们可以更加灵活地运用对数进行计算，并且深入理解数学中的一些概念和关系。
在实际应用中，对数运算法则可以帮助我们简化复杂的数学计算，提高计算的效率和准确性。
学案3：4.3.2 对数的运算
4.3.2 对数的运算1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (MN )＝ ． (2)log a MN ＝ ．(3)log a M n ＝ (n ∈R )． 名师点拨对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的． 2．换底公式log a b ＝ (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)． 名师点拨牢记换底公式的三个常用推论(1)推论一：log a c ·log c a ＝1.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数． (2)推论二：log a b ·log b c ·log c a ＝1.(3)推论三：log amb n ＝nm log a b .此公式表示底数变为原来的m 次方，真数变为原来的n 次方，所得的对数值等于原来对数值的nm倍．自我检测1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( )2.已知a >0且a ≠1，则log a 2＋log a 12＝( )A ．0B ．12C ．1D ．23.计算log 510－log 52等于( ) A ．log 58 B ．lg 5 C ．1D ．24.(1)lg 10＝__________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea ＝__________．5.log 35·log 56·log 69＝________． 讲练互动探究点1 对数运算性质的应用 例1 计算下列各式： (1)log 5325； (2)log 2(32×42)；(3)log 535－2log 573＋log 57－log 595；(4)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.规律方法对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 跟踪训练 计算下列各式的值： (1)lg 5100； (2)log 345－log 35； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (4)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.探究点2 换底公式的应用 例2 计算：(1)log 29·log 34；(2)log 52×log 79log 513×log 734.反思反馈利用换底公式求值的思想与注意点跟踪训练1．log 916·log 881的值为( ) A ．18B ．118C ．83D ．382.1log 1419＋1log 1513＝________． 3．计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)．探究点3 对数运算中的综合问题例3 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)． 互动探究1．(变问法)若本例条件不变，如何求log 1845(用a ，b 表示)?2．(变条件)若将本例条件“log 189＝a ，18b ＝5”改为“log 94＝a ，9b ＝5”，则又如何求解呢？ 规律方法解对数综合应用问题的3种方法(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式． (2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用． 跟踪训练1．已知log 142＝a ，用a 表示log 27.2．已知2x ＝3y ＝a ，若1x ＋1y＝2，求a 的值．达标反馈1．log 242＋log 243＋log 244＝( ) A ．1 B ．2 C ．24D.122．若a >0，a ≠1，x >y >0，n ∈N *，则下列各式： (1)(log a x )n ＝n log a x ； (2)(log a x )n ＝log a x n ； (3)log a x ＝－log a 1x ；(4)nlog a x ＝1n log a x ；(5)log a x n ＝log a n x .其中正确的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个 3．计算log 219·log 3125·log 514＝( )A ．8B ．6C ．－8D ．－6 4．已知a 2＝1681(a >0)，则log 23a ＝________．5．计算下列各式的值． (1)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎫322； (2)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40.巩固提升 A 基础达标1．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．62B ．122C ．log 63D ．122．若lg x －lg y ＝t ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝( ) A ．3t B ．32tC ．tD ．t 23．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A ．12B ．9C ．18D ．27 4．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝ab 3c 5B ．x ＝3ab5cC ．x ＝a ＋3b －5cD ．x ＝a ＋b 3－c 3 5．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48 6．log 48－log 193＝________．7．已知m ＞0，且10x ＝lg(10m )＋lg 1m ，则x ＝________．8．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝__________．9．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg(xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z .10．计算下列各式的值： (1)log 3(813)；(2)2lg （lg a 100）2＋lg （lg a ）；(3)log 6112－2log 63＋13log 627.B 能力提升11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．109312．设a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，且1a ＋1b ＝1，则m ＝________．13．计算下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514.(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.14．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．C 拓展探究15．已知2y ·log y 4－2y －1＝0，log x 5x ·log 5x ＝－1，试问是否存在一个正数P ，使得P ＝1x －y ？参考答案新知初探1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2．log c b log c a自我检测1.【答案】(1)√ (2)× (3)×2.【答案】A4.【答案】(1)12 (2)0.85.【答案】2【解析】log 35·log 56·log 69＝lg 5lg 3·lg 6lg 5·lg 9lg 6＝lg 9lg 3＝2lg 3lg 3＝2. 讲练互动探究点1 对数运算性质的应用 例1 解：(1)原式＝13log 525＝13log 552＝23.(2)原式＝log 232＋log 242＝5＋4＝9.(3)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.跟踪训练 解：(1)原式＝lg 10015＝15lg 100＝15×2＝25.(2)原式＝log 3455＝log 39＝log 332＝2.(3)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.(4)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3（4－3）lg 3＝115.探究点2 换底公式的应用 例2 解：(1)由换底公式可得， log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝log 132×log 349＝lg 2lg 13×lg 9lg 413＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32.跟踪训练【解析】原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.2.【答案】log 310【解析】1log 1419＋1log 1513＝lg 14lg 19＋lg 15lg13＝－2lg 2－2lg 3＋－lg 5－lg 3＝lg 2lg 3＋lg 5lg 3＝1lg 3＝log 310.3．解：法一：原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125) ＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55) ＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二：原式＝⎝⎛⎭⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8(lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125) ＝⎝⎛⎭⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2(lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5) ＝⎝⎛⎭⎫13lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫3lg 2lg 5＝13.探究点3 对数运算中的综合问题 例3 解：因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a.互动探究1．解：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b . 2．解：因为9b ＝5，所以log 95＝b . 所以log 36 45＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1. 跟踪训练1．解：因为log 142＝a ，所以log 214＝1a .所以1＋log 27＝1a .所以log 27＝1a－1.由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 272. 所以log 27＝2log 27＝2⎝⎛⎭⎫1a －1＝2（1－a ）a. 2．解：因为2x ＝3y ＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝± 6.又因为a >0，所以a ＝ 6.达标反馈1．l 【答案】A【解析】log 242＋log 243＋log 244＝log 24(2×3×4)＝log 2424＝1.2．【答案】A【解析】根据对数的运算性质log a M n ＝n log a M (M >0，a >0，且a ≠1)知(3)与(5)正确．3．【答案】C【解析】log 219·log 3125·log 514＝log 23－2·log 35－2·log 52－2＝－8log 23·log 35·log 52＝－8. 4．【答案】2【解析】由a 2＝1681(a >0)得a ＝49， 所以log 2349＝log 23⎝⎛⎭⎫232＝2. 5．解：(1)原式＝log 723－log 79＋log 7⎝⎛⎭⎫3222＝log 789＋log 798＝log 7⎝⎛⎭⎫89×98＝log 71＝0. (2)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1. 巩固提升A 基础达标 1．【答案】C【解析】原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3.2．【答案】A【解析】lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝3lg x 2－3lg y 2＝3lg x y＝3(lg x －lg y )＝3t . 3．【答案】B【解析】由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝log 416＝log 442＝2，所以lg m lg 3＝2， 即lg m ＝2lg 3＝lg 9.所以m ＝9，选B.4．【答案】A【解析】因为lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lg ab 3c 5，所以x ＝ab 3c 5. 5．【答案】A【解析】因为2x ＝3，所以x ＝log 23.又log 483＝y ， 所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43)＝log 23＋2⎝⎛⎭⎫32log 22－12log 23 ＝log 23＋3－log 23＝3.故选A.6．【答案】2【解析】log 48＝log 2223＝32， log 193＝－12， 所以原式＝32－⎝⎛⎭⎫－12＝2. 7．【答案】0【解析】lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1， 所以10x ＝1＝100，所以x ＝0.8．【答案】4【解析】因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，xy ＝（x －2y ）2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y .又x ＞0，y ＞0且x －2y ＞0，所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则x y＝4. 9．解：(1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z .(2)lg xy 2z＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z . (3)lg xy 3z＝lg(xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z . 10．解：(1)原式＝log 381＋log 33＝log 334＋log 3312＝4＋12＝92. (2)原式＝2lg （100lg a ）2＋lg （lg a ）＝2[lg 100＋lg （lg a ）]2＋lg （lg a ）＝2[2＋lg （lg a ）]2＋lg （lg a ）＝2. (3)法一：原式＝－log 6(22×3)－2log 63＋13log 633 ＝－(log 622＋log 63)－2log 63＋log 63＝－(2log 62＋log 63)－2log 63＋log 63＝－2(log 62＋log 63)＝－2log 6(2×3)＝－2.法二：原式＝log 6112－log 632＋log 62713 ＝log 6312×9＝log 6136＝log 66－2＝－2. B 能力提升11．【答案】D【解析】因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173，所以M ≈10173，则M N ≈101731080＝1093，故选D. 12．【答案】10【解析】因为a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＝1log 2m ＝log m 2，1b ＝1log 5m ＝log m 5，因为1a ＋1b＝1，所以log m 2＋log m 5＝log m 10＝1，所以m ＝10.13．解：(1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 535×5014＋log 122＝log 553－1＝2. (2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·（log 62＋log 632）÷log 622＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.14．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则原方程可化为2t 2－4t ＋1＝0.所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个根， 则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， 所以lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2＋（lg a ）2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2－2lg a lg b lg a lg b＝2×22－2×1212＝12. 即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.C 拓展探究15．解：由2y ·log y 4－2y －1＝0得2y ⎝⎛⎭⎫log y 4－12＝0，所以log y 4＝12，即y ＝16. 由log x 5x ·log 5x ＝－1得log x 5x ＝－1log 5x ，则log x 5x ＝－log x 5>0. 12(log x 5＋1)＝(－log x 5)2，整理得2(log x 5)2－log x 5－1＝0，解得log x 5＝－12(log x 5＝1舍去)， 所以1x＝25. 所以P ＝1x －y ＝25－16＝3， 即存在一个正数P ＝3，使得P ＝1x －y 成立．。
指数与对数的运算总结
指数与对数的运算总结指数和对数是数学中的重要概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
通过对指数和对数的运算规则的学习和掌握，我们可以更好地理解和解决实际问题。
本文将总结指数和对数的运算规则，并通过例子来说明其应用。
一、指数的运算规则指数运算是指以某个数为底数，用整数表示的运算。
以下是指数运算的几个重要规则：1.指数和底数相等时，结果为1当指数和底数相等时，即a^a，结果为1。
例如：2^2 = 42.指数相同，底数相乘当指数相同时，底数相乘。
例如：2^3 × 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3 = 2163.指数相同，底数相除当指数相同时，底数相除。
例如：8^2 ÷ 4^2 = (8 ÷ 4)^2 = 2^2 = 44.指数相加，底数不变当指数相加时，底数不变。
例如：6^2 × 6^3 = 6^(2 + 3) = 6^5 = 77765.指数相减，底数不变当指数相减时，底数不变。
例如：25^3 ÷ 25^2 = 25^(3 - 2) = 25^1 = 25二、对数的运算规则对数是指底数的几次方等于一个数的运算，常用的对数有以10为底的常用对数和以e为底的自然对数。
以下是对数运算的几个重要规则：1.乘法转换成加法对数的乘法可以转换成对数的加法。
例如：log(a × b) = log(a) + log(b)2.除法转换成减法对数的除法可以转换成对数的减法。
例如：log(a ÷ b) = log(a) - log(b)3.指数转换成乘法对数中的指数可以转换成乘法。
例如：log(a^b) = b × log(a)4.对数运算与指数运算相反对数运算与指数运算相反。
例如：log(a^b) = b × log(a) 等价于 a^b = 10^(b × log(a))三、指数和对数的应用指数和对数在实际问题中有广泛的应用。
数字的正负数乘除法运算
数字的正负数乘除法运算在数学中，我们经常会遇到对数字进行正负数乘除法运算的情况。
正负数的乘除法运算有一些特殊的规则和性质，掌握了这些规则和性质，我们可以更加轻松地解决相关的问题。
本文将介绍正负数乘除法运算的基本规则和性质，并通过实例来说明如何进行这些运算。
1. 正负数的乘法运算正负数相乘的结果有以下几种情况：- 两个正数相乘，结果仍为正数。
- 两个负数相乘，结果仍为正数。
- 一个正数和一个负数相乘，结果为负数。
举例来说，如果我们要计算 3 × (-2)，我们可以使用以下步骤：- 取绝对值相乘：3 × 2 = 6- 再确定符号：一个正数和一个负数相乘，结果为负数，所以最终结果为 -6。
通过上述步骤，我们可以得出：3 × (-2) = -6。
2. 正负数的除法运算正负数相除的结果也有一些规律：- 两个正数相除，结果仍为正数。
- 两个负数相除，结果仍为正数。
- 一个正数和一个负数相除，结果为负数。
比如，我们要计算 (-8) ÷ 4，可以按照以下步骤进行：- 取绝对值相除：8 ÷ 4 = 2- 根据符号规则，一个正数和一个负数相除，结果为负数，所以最终结果为 -2。
综上所述，(-8) ÷ 4 = -2。
3. 符号的运算顺序当对多个数进行乘法和除法运算时，符号的运算顺序也是需要注意的。
正负数的乘除法运算优先级高于加减法运算。
举例来说，如果我们要计算 -5 + 3 × 2，可以按照以下步骤进行：- 先进行乘法运算：3 × 2 = 6- 再进行加法运算：-5 + 6 = 1所以，-5 + 3 × 2 = 1。
4. 括号的运用括号在数学运算中起到分组和优先级控制的作用。
使用括号可以改变计算的顺序和结果。
比如，我们要计算 2 × (-3 + 4)，可以按照以下步骤进行：- 先进行括号内的加法运算：(-3 + 4) = 1- 再进行乘法运算：2 × 1 = 2所以，2 × (-3 + 4) = 2。
指数与对数的运算法则
指数与对数的运算法则一、指数的运算法则在数学中，指数是一种表示乘法的简便方式，用于表示以某个数为底的乘方。
指数的运算法则是指在进行指数运算时遵循的规则和原则。
1. 相同底数相乘，指数相加当两个相同底数的指数相乘时，其结果为底数不变，指数相加的乘方。
例如，若a和b为任意实数，且n和m为任意整数，则有：a^n * a^m = a^(n+m)2. 相同底数相除，指数相减当两个相同底数的指数相除时，其结果为底数不变，指数相减的乘方。
例如，若a和b为任意实数，且n和m为任意整数，则有：a^n / a^m = a^(n-m)3. 指数与指数相乘，底数不变，指数相乘当两个指数相乘时，其结果为底数不变，指数相乘的乘方。
例如，若a为任意实数，且n和m为任意整数，则有：(a^n)^m = a^(n*m)4. 乘方的乘方，底数不变，指数相乘当一个乘方再次乘方时，其结果为底数不变，指数相乘的乘方。
例如，若a为任意实数，且n和m为任意整数，则有：(a^n)^m = a^(n*m)这些法则可以用于简化指数的复杂运算，使计算更加简便和高效。
二、对数的运算法则对数是指数的逆运算，用于求解指数方程。
对数的运算法则是指在进行对数运算时遵循的规则和原则。
1. 对数的定义对数的定义是：若幂等于a，则称b为以底数为a的对数，记作logₐb。
其中，a为底数，b为真数。
2. 对数的乘法法则当进行对数乘法运算时，即求两个数的乘积的对数，其结果等于两个数的对数相加。
即：logₐ(a*b) = logₐa + logₐb3. 对数的除法法则当进行对数除法运算时，即求两个数的比值的对数，其结果等于两个数的对数相减。
即：logₐ(a/b) = logₐa - logₐb4. 对数的幂法法则当进行对数幂运算时，即对一个数求幂的对数，其结果等于幂乘以对数。
即：logₐ(a^m) = m * logₐa这些法则可以用于简化对数的复杂运算，使计算更加简便和高效。
高中数学(学案)复数的四则运算
复数的四则运算【第一课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？2．复数的加、减法的几何意义是什么？二、合作探究探究点1：复数的加、减法运算例1：（1）计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）；（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－y i（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2．解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i ＝－11i ． （2）因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，所以（3＋x ）＋（2－y ）i ＝5－6i ，所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝（2＋2i ）－（3－8i ）＝（2－3）＋[2－（－8）]i ＝－1＋10i ．探究点2：复数加、减法的几何意义例2：已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i ．（1）求AO→表示的复数；（2）求CA→表示的复数．解：（1）因为AO→＝－OA →，所以AO →表示的复数为－（3＋2i ），即－3－2i ． （2）因为CA→＝OA →－OC →， 所以CA →表示的复数为（3＋2i ）－（－2＋4i ）＝5－2i ． 互动探究：1．变问法：若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．解：因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为（3＋2i ）＋（－2＋4i ）＝1＋6i ．所以点B所对应的复数为1＋6i ．2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数．解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中知点B 的坐标为（1，6），得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M 对应的复数为12＋3i ． 三、学习小结1．复数加、减法的运算法则及加法运算律 （1）加、减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）是任意两个复数，则z 1＋z 2＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ，z 1－z 2＝（a －c ）＋（b －d ）i ．（2）加法运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．②结合律：（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）． 2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→．四、精炼反馈1．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）的结果为（ ） A ．5－3i B ．3＋5i C ．7－8iD ．7－2i解析：选C ．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i ＝7－8i ． 2．已知复数z 1＝（a 2－2）－3a i ，z 2＝a ＋（a 2＋2）i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a 的值为____________．解析：由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋（a 2－3a ＋2）i 是纯虚数，得⎩⎨⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0⇒a ＝－2．答案：－23．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i ． （1）求z 1－z 2；（2）在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．解：（1）由复数减法的运算法则得z 1－z 2＝（－2＋i ）－（－1＋2i ）＝－1－i ．（2）在复平面内作复数z 1－z 2所对应的向量，如图中OZ→．【第二课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？2．复数乘法的运算律有哪些？3．如何在复数范围内求方程的解？二、合作探究探究点1：复数的乘法运算例1：（1）（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（ ）A ．1＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－3＋i（2）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则（a ＋b i ）2＝（ ）A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i（3）把复数z 的共轭复数记作z －，已知（1＋2i ） z －＝4＋3i ，求z ．解：（1）选B ．（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（1－i ）（1＋i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝（1－i 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i ． （2）选D ．因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以（a ＋b i ）2＝（2＋i ）2＝3＋4i ． （3）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i ，由已知得，（1＋2i ）（a －b i ）＝（a ＋2b ）＋（2a －b ）i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知，{a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ． 探究点2： 复数的除法运算例2：计算：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ；（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ．解：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i ．（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i ．探究点3： i 的运算性质 例3：（1）复数z ＝1－i1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019等于________． 解析：（1）z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1． （2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 22 019＝i 2 019＝（i 4）504·i 3＝1504·（－i ）＝－i ．答案：（1）B （2）－i 探究点4：在复数范围内解方程例4：在复数范围内解下列方程． （1）x 2＋5＝0；（2）x 2＋4x ＋6＝0．解：（1）因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5， 又因为（5i ）2＝（－5i ）2＝－5， 所以x ＝±5i ，所以方程x 2＋5＝0的根为±5i ． （2）法一：因为x 2＋4x ＋6＝0， 所以（x ＋2）2＝－2，因为（2i ）2＝（－2i ）2＝－2， 所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ， 即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ． 法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i （a ，b ∈R 且b ≠0）， 则（a ＋b i ）2＋4（a ＋b i ）＋6＝0， 所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得（a 2－b 2＋4a ＋6）＋（2ab ＋4b ）i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，又因为b ≠0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，解得a ＝－2，b ＝±2． 所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ． 三、学习小结1．复数乘法的运算法则和运算律（1）复数乘法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋b i）（c＋d i）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．（2）复数乘法的运算律2．复数除法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（c＋d i≠0）（a，b，c，d∈R），则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i（c＋d i≠0）．四、精炼反馈1．若复数（1＋b i）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（）A．－2B．－1 2C．12D．2解析：选D．因为（1＋b i）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．2．已知i为虚数单位，则复数i2－i的模等于（）A．5B．3C．33D．55解析：选D．因为i2－i＝i（2＋i）（2－i）（2＋i）＝i（2＋i）5＝－15＋25i，所以|i2－i |＝|－15＋25i|＝（－15）2＋（25）2＝55，故选D．3．计算：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018；（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．解：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018＝2＋2i－2i＋⎝⎛⎭⎪⎫22i1 009＝i（1＋i）＋⎝⎛⎭⎪⎫1i1 009＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）＝22－14i＋25－25i＝47－39i．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
对数的运算
1 a
b＝－logab.
[典例 2] (1)计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)的值； (2)已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645 的值．
[解] (1)法一：原式＝log253＋lloogg22245＋lloogg2258· log52＋lloogg55245＋lologg515825 ＝3log25＋22lloogg2225＋3lloogg2252log52＋22lloogg5525＋33lloogg5525 ＝3＋1＋13log25·(3log52) ＝13log25·lloogg2225＝13.
答案：1
C．6
D．1
()
知识点二 换底公式 (一)教材梳理填空
logcb logab＝ logca
对数换底公式．
(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．我们把上式叫做
[微思考] 换底公式中底数c是特定数还是任意数？
提示：是大于0且不等于1的任意数．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)由换底公式可得 logab＝lloogg－ －22ba.
()
(2)log2M＋log3N＝log6(MN)．
()
(3)log23·log32＝1.
()
答案：(1)× (2)× (3)√
2．填空：
(1)logab·logba＝________；
(2)logab·logbx＝________；
(3)logamNn＝________.
答案：(1)1
(2)logax
log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.
使用查表法 实现log 对数运算的步骤
一、概述在数学和计算机领域中，对数运算是一种常见且重要的运算方式。
对数运算可以帮助我们简化复杂的计算过程，使得数值计算更加高效准确。
在实际的计算过程中，我们常常需要对数函数进行计算，而查表法便是一种有效实现对数运算的方式之一。
二、对数运算的概念1. 对数运算是指以某个数为底数，使得该底数的几次方等于目标数。
以 2 为底数，2 的几次方等于 8，则可以得出 2 的对数等于 3。
对数运算的数学表达式为 loga x = b，其中 a 为底数，x 为目标数，b 为对数。
2. 对数运算可以转化为指数运算，即 loga x = b 可以转化为 a^b = x。
三、查表法实现对数运算的步骤1. 确定对数的底数和目标数在进行对数运算之前，首先需要确定对数的底数和目标数。
底数通常为常数，而目标数则为需要进行对数运算的数值，可以是实数或复数。
2. 准备对数表对数表是存储不同底数和目标数对应的对数值的表格。
对数表可以通过数学软件或者书籍进行查询或者生成。
通常，对数表的列标包括底数、目标数和对数值。
3. 查找对数值根据确定的底数和目标数，在对数表中查找对应的对数值。
首先找到目标数所在的行，然后在该行中找到对应的底数列，即可得到对数值。
4. 结果验证查表法得到的对数值可以通过反向运算进行验证。
即将底数的对应次方值计算出来，检查是否等于目标数。
如果结果相符，则说明查表法得到的对数值是正确的。
四、查表法实现对数运算的优缺点1. 优点（1）简单易行：查表法不需要进行复杂的数学计算，只需要在对数表中进行查找即可得到对数值。
（2）节省时间：对数表包含了大量常见对数值的对应关系，可以大大节省对数运算的时间。
（3）准确性高：对数表经过验证和整理，所得到的对数值通常准确无误。
2. 缺点（1）受限于对数表：查表法实现对数运算的前提是需要有相应的对数表，受限于已有的对数表内容。
（2）对数精度限制：对数表中的对数值通常是有限精度的，可能无法满足特定精度要求的对数计算。
对数法的知识点总结
对数法的知识点总结一、对数的定义对数是指数运算的倒数。
通常来说，对数是一个数对应的指数。
比如，log2(8) = 3，表示2的多少次方等于8。
在这里，log2表示以2为底的对数，8是对数的真数，3是对数的值。
对数的底数必须大于0且不等于1，对数的真数必须大于0。
对数常用符号log来表示，底数和真数用括号括起来。
对数的定义是指数的一个有用的补充。
指数表示一个数重复相乘的次数，而对数表示一个数重复乘积的次数。
例如，2的3次方等于8，那么log2(8) = 3。
可以看出，对数和指数是互相对立的，通过对数可以方便地解决指数运算不易解决的问题。
二、对数的性质对数有一些重要的性质，比如乘法性质、除法性质、幂次性质和换底性质等。
这些性质是对数运算的基础，也是对数问题的解决关键。
1. 乘法性质：loga(m*n) = loga(m) + loga(n)，其中a > 0且a ≠ 1，m和n都是大于0的实数。
这个性质表示两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
2. 除法性质：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)，其中a > 0且a ≠ 1，m和n都是大于0的实数。
这个性质表示两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
3. 幂次性质：loga(m^p) = p * loga(m)，其中a > 0且a ≠ 1，m是大于0的实数，p是任意实数。
这个性质表示一个数的幂次的对数等于这个数的对数乘以幂次。
4. 换底性质：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a、b、c都是大于0且不等于1的实数。
这个性质表示底数不同的对数可以相互换底，该性质在解决对数问题时非常有用。
这些性质对于解决对数问题非常重要，可以大大简化对数的运算和求解。
三、对数的运算规则对数的运算规则是指对数的加减乘除和幂次运算法则，它们是对数运算的基础，可以帮助我们解决各种对数问题。
1. 加减法规则：对数的加减法规则是乘法性质和除法性质的直接应用。
整数的乘除法运算
整数的乘除法运算整数的乘除法是数学中的基本运算之一，广泛应用于实际生活和各行各业中。
本文将详细介绍整数的乘除法及其相关概念、规则和应用。
一、整数的乘法整数的乘法是指将两个整数相乘的运算。
在整数乘法中，有以下基本概念和规则：1. 乘法的定义：对于任意两个整数a和b，乘法运算的结果为它们之间的乘积，记作a × b。
2. 符号规律：两个整数相乘的结果有以下四种情况：a) 两个正数相乘，结果为正数；b) 两个负数相乘，结果为正数；c) 一个正数和一个负数相乘，结果为负数；d) 0与任何整数相乘，结果为0。
3. 乘法的交换律：乘法运算满足交换律，即a × b = b × a。
这意味着两个整数的相乘结果与它们的顺序无关。
4. 乘法的结合律：乘法运算满足结合律，即(a × b) × c = a × (b × c)。
这意味着多个整数相乘时，可以任意改变它们的位置。
二、整数的除法整数的除法是指将一个整数除以另一个整数的运算。
在整数除法中，有以下基本概念和规则：1. 除法的定义：对于任意两个整数a和b（其中b≠0），除法运算的结果为它们之间的商和余数，记作a ÷ b = 商 + 余数/b。
2. 符号规律：a) 两个正数相除，结果为正数；b) 两个负数相除，结果为正数；c) 一个正数除以一个负数，结果为负数；d) 一个负数除以一个正数，结果为负数。
3. 除法的整除和有余除法：当除法运算的余数为0时，称为整除；当除法运算的余数不为0时，称为有余除法。
4. 除数为0时的情况：在数学中，除数不能为0，否则除法运算是没有意义的。
三、整数乘除法的应用整数的乘除法在实际生活和各行各业中有广泛的应用，以下是一些例子：1. 财务管理：乘法用于计算商品的总价格，除法用于计算每个人的平均消费。
2. 建筑工程：乘法用于计算材料的总量，除法用于计算工程进度的百分比。
log加减法运算法则
log加减法运算法则
log加减法运算法则指的是对于两个实数a和b，以及底数为c的对数函数，
log(ac)与log(bc)的和或者差，可以化简为log函数里面的乘积或者商。
具体来说，
如果需要计算log(ac) + log(bc)，则可以将其化简为log(abc)，而如果需要计算
log(ac) - log(bc)，则可以化简为log(a/b)。
这个法则可以用来简化复杂的对数运算。
需要注意的是，这个法则只适用于同一底数的对数函数之间的加减运算，如果底数不同，则需要先使用换底公式将其转化为同一底数的对数函数，再使用log加减法运算法则进行化简。
此外，还需要注意对数函数的定义域和值域，以及底数的取值范围。
对于定义在正实数集合上的对数函数，其定义域为正实数集合，值域为实数集合；而对于以其他数为底的对数函数，其定义域和值域的范围可能有所不同。
底数的取值范围也需要根据具体情况来确定。
总之，log加减法运算法则是对数运算中的一个重要的化简法则，可以用来简
化复杂的对数运算，但需要注意对数函数的定义域和值域以及底数的取值范围。
对数公式的运算
对数公式的运用1．对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．由定义知：①负数和零没有对数；②a>0且a≠1，N>0；③log a1=0，log a a=1，a logaN=N(对数恒等式)，log a a b=b。
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为lnN．2．对数式与指数式的互化式子名称a b=N指数式a b=N(底数)(指数)(幂值)对数式log a N=b(底数) (真数) (对数)3．对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么(1)log a(MN)=log a M+log a N．(2)log a（M/N）=log a M-log a N．(3)log a M n=nlog a M(n∈R)．问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0?②log a a n=? (n∈R)③对数式与指数式的比较．(学生填表)式子a b=N，log a N=b名称：a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质：a m·a n=a m+na m÷a n= a m-n(a>0且a≠1，n∈R) log a MN=log a M+log a Nlog a MN=log a M n= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1?理由如下：①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=?②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?解题方法技巧1．(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②26=64；③3x=27；④13m=5．73．(2)将下列对数式写成指数式：①log216=4；②log2128=7；③log327=x；④lg0．01=-2；⑤ln10=2．303；⑥lgπ=k．解析由对数定义：a b=N，log a N=b．解答(1)①log5625=4．②log264=6．③log327=x．④log135．73=m．解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：a b=N log a N=b(2)①24=16，②27=128，③3x=27，④10-2=0．01，⑤e2．303=10，⑥10k=π．2．根据下列条件分别求x的值：(1)log8x= -2/3；(2)log2(log5x)=0；(3)log x27=3×；(4)log x(2+)= -1．解析(1)对数式化指数式，得：x==?(2)log5x=20=1．x=?(3)3×3log32=? ．27=x?(4) 2+=x-1=1/x．x=?解答(1)x===2-2=1/4．(2)log5x=20=1，x=51=5．(3)log x27=3×=3×2=6，∴x6=27=33=()6，故x=．(4) +=x-1=1/x，∴x=1/(+)=．解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化．②熟练应用公式：log a1=0，log a a=1，alog a M=M，log a a n=n．3．已知log a x=4，log a y=5，求A=〔x5/12·y-1/3〕的值．解析：思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?解答：解法一∵log a x=4，log a y=5，∴x=a4，y=a5，∴A=x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3·a-5/3=a0=1．解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得log a A=log a(x(5/12)y(-1/3))=(5/12)log a x-(1/3)log a y=(5/12)×4-(1/3)×5=0，∴A=1．解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算．4 ．设x，y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠1/10)，求lg(xy)的取值范围．解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数．因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0，y>0，x·y1+lgx=1，两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0．即lgy=-lgx/(1+lgx) (x≠1/10，lgx≠-1)．令lgx=t，则lgy=-t/(1+t) (t≠-1)．∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)= t2/(1+t) (t≠-1)．(解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题．)设S=t2/(1+t)，得关于t的方程t2-St-S=0因为它一定有实数解．∴Δ=S2+4S≥0，得S≤-4或S≥0，故lg(xy)的取值范围是(-∞，-4〕∪〔0，+∞)．5 ．求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3(32/9)+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值；(4)求7lg20·(1/2)lg0.7的值．解析：(1)25=52，50=5×10。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对数函数
对数函数对数函数对数的性质对数函数的运算法则指数函数与对数函数
指数函数和对数函数恰似青梅竹马，形影不离，讲完了指数函数，不讲对数函数，似乎有点不厚道，同时，对数函数和指数函数互为反函数，简单说其中一个是用x来表示y，那么反过来便是用y表示x，请看下面的数学表达式
y=axy=a^xy=ax
两边取以a为底的对数，即
logay=logaaxlog_ay=log_a a^xloga?y=loga?ax
得到 logay=xlog_ay=xloga?y=x【后面运算法则会证明等式右边】，只是习惯上，我们喜欢用x来表示自变量，y表示因变量，而用什么字母符号来表示无所谓，于是改写成y=logaxy=log_axy=loga?x，刚开始接触这个是有点别扭不适应，回去照着多写几遍就自然理解了。
对数函数
一般的把形如
y=logaxy=log_axy=loga?x
叫做对数函数，其中a叫做对数函数的底数，a0，且a≠1。
通常我们把以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），即log10xlog_{10}xlog10?x，简记为lgxlgxlgx，把以自然数e=2.71828···为底的对数称为自然对数（natural logarithm），即
logexlog_e xloge?x，简记为lnxln xlnx，因为这两个在自然科学研究和对数变换方面经常用到，所以单独拎出来给一个简便记号。
对数的性质
为了描述对数的性质，我们还是先把对数的图像画出来，然后直接看图说话比较简单些。
分a1 和 0a1两种情况
(1) 当 a1时
从图像看到此时指数函数
定义域为（0，+∞），值域为全体实数
单调增函数，即随着自变量 x 的增加，函数值也跟着增大，最后趋向无穷大
过固定点（1，0）
函数图像向右上倾斜，且越来越平缓
左端无限接近Y轴，但是不相交
（2）当0a1时
从图像看到此时指数函数
定义域为（0，+∞），值域为全体实数R
单调减函数，即随着自变量 x 的增加，函数值反而减小，最后趋向负无穷大
过固定点（1，0）
函数图像向右下倾斜，且越来越平缓
左端无限接近Y轴，但始终不相交
知道对数函数有哪些基本性质之后，我们就要来进一步探究其运算法
则
对数函数的运算法则
若根据指数函数，定义ab=xa^b=xab=x，则 b=logaxb=log_a xb=loga?x，对数函数有如下运算法则
（0）alogax=xa^{log_a x}=xaloga?x=x
（1）logaxc=c?logaxlog_a x^c=c*log_a xloga?xc=c?loga?x
（2）logaM+logaN=logaMNlog_a M+log_a N=log_a MNloga?M+loga?N=loga?MN
（3）logaM?logaN=logaMNlog_a M-log_a N=log_a frac{M}{N}loga?M?loga?N=loga?NM?
（4）logax=logqxlogqalog_a x= frac{log_q x}{log_q a}loga?x=logq?alogq?x?
其中（0）称为恒等式，结论非常直观，（1）称为对数函数线性变换，（2）和（3）称为对数函数的加减法，（4）称为对数函数换底公式，现在先来证明（1）,（2）和（4）。
logaxc=c?logaxlog_a x^c=c*log_a xloga?xc=c?loga?x
根据恒等式（0）有alogaxc=xc=(ab)c=abca^{log_a x^c}=x^c=(a^b)^c=a^{bc}aloga?xc=xc=(ab)c=abc，再由单调性有logaxc=bc=cb=c?logaxlog_a x^c=bc=cb=c*log_a xloga?xc=bc=cb=c?loga?x
logaM+logaN=logaMNlog_a M+log_a N=log_a MNloga?M+loga?N=loga?MN
根据指数函数的运算法则，alogaM+logaN=alogaM?alogaNa^{log_a M+log_a N}=a^{log_a M}*a^{log_a N}aloga?M+loga?N=aloga?M?aloga?N，根据恒等式，等式右边alogaM?alogaN=MNa^{log_a M}*a^{log_a N}=MNaloga?M?aloga?N=MN，于是alogaM+logaN=MNa^{log_a M+log_a N}=MNaloga?M+loga?N=MN，再根据恒等式，两边取对数有logaM+logaN=logaMNlog_a M+log_a N=log_a MNloga?M+loga?N=loga?MN。
logaM?logaN=logaMNlog_a M-log_a N=log_a frac{M}{N}loga?M?loga?N=loga?NM?
根据指数函数的运算法则，alogaM?logaN=alogaM-alogaNa^{log_a M-log_a N}=a^{log_a M}-a^{log_a N}aloga?M?loga?N=aloga?M-aloga?N，根据恒等式，等式右边alogaM-alogaN=MNa^{log_a M}-a^{log_a N}=frac{M}{N}aloga?M-aloga?N=NM?，于是alogaM?logaN=MNa^{log_a M-log_a N}=frac{M}{N}aloga?M?loga?N=NM?，再两边取对数有logaM?logaN=logaMNlog_a M-log_a N=log_a frac{M}{N}loga?M?loga?N=loga?NM?。
logax=logqxlogqalog_a x= frac{log_q x}{log_q a}loga?x=logq?alogq?x?
因为ab=xa^b=xab=x，两边同时取以q为底的对数，根据运算法则（1）等式左边为 logqab=blogqalog_q a^b=b log_q alogq?ab=blogq?a ，而等式右边等于logqxlog_q xlogq?x，于是blogqa=logqxb log_q a=log_q xblogq?a=logq?x，推出b=logqxlogqab=frac{log_q x}{log_q a}b=logq?alogq?x?。
指数函数与对数函数
三叔曾经说过，相似的事物放在一起对比认知，往往比单个逐一认知来的好一些。
由开头我们知道对数函数和指数函数互为反函数，互为反函数的两类函数自然会存在某种内在联系。
(1) 当 a1时
由图可以看到
对数函数和指数函数关于坐标轴形成犄角之势。
对数函数和指数函数均为增函数，且增长趋势恰好相反，指数函数越增越快，对数函数越增越慢。
图像关于直线y=x对称，对数函数与X轴的交点（1，0）与指数函数与Y轴的交点(0，1）,恰好是关于y=x的两个对称点。
(1) 当 0a1时
由上图可以看到，当0a1时
对数函数和指数函数关于坐标轴依然形成犄角之势。
对数函数和指数函数均为减函数，且下降趋势恰好相反，指数函数越降越慢，对数函数越降越快。
图像关于直线y=x对称，特别的，对数函数与X轴的交点（1，0）与指数函数与Y轴的交点(0，1）,恰好是关于y=x的两个对称点。
1，百度百科
该算法又称乘法的“俄罗斯农名的方法”，它的历史悠久，使用它的实例可以在莱茵德纸草书中找到，这也是现存最悠久的两份数学文献之一。
通过该算法，计算斐波那契数只需要对数的步数。
(1) p:= 211108*********; a:=0;b:=7;n:=p;r:=p;
又称为逻辑否定，实际上就是将原逻辑变量的状态求反，其运算规则如下：
上面我们讨论了多个向量相加的问题。
对数乘运算，假定现在有两个数c 和 d，都要和向量v进行数乘运算，那么运算的次序有关系吗？可以证明，数乘运算时，先用那个数进行数乘并不影响最终的结果，即有：c(dv) =d(cv) = (cd)v.
对数、解析几何和微积分被公认是17世纪数学的三大重要成就，恩格斯赞誉它们是“最重要的数学方法”。
伽利略甚至说：“给我空间、时间及对数，我即可创造一个宇宙。
”
int binarySearch(const vectorComparable a, const Comparable x) 欧拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。
只有那个大约等于2.71828的自然对数的底，被他命名为e。
但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到后人以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
上面四张图，分别是曲线方程Y^2≡x^3?7x+10(modp) 参数p取为19,97,127,487的几何图形。
（显然，p越小，集合Fp中的元素越少，满足Fp的椭圆曲线的点也越少）
或者return ((num-1)num)==0 (num-1)%3==0;
49 for(int j=0;jlimit;j+=R){。