数列求和方法总结

数列求和方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

数列的求和

一、教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；

2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；

3．熟记一些常用的数列的和的公式．

二、教学重点：特殊数列求和的方法．

三、教学过程：

（一）主要知识：

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2

)1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q

q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）

2．公式法： 222221(1)(21)1236n k n n n k n =++=++++=∑ 2

333331(1)1232n k n n k

n =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑ 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ； 1111()(2)22

n n n n =-++ )1

21121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅ 5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。

7．倒序相加法：

8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等

（二）主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；

2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；

3．转化思想的运用；

（三）例题分析：

例1．求和：①

个

n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(n n n x

x x x x x S ++++++= ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S

思路分析：通过分组，直接用公式求和。

解：①)110(9110101011112-=++++==k k k k a 个 ])101010[(9

1)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 81

10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++=n n n x

x x x x x S n x

x x x x x n n 2)111()(242242++++++++= （1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)

1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③

k k k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=

2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n

)25)(1(6

1-+=

n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。

2．错位相减法求和

例2．已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列

120,,,,-n a a a a 对应项积，可用错位相减法求和。

解：()1)12(53112--++++=n n a n a a S ()2)12(5332n n a n a a a aS -++++=

()()n n n a n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=--- 当n n n n a a a S a a )12()

1()1(21)1(,121----+=-≠-时 21

)

1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=+ 当2,1n S a n ==时

3.裂项相消法求和

例3.求和)

12)(12()2(5343122

22+-++⋅+⋅=n n n S n 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.

解:

)1

21121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+=+-+-=+-=k k k k k k k k k k a k 1

2)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121++=+-+=+--++-+-+=+++=n n n n n n n n a a a S n n 练习:求n n a n a a a S ++++= 32321 答案: ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≠----=+=)1()1()1()1()1(2)1(2a a a a n a a a n n S n n n 4.倒序相加法求和

例4求证：n n n n n n

n C n C C C 2)1()12(53210+=+++++ 思路分析：由m n n m n C C -=可用倒序相加法求和。

证：令)1()12(53210n n n n n n C n C C C S +++++=

则)2(35)12()12(0121n n n n n n n

n C C C C n C n S ++++-++=- m n n m n C C -= n n n n n n C n C n C n C n S )22()22()22()22(2:)2()1(210++++++++=+∴ 有

n n n n n n n n C C C C n S 2)1(])[1(210⋅+=+++++=∴ 等式成立

5．其它求和方法

还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。

例5．已知数列{}n n n n S n a a 求],)1([2,---=。

思路分析：n n n a )1(22---=，通过分组，对n 分奇偶讨论求和。

解：n n n a )1(22-+-=，若∑=-+++++-===m

k k m n m S S m n 21

2)1(2)2321(2,2 则 )1(2)12()2321(2+-=+-=++++-=n n m m m S n

若

)12(22)12(])1(2[22)12(,1222212-++-=--++-=-==-=-m m m m m m a S S S m n m m m m n 则

22)1()1(224222---=-+++-=-+-=n n n n m m

⎩⎨⎧---+-=∴)

(2)()1(2为正奇数为正偶数n n n n n n S n 预备：已知n n n a a a a x a x a x a x f ,,,,)(321221且+++=成等差数列，n 为正偶数，

又n f n f =-=)1(,)1(2，试比较)2

1(f 与3的大小。 解：⎩⎨⎧=+-+-+-=-=++++=-n a a a a a f n a a a a f n n n 13212321)1()1( ⎩⎨⎧==+∴⎪⎩

⎪⎨⎧==+∴2222)(121d n a a n d n n n a a n n 12122)1(111-=∴=∴⎩

⎨⎧==-++∴n a a d n d n a a n