导数题型总结(解析版)

导数题型总结(解析版)

体型一：

关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法： (1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系

(2)端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结 合思想”，创建不等关系求出取值范围。

注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f '(x)=O 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、 常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值 -----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论( >0,=0,<0)

第二种：变更主元 (即关于某字母的一次函数)

-----(已知谁的范围就把谁作为主元 )；

例1：设函数y = f(χ)在区间D 上的导数为f (X )， f (X)在区间D 上的导数为g(x),若在区间D 上，g(χ) ：：： 0恒成立，则称函数y = f (X)在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，

X 4 mx 3 3X 2 f(X)Wmm

(1)若目=f (X)在区间∣0,3 1上为“凸函数”，求m 的取值范围;

m ,函数f (X)在区间a,b 上都为“凸函数”，求b-a 的最大

4

3

2 X

mx

3x

解:由函数f(x) ≡

(2)若对满足 m 乞2的任何一个实数 3

2

’ X mx

得 f (X)

3x

3 2

12 6 2

g (X)= x ? -mx -3

(1) Ty = f(χ)在区间10,3］上为“凸函数”，

贝U . g(x) = x ?—mx-3 ：：： 0在区间［0,3］上恒成立 解法一：从 二次函数的区间最值 入手：等价于g max (x) ：：：0

解法二：分离变量法：

τ 当 X=O 时，.g(x) = X 2 - mx - 3 - -3 ：：： 0 恒成立，

2

当 0：：：x_3时,g(x)=x —mx — 3：：：0恒成立

X -3

3

等价于m

X 的最大值(0 ：：： X _3)恒成立，

X X

3

而 h(x)=x ( 0：：：x^3)是增函数，贝y h max (x) =h(3) =2

X

m 2

(2)∙∙∙当m ≤2时f(x)在区间(a,b )上都为“凸函数”

则等价于当 m 兰2时g(x) = X 2—mx-3 V 0恒成立 变更主元法

再等价于F(m) =mx-x 2 • 3 • 0在m^2恒成立(视为关于 m 的一次函数最值问题)

F (-2) 0-丨—2x -x 2 3 0

:X 1

F (2) 0 2x-x 2 3 0

b _a = 2

g (o 厂:0

g(3) ：：

30

9 - 3m - 3 ：

例 2:设函数 f(x) = -lχ3 - 2aχ2 -3a 2χ b(0 ：： a ：： 1,b 二 R)

3

(I)求函数f (X )的单调区间和极值；

(∏)若对任意的 X E [a +1, a+2],不等式f'(x)∣≤a 恒成立，求a 的取值范围 (二次函数区间最值的例子)

2 2

解：(I) f (x) = -X 4ax -3a = - x -3a x -a

令f (x) ∙ 0,得f (x)的单调递增区间为(a,3a )

令f (x) ：：：0,得f (x)的单调递减区间为(一，a )和(3a , +■-)

3

•••当 x=a 时，f (x)

a 3 +

b ； 当 x= 3a 时，f (x) 极大值 =b. 4

(∏)由 I f (X) ∣≤ a ,得：对任意的 X ∙ [a ■ 1, a ■ 2], -a _ x 2 -4ax ■ 3a 2 _ a 恒成立①

'g max (x)≤a

2

2

则等价于g(x)这个二次函数

g(x) =x 2 -4ax ∙ 3a 2的对称轴x = 2a

Ig min (X)玉-a

T 0 ：：： a ：：： 1, a 1 a 2a (放缩法)

2 2

g(x) = X -4ax ∙ 3a 在[a 1,a 2]上是增函数.

g(x)max =g(a 2) - -2a 1.

g(x)min = g(a 1) = -4a 4.

于是，对任意 [a 1,a 2],不等式①恒成立，等价于

g(a 2) = -4a 4 乞 a,

4

解得 a 乞

1.

g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

即定义域在对称轴的右边,

a 21

g(a 1) - -2a 1 - -a 5

4

又O ：：： a ：：：1, ∙°∙ a .1.

5

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系

第三种：构造函数求最值题型特征：f(x) ∙g(x)恒成立二h(x) = f(x) — g(x) ∙O恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3 ；已知函数f(x^x3 ax2图象上一点P(Ib)处的切线斜率为-3，

3 t —6 2 g (x) = X X -(t 1)x 3 (t O)

2

(I)求a,b的值；

(∏)当x：=［-1,4］时，求f(x)的值域；

(川)当［1,4］时，不等式f(x)乞g(x)恒成立，求实数t的取值范围。

/ 2 「f / (1) = —3 a = —3

解：(I) f (x) =3x 2ax ∙, 解得

∣b = 1+a Ib =-2

(∏)由(I)知，f(x)在［-1,0］上单调递增，在［0,2］上单调递减，在［2, 4］上单调递减

又f (一1) - -4, f (0) =0, f(2) - -4, f (4) =16

∙f(x)的值域是［-4,16］

t 2

(川)令h(x) =f (X) -g(x) x2 (t 1)x-3 x ［1,4］

2

思路1：要使f(x) ^g(x)恒成立，只需h(x)乞0 ,即t(χ2 - 2x) _ 2x - 6分离变量

思路2 :二次函数区间最值

二、参数问题

题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1:转化为f'(x) 一0或f'(χ)空0在给定区间上恒成立，回归基础题型

解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间

的子集；

做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是( a,b)”，要弄清楚两句话的区别: 前者是后者的子集

1 3 2+1 2

例4:已知a ∙R,函数f (X) X X (4a ■ 1)x .