不定积分的第一类换元积分法

例例43.
x
1
x2
dx
1 2
1
x2
(1
x2)dx
1 2
u11x2
dx(21,
x2)
x
1
x2
dx
1 2
1
x2
(1
x2)dx
1 2
1 x2 d(1 x2)u 2x.
2
(1
x2)dx
1 2
1 x2 d(1 x2)
1 2
1
u 2du
1u 3
3 2
C
1 3
(1
3
x2)2
C
1
u
3 2
C
1
(1
x2)
3 2
C
3
茂 陈赵 泓铮 锋洁 刘王 思嘉 婷辉
刘王 炳蔚 湘琳 陆沈 宏育 发伦 黄陈 丽秀 清莹 李余 晓术
涌 梁黄 伟广 杰俊 黄李 妙海 洁明 覃刘 思雅 敏丽 邓何 秋满 菊根
刘江陈
树沛雯
材杰倩 门
陈许陈 口
安舒锐
岱婷敏
程刘严
国远伟
尚凌亮
廖李吴
俊政佩
豪玲
赖赵廖
健丹绮
谢 璇
妮 曾 淑
琦 孙 国
颖政
吴麦古
经济数学(MM1009,UE)
禤啟沃(Xuan QiWo):周五(1,2)A101
李林谢 灿树敏
灿
为经济学等课程打基础，形成连续与 离散、无穷与有限对立统一方法体系
莫 智 斌 刘
黄 卓 君 谢
谢 毅 君 杨
课件: ftp:\\172.16.3.240 国贸系-启沃-经济数学
内容:不定积分;定积分;多元微积分 邮箱:xqwwork@163.com 答疑:周四(3~6)国贸系办公室
宏 武 徐 敏
朝 坤 陈 昊
铭 杰 黄 裕
琪 赖 其
颖 曾 子
楠 王 丽
总评成绩构成： 期末闭卷笔试60分； 考勤15分;书面作业20分;课堂表现5分
宏 侯 倩 慧
安 肖 建 昌
玲 陈 斌
曾梁罗
巧曾焯
铭铭文
黄彭郑
嘉俊永 贤秋杰
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讲台
刘张 梦小 君花 苏陈 敏钧 涵荣 张周 晓国 敏鹏 符黄 敏滢 贞 练方 水捷 香 黎崔 捷金
如何确定u=j(x)？
有时可从被积函数中明显的复合部分去确定 u=j(x)
例例11 2cos2xdx cos2x(2x)dx cos2xd(2x) u 2x,
22ccooss22xxddxxccooss22xx((22xx))ddxxccooss22xxdd((22xx))
u 2.
ccoossuudduussiinnuuCCssiinn 22xxCC 例例32 2xex2dx ex2 (x2)dx ex2d(x2) eudu u x2,
22xxeexx22ddxxeexx22((xx22))ddxxeexx22dd((xx22))eeuudduu
ex2d(x2) eudu eu C ex22 C
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u 2x.
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f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
如何确定u=j(x)？ 有时可从被积函数中明显的复合部分去确定 u=j(x)
10定积分应用举例
11定积分及其应用习题课
12二重积分的概念与性质
13二重积分的计算(1)
14二重积分的计算(2)
15多元函数积分学习题课
16微分方程基本概念、可分离变量微分方程
17一阶线性微分方程，齐次方程
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第四章 不定积分
不定积分是求导的逆运算，难度高于求导， 我们陆续介绍一些算法， 其共同点是将较复杂的积分化为较简单的积分， 最终化为p143的简单积分形式并得结果。算法需要从算例中体会。
如何确定u=j(x)？
有时可从被积函数中明显的复合部分去确定 u=j(x)
例6 求
1 ln x (x ln x)2 dx.
解
1 ln x (x ln x)2
dx
(x
1 ln x)2
d(xlnx)
1 C. x ln x
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u x ln x, du (1 ln x)dx.
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锦晓诗
旋琳健
张朱黄 门
泽明德 口
锦煜发
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经济数学(MM1009,UE)
禤啟沃(Xuan QiWo):周五(1,2)A101
为经济学等课程打基础，形成连续与 离散、无穷与有限对立统一方法体系
课件: ftp:\\172.16.3.240 国贸系-启沃-经济数学
内容:不定积分;定积分;多元微积分 邮箱:xqwwork@163.com 答疑:周四(3~6)国贸系办公室
f (j(x)) j(x),
故 f [j(x)]j(x)dx F[j(x)] C
[ f (u)du]uj(x)
(1)可将较复杂的积分化为较简单的积分。
关键是确定中间变量u=j(x)。
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f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
总评成绩构成： 期末闭卷笔试60分； 考勤15分;书面作业20分;课堂表现5分
周 内容
教学进度表
1 不定积分的概念及性质
2 不定积分的第一换元积分法
3 不定积分的第二换元积分法
4 不定积分的分部积分法
5 不定积分的应用，习题课
6 定积分的概念及性质
7 微积分基本公式
8 定积分换元积分法
9 定积分分部积分法，广义积分
1 x2
(1
1 )9dx x
百度文库
(1
1 x
)9
(1
1 x
)dx
(1 1 )9d(1 1 ) 1 (1 1)10 C.
x
x 10 x
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u 3 x,
u 3 . 2x
u 1 1 , x
u
1 x2
.
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f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
如何确定u=j(x)？ 有时可从被积函数中明显的复合部分去确定 u=j(x)
例7
求
sin
tan x dx. x cos x
解
sin
tan x x cos
第二节 不定积分的换元积分法
第一类换元法.
第一类换元法.
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一、第一类换元法
❖定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有
f [j(x)]j(x)dx [ f (u)du]uj(x)
(1)
证 因 [F(j(x))] F(j(x)) j(x)
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f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
如何确定u=j(x)？ 有时可从被积函数中明显的复合部分去确定 u=j(x)
例4
e3
x
dx
2
e3 x (3
x )dx
x3
2 e3 xd(3 x ) 2 e3 x C.
3
3
例5