南理工高等数学下第12章 微分方程12-2

令u y， 得 u x du 1
1 u2 ,
x
dx
u
分离变量
udu
dx ,
(1 u2 ) 1 u2 x
令 1 u2 t 2，
tdt dx , t(t 1) x
积分得 ln t 1 ln C , 即 u2 1 C 1,
x
x
平方化简得
u2
C2 x2
2C x
,
代回 u y , 得 x
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成
正比,已知 M t0 M0,求衰变过程中铀含量M (t ) 随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 dM , 由题设条件
dt
dM M ( 0衰变系数) dt
dM dt M
dM M
dt ,
ln M t ln c,
即M cet ,
代入M t0 M0 得 M0 ce0 C ,
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
微分方程的解为 sin y ln x C . x
y2 2C( x C ) 2
抛物线
所求旋转轴为 ox轴的旋转抛物面方程为
y2 z2 2C( x C ). 2
可化为齐次的方程
1.定义 形如 dy f ( ax by c )的微分方程
dx
a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 为齐次方程. 否则为非齐次方程.
2.解法 令x X h,（其中h和k是待定的常数）
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
dx 1 ( x 0.03),
1t
x 0.03 Ce 6 ,
dt 6
1t
x |t0 0.1, C 0.07, x 0.03 0.07e 6 ,
x |t6 0.03 0.07e1 0.056, 6分钟后, 车间内CO2的百分比降低到 0.056%.
y Y k， dx dX , dy dY
dY f ( aX bY ah bk c )
dX
a1 X b1Y a1h b1k c1
ah bk c 0, a1h b1k c1 0,
(1)
a
b 0,
有唯一一组解.
a1 b1
dY dX
f ( aX bY ) a1 X b1Y
y u( x)e P( x)dx u( x)[ P( x)]e P( x)dx ,
将y和y代入原方程得 u( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
b dx
c1
可分离变量的微分方程.
当b1 0时,
令 a1 b1 ,
ab
方程可化为 dy f ( ax by c ), dx (ax by) c1
令 z ax by,
则 dz a b dy， 1 ( dz a) f ( z c ). 可分离变量.
dx
dx b dx
z c1
x
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
2
2
u 1 3 Cx. u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
例 8 抛物线的光学性质
实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面
解 如图 设旋转轴 ox轴 y T
光源在(0,0), L : y y( x)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.
线性非齐次方程
dy dx
P( x) y
Q( x).
讨论
wenku.baidu.comdy y
Q( x) y
P(
x)dx,
两边积分
ln
y
Q( x)dx y
P( x)dx,
设
Q( x)dx为v( y
h |t0 100,
C 14 105 , 0.62 2g 15
所求规律为t (7 105 103 h3 3 h5 ). 4.65 2g
例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中
含有0.1%的 CO2 , 为了降低车间内空气中CO2
的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机
0时,
得
du f (u) u
ln C1 x ,
即 x Ce(u) ,
（ (u) du ）
f (u) u
将 u y 代入, x
得通解
x
(
Ce
y) x
,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
例 6 求解微分方程
解 令u xy, 则 du xdy ydx,
f (u) ydx g(u)x du ydx 0, x
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0, x
dx
g(u) du 0,
x u[ f (u) g(u)]
通解为
ln
|
x
|
u[
f
g(u) du (u) g(u)]
C.
例9 求 dy x y 1 的通解. dx x y 3
解
1 1
2 0,
11
方程组hh
k k
1 0 3 0,
h
1, k
2,
令 x X 1, y Y 2. 代入原方程得
dY X Y , dX X Y
令u Y ， X
方程变为 u X du 1 u , 分离变量法得 dX 1 u
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
S 1 cm2 ,
h
dV 0.62 2ghdt, (1)
h
h dh r
设在微小的时间间隔 [t, t t], o
100 cm
水面的高度由h降至 h h, 则 dV r 2dh,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
0.62 2g 3
5
得通解代回
X Y
x h, y k，
(2) 0, 未必有解, 上述方法不能用.
当b1 0时, a1与b中必至少有一个为零.
若 b 0, 可分离变量的微分方程.
若 b 0,a1 0,
令 z ax by,
dy 1 ( dz a), dx b dx
1 ( dz a) f ( z c)
M M0et
衰变规律
例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律.
解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
Q dV 0.62 S 2gh , dt
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx 当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P( x) y
0.
(使用分离变量法)
例7
求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
. xy
解
dy dx
2y2 x2 xy
xy y2
2 1
y 2
x
y x
y
y
2
,
x x
令u y , 则 dy xdu udx, x
u
xu
2u2 1 u
u u2
,
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
x
),
ln y v( x) P( x)dx,
即 y e e v( x) P( x)dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比:C u( x)
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
作变换 y u( x)e P( x)dx
设M ( x, y)为上任一点， M
R
MT为切线, 斜率为 y,
o
MN为法线, 斜率为 1 , y
OMN NMR,
x N
L
tanOMN tanNMR,
yT
M
R
o
x
N
L
得微分方程
由夹 角正 切公 式得
tanOMN tanNMR
1 1 y
1 y
y x
y xy
yy2 2xy y 0, 即 y x ( x)2 1. yy
y x3
Q
两边求导得 y y 3x2 ,
y f (x) P
解此微分方程
o
xx
y y 3x2
y
e
dx
C
3
x
2e
dx
dx
Cex 3x2 6x 6,
由 y |x0 0, 得 C 6,
所求曲线为y 3(2ex x2 2x 2).
伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
解 令 x y u, dy du 1 代入原方程 dx dx
dy 1 u2 解得 arctanu x C, dx
代回 u x y,得 arctan( x y) x C,
原方程的通解为 y tan( x C) x.
三、一阶线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例10 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
典型例题
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2
xdx,
ln y x2 C1
y ce x2为所求通解.
例2 求方程 f ( xy) ydx g( xy)xdy 0 通解.
xdx
C
1 x
si
n
xdx
C
1 cos x C .
x
例11 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x).
解
x
f ( x)dx
( x3 y)2 ,
0
y
x ydx x3 y, 0
X 2(u2 2u 1) c, 即Y 2 2XY X 2 C, 将 X x 1,Y y 2 代回， 得原方程的通解 ( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C, 或 x2 2xy y2 2x 6 y C1.
利用变量代换求微分方程的解
例5 求 dy ( x y)2的通解. dx
一、可分离变量方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
通入含 0.03%的CO2的新鲜空气, 同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分
钟后, 车间内CO2的百分比降低到多少?
解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为 x(t )% 在[t, t dt]内,
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
二、齐次方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法 作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x du ,
dx
dx
代入原式
u x du f (u), dx
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
当
f (u) u