泊松分布及其应用研究

Prepared on 22 November 2020
湖南科技大学
信息与电气工程学院
《课程论文》
题目: 泊松分布及其应用研究
专业: 通信工程
班级：13级3班
姓名: 黄夏妮
学号:
目录
一、.................................................. 摘要1
二、........................................ 泊松分布的概念2
三、.............................. 计数过程为广义的泊松过程4
四、................................ 泊松分布及泊松分布增量5
五、........................................ 泊松分布的特征5
六、........................................ 泊松分布的应用6
七、..................................................... 基于MATLAB的泊松过程仿真.. (8)
12
八、参考文献
摘要
作为一种常见的离散型随机变量的分布，泊松分布日益显示其重要性，成为概率论中最重要的几个分布之一。

服从泊松分布的随机变量是常见的，它常与时间单位的计数过程相联系。

在现实生活中应用更为广泛，如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。

并且在某些函数关系起着一种重要作用。

例如线性的、指数的、三角函数的等等。

同样，在为观察现象构造确定性模型时，某些概率分布也经常出现。

泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型，它具有很多性质。

为此木文讲述了泊松分布的一些性质，并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。

二、泊松分布的概念：
定义1 设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,且
p{x = =0 为常数。

k\
则称X服从参数为入的泊松分布，记作X〜D (入)o
定义2设£是任意一个随机变量，称①(沪卅(®<t <乜)是£的特征函数。

主要结论：
定理1 如果X是一个具有以入为参数的泊松分布，贝ijE( X) = X且 D ( X)二入。

证明设X是一随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称它为X的方差，记作D( X)，即D(X) = E{[X-E(X)]2} o设X服从泊松分布D ( X)，即有：
cc «x ：女T
则E(X)=y- = ==2
hk\幺(—1*
□o 2 -x ik
从而紂=旷*亩社旷+若侖一 5
故D(X) = E( X2)-E( X)2=A2+2-A2=A
定理2 设随机变量x n(n = l,2,-•■)服从二项分布，其分布律为
P{x…= k}= C：洸Q-p)7= 0,1,2,…。

又设"“ =2 > 0是常数，则lim P{x n = k}=^e~A。

28 k\
证明由啊=几得：
显然，当k二0时，故P{ x n =k)->e A o当k 21且k —8时，有
定理3 设以是服从参数为X 的泊松分布的随机向量，则： 证明 己知成的特征函数为①/)="”),故〃=(畝-刀A/I 的特征函 数为：
对任意的t ，有孔1+治£+彳护F 。

但是e 专是N (0 ,1)分布的特征函数，由于分布函数列｛F”(x)｝弱收敛 于分布函数F( x)的充要条件是相应的特征函数列｛®n ( t) ｝收敛 于尸(x)的特征函数①(t)o 所以lim P
人一>00 成立;又因为血是可以任意选取的，这就
意味着
三、计数过程为广义的泊松过程
1. 计数过程
设为X T =｛N(t),teT = [0,oo))—随机过程，如果N(t)是取非负整 数值的随机变量,且满足s < t 时，N(s)M),则称
X T =｛N(t),teT = [0,oo)｝为计数过程。

将增量N(t)-N(t o ) = AN(t o ,t),O<t o vt,它表示时间间隔[t°,t)内出现 的质点数。

“在内出现k 个质点”，即｛N(t 0,t) = k ｝是一随机事 件,其概率记为PK (t°,t) = P ｛N(q,t) = k ｝,k = 0,l,2…总之,对某种随机事 件的来到数都可以得到一个计数过程，而同一时刻只能至多发生一个 来到的就是简单计数过程。

2. 泊松过程
计数过程｛N(t),t“｝称为强度为入的泊松过程，如果满足条件： 从而兰穴,
k\ 故 lim = k} = —e^' o —x k\ 于是2
（11 \ 用-1 -
= -— + 2 ・O
k / 2 1兄
丿
从而对任意的点列盘T8,有lim g A (t)=e 2 o
n （A -》s ） o < x = -
J — J * e 2 dt 恕P
(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性；
⑵ N(0) = 0;
⑶对于充分小的P1(t,t+At) = P{N(t,t+At) = l} = AAt + O(At),M中常数2>0,称为过程N⑴的强度。

(4)对于充分小的At
亦即对于充分小的A/,在(H + d)或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相对可以忽略不计。

了解泊松过程，就很容易去了解泊松分布的相关性质，其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔内出现质点数目的计数。

四、泊松分布及泊松分布增量
1.泊松分布产生的一般条件
在自然界和人们的现实生活中，经常要遇到在随机时刻岀现的某种事件，我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列，叫做随机事件流。

若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流(泊松流)。

例如一放射性源放射出的a粒子数；某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数；一台纺纱机的断头数;等这些事件都可以看作泊松流。

2.泊松分布及泊松分布增量的概率
(1)泊松分布的概率：
对泊松流，在任意时间间隔(0, t)内，事件出现的次数服从参数为X t的泊松分布，X称为泊松流的强度。

设随机变量X所有可能取的值为0, 1, 2,,且概率分布为：
P(X = k)=e^,k = 0,l,2…其中几＞0是常数，则称X服从参数为入的泊k\
松分布，记作X〜P (入)。

(2)泊过分布增量的概率：
由上式易知增量N(t0,t)=N(t)-N(t0)的概率分布是参数=2(t-t0)的泊松分布，且只与时间〜心有关。

3.泊松分布的期望和方差：
由泊松分布知EIN(t)-N(t0)] = D[N(t)-N(t0)] = A(t-t0)
特别地，令/0=0,由于假设N (0)二0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为：
泊松过程的强度入(常数)等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值。

即对泊松分布有:E(X)=D(X)=2
五、泊松分布的特征
(1)泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。

要观察到这类事件，样本含量n必须很大。

(2)兄是泊松分布所依赖的唯一参数。

几值愈小，分布愈偏倚，随着2 的增大，分布趋于对称。

(3)当几二20时分布泊松分布接近于正态分布；当几二50时，可以认为泊松分布呈正态分布。

在实际工作中，当2^20时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。

六、泊松分布的应用
1)二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件，即每次试验中事件出现的概率p很小,而贝努里试验的次数n很大时，事件发生的概率。

例1通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为p二，假设在某路段时间内有1000辆汽车通过此路口，试求在此时间内发生事故次数X的概率分布和发生2次以上事故的概率。

分析首先在某时间段内发生事故是属于稀有事件，观察通过路口的1000辆汽车发生事故与否，可视为是n = 1000次伯努里试验，出现事故的概率为P =,因此X是服从二项分布的，即X~B( 1000,0.0001)。

由于n二1000很大，且p =很小，上面的式子计算工作量很大,则可以用：
求近似.注意到np = 1000x0.0001=0.1,故有
p{ x > 2} = 1 - — e 0J - —e °1 = 0.0045 .
0! 1!
2)泊松分布可以计算大量试验中稀有事件岀现频数的概率。

这里的频数指在相同条件下，进行大量试验，在这大量试验中，稀有事件发生的次数。

例2已知患色盲者占％，试求：①为发现一例色盲者至少要检查25 人的概率；②为使发现色盲者的概率不小于，至少要对多少人的辨色力进行检查
分析设X表示恰好发现一例患色盲者所需要检查的人数，则
X ~ G(0.0025) o
x *-25
解p{x>25}=》p(l・p) = (1 -p)24 =(0.9975)24 q0.94
k=25
设至少对n个人的辨色能力进行检查，于是p{ xWn}2。

从而：
由l-(l-p)n^0.9,得心上(门- = 919.8827 .因此至少要检查920人。

lg 0.9975
七、基于MATLAB的泊松过程仿真
1、首先我们建立一个poisson函数，即：
function poisson(m)
%This function can help us to simulate poisson processes.
%If you give m a integer like 12 3 and so on , then you will get
%a figure to illustrate the m sample traces of the process. %
rand(5 state，, 0) ; %复位伪随机序列发生器为0状态
K=10; %设置计数值为10
%m=6; %设置样本个数
color二char ('上+‘，‘ b+‘，’ g+‘，’ m+‘，‘ y+',' c+') ; %不同的轨道釆用
不同的颜色表示
lambda二1; %设置到达速率为1
for n=l:m
u=rand(l, K) ; %产生服从均匀分布的序列
T二zeros (1, K+1) ; %长生K+1维随机时间全零向量
k二zeros (1, K+1) ; %产生K+1维随机变量全零向量
for j=l:K
k(j+l)二j；
T (j+1) =T (j)-log (u (j))/lambda; %计算到达时间
end
for i=l:K
plot([T(i) : :T(i+l)], [k(i) :k(i)], color(n, [1, 2])); hold on; end
end
2、下面我们在命令窗口键入以下命令：
clear；
poisson(l);
就可以得到一条样本轨道，如下所示：
键入poisson (2),得到的图如下:
8 -
7 •
6 -
6 -
4 -
仁
2 3 4 5 6 7 8 键入poisson (3),得到的图如下:
键入poisson (4),仿真结果:
键入poisson (5)，仿真结果:
0 6 8 10 12 14 16 18 键入poissonl (6),仿真结果:
2 - + -
1-!
I
八、参考文献
[1 ]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M ].高等教育出版社.
1983. 10.
[2 ]复旦大学编.概率论（第一册）.概率论基础[M ].人民教育出版社.1979.
[3 ]王梓坤.概率论基础及应用[M ].科学出版社1976. 9.
[4 ]潘孝瑞，邓集贤1概率引论及数理统计应用[M] 1北京：高等教育出版社，19861。