奖惩系统的数学建模与稳态分析

奖惩系统的数学建模与稳态分析

摘要奖惩系统（简称为BMS）是无赔款折扣系统（简称为NCD）的一个延伸，本文在最一般的框架下，先介绍NCD的基本原理，继而对NCD的拓展进行研究，以有限齐次马尔科夫链对奖惩系统建模，证明了任一奖惩系统皆存在唯一的平稳分布.

关键词奖惩系统；无赔款折扣系统；马尔科夫链；平稳分布

0.引言

汽车保险产生于19世纪末，经过100多年的发展，现如今已成为各国的财产保险中最重要的业务险种之一.我国作为世界上最大的汽车消费大国，汽车保险在非寿险领域中的重要地位是毋庸质疑的，而且在我国众多财产险公司中,汽车保险业务的保费收入往往占到公司总保费收入的70%以上，这意味着在汽车保险市场中，各家保险公司的竞争也将越来越激烈.因此，如何制定合理的且具有吸引力的费率结构已成为保险公司在市场竞争中生存的关键所在.

在国际上，厘定汽车保险保费系统的一般思路是：首先根据一些先验变量对所有投保人进行分类，使得分在同一类的投保人的风险大体上相同或相似，并令同一类的投保人缴纳相同的基础保险费.常用的先验变量有驾驶员的年龄、性别，汽车的类型、用途、行驶区域等.值得注意的是，不同的国家因社会、法律等方面的原因使用的先验变量也各有不同，比如在美国，保险人定价时使用的先验变量较多，甚至包括了驾驶员的抽烟习惯、汽车颜色等.但即便使用的先验变量再多，保险人对投保人进行的分类再细，保险人仍然不可能完全准确地预测每个投保人真实的风险水平，因为某些因素由于其很难被观测到或者是心理因素而不能被考虑到先验变量中去（如驾驶员的判断能力、反应敏捷性、超车欲望、对高速符号的了解等隐性因素）.而索赔记录是最能反映驾驶员真实风险的因素，这类信息在初次投保时往往不可能得到，考虑到汽车保险是一种可以年度续保的产品，那么保险人对某一保单定价时就可以根据投保人的以往索赔记录对其保费进行调整.对被保险人的续保保费进行调整的规则称为奖惩系统.

国际车险发展的历史也表明：奖惩系统对于每家保险公司车险年总保费收入和理赔支出都有决定性的作用，因而奖惩系统一直被作为一个重要的精算专题而研究，由此也可以看出研究奖惩系统是有现实意义的.

1.预备知识

1.1 基本概念

对奖惩系统进行研究时我们用到了一些知识，具体介绍如下.

1.1.1 奖惩系统的要素

①所有的保费等级；

②所有保费等级相对应的保费或者是关于初始等级保费的比率；

③被保险人的初始保费等级；

④保费等级的转移规则.

奖惩系统的原理见表 1-1.

表 1-1 汽车保险无赔款折扣系统原理

保费等级

保费比率 索赔次数0

索赔次数1

索赔次数2

索赔次数3+

1 0.7 1

2

3

4 2 0.8 1 3 4 4 3 0.9 2 4 4 4 4

1

3

4

4

4

资料来源：摘自中国平安财产保险股份有限公司机动车辆保险费率规章（2004版）

由表 1.1 得出，这个汽车保险奖惩系统具有 4 个保费等级，初级等级为等级 4.而保费比率 0.7 代表所处保费等级为 1 时，代表投保人只需缴纳初始保费的 70%即可.相应的保费等级转移规则为：若投保人在上一年索赔次数为 0，则该年需要缴纳的保费减少初始保费的 10%；反之，如果索赔次数不为 0，索赔次数每增加一次，该年需要缴纳的保费较上年增加初始保费的 10%乘以索赔次数；投保人每年所需缴纳的保费金额最少为初始保费的 70%，最大为初始保费的 100%.

1.1.2 索赔次数模型

对于索赔次数，有两种模型：

（1）个体保单的索赔次数模型：主要研究在某一保险时期内某一给定的保单发生k 次

)...,1,0(n k =索赔的概率.

（2）保单组合的索赔次数模型：主要研究在某一保险时期内保单组合中任意抽取的一份保单发生k 次)...,1,0(n k =索赔的概率.

在本论文中，将选用保单组合的索赔次数模型.

1.1.3奖惩系统的状态转移矩阵

所谓奖惩系统的状态转移矩阵，就是用来刻画奖惩系统从一个保费等级的分布状态转化到下一个保费等级的分布状态的工具.我们假设有 M 个保费等级，等级M i ,...,1=.我们定义

)(i j P ij ===当前保费等级次年保费等级

则矩阵M M ij P P ⨯=)(成为奖惩系统的状态转移矩阵.

表1.1的例子的状态转移矩阵为:

⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛-------=000

010********

10

0100101p p p p p p p p p p p p p p P

其中，i P 表示索赔次数为i 的概率.

假设该保单的索赔次数分布为泊松分布，则有

λ

λ-=

e i p i

i !

此时，i 成为了关于λ的函数，记为)(λP . 我们假设当系统达到稳定状态时的各保费等级的概率分布为)](),(),(),([)(4321λπλπλπλπλπ=.奖惩系统达到稳定状态需要满足两个条件：

（1）本年度各保费等级的概率分布乘以状态转移矩阵P 后，得到的各保费等级的概率分布不变.

（2）各保费等级的概率和为1，这是基本的概率分布的条件. 因此，如果有向量T

e ]1,1,1,1[=,其中，T 表示矩阵的转置，则有方程组：

⎩⎨

⎧==1)()()()(e P λπλπλλπ

1.1.4基本假设

为了更加方便地研究奖惩系统的严厉性，我们引入如下假设：

（1）投保人的索赔频率不随时间发生变化，且索赔次数服从参数为λ的泊松分布； （2）保单组合中没有新增保单，也不会有退保保单；

（3）在初次投保时，每份保单缴纳完全相同的基础保费.为了研究方便，假设基 础保费等于平均索赔频率和平均索赔额的乘积；

（4）索赔次数和索赔额相互独立；

（5）索赔频率和平均索赔额均与时间无关； （6）不考虑折现.

2.奖惩系统的数学模型

下面就来具体讨论BMS 的建模：

奖惩系统是在掌握了每个投保人的索赔记录后，用后验变量去调整保费的一种定价方法.这一方法主要应用在汽车保险的定价中，它对在上一保险年度有一次或一次以上索赔的投保人，将在新一保险年度中增收保费以示惩罚，而对没有索赔发生的投保人则降低其保费以资奖励.奖惩系统可视为无索赔折扣系统，即NCD 系统的一个扩展，一个最大的不同是它将NCD 系统中的折扣水平扩展到了负数，这样对投保人发生索赠的惩罚有可能变得很严厉.当折扣水平为负时，投保人将会支付多于(甚至有可能几倍于)全额保费的保费金额.构建奖惩系统的数学模型，可以应用马尔科夫链理论.本节将首先在最一般的框架下，借助齐次马尔科夫链对奖惩系统进行数学建模.它的建模应包括以下四方面的内容：

2.1奖惩类总数与各奖惩类的奖惩因子

假设BMS 共有1++m n 个奖惩类,其中有n 个奖励类,以n ,...,2,1表示；m 个惩罚类,以

m ---,...,2,1表示；1个为非奖惩类，以0表示.奖励类i 的奖励因子为i r ，惩罚类j -的惩罚因

子为j s ,另记非奖惩类的奖惩因子为000==s r .这些奖惩因子的大小关系排序如下: