概率论与数理统计论文

概率论与数理统计

数学期望在经济中的应用

班级：电子信息工程2班

小组成员：李建辉201208102069

刘廷201208102068

姚立志201208102045

刘卫超201208102057

李艳东201208102064

贾辉201208102081

指导教师: 边学军

时间：2013~2014第二学期

数学期望在经济中的应用

[摘要]

文章通过实例介绍了数学期望在减少工作量、选择最优存储量、选择最佳进货量、总利润最大问题等方面的应用，说明了数学期望在经济决策中的重要作用．[关键词] 数学期望经济决策应用

概率论是从数量上研究随机现象统计规律性的学科，而随机变量的分布函数能够全面地反映随机变量的统计规律性．但在诸多的经济管理或决策工作中，一方面由于求出随机变量的分布函数并非易事，而且对于某些实际问题来说，并不需要对随机变量进行全面的描写，只需知道能够反映随机变量的某些重要的数字特征即可．数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个重要的数字特征，它在经济决策工作中有着广泛的应用，为决策者做出最优决策提供重要的理论依据。在经济的宏观方面：投资，消费，出口是我们拉动经济的三架马车，而发展经济并不意味着盲目的发展，在做任何的决策之前都要经过仔细的研究，对于投资，无论是国家的还是个人的投资，都要以科学的方法进行投资。例如，对于一个公司的长期发展的稳定，已经回报率，都离不开数学中的期望值，与方差的计算。同样，对于消费，出口，当我们在处理经济中的问题时，都免不了计算自己的机会成本。投资是选择国债还是股票？消费时选择何种品牌的性价比最高？出口中同样的物品出口到那个国家才能达到利益的最大化？而解决心中的疑问是需要合理的数据支持。对于回报率的多少，依赖与期望值的大小，期望值越大回报率越高。在经济的微观方面：任何消费品都要经过以下四个基本环节：工厂，批发商，零售商，消费者。对于工厂，批发商，零售商与消费者做任何决策的时候都离不开期望值的计算。例如工厂选择生产什么样的商品和什么样的价位才能迎合和满足消费者的心理，批发商和零售商对于进什么货，价位的调整，做到这些市场分析才是在市场经济的大环境下取得胜利的基础。任何主观的行为，和缺乏市场调研的决策，都是有风险的。对于消费者来说，物美价廉的决策是需要精确的分析。选择什么样的商品与花费是否成正比才是关系到消费者切身的利益。综上所述，在经济发展中无论是国家拉动经济的三架马车还是在消费的基本环节都离不开科学的决策而科学的决策离不开科学的数据，而科学的数据离不开期望值计算

一、数学期望的来源

数学期望源于一个分赌本的问题。

17世纪中叶一位赌徒向法国数学家帕斯苦提出一个使他苦恼长久的分赌本的问题：甲乙两位赌徒相约，用掷硬币进行赌博，谁先赢三次就得全部赌本100法郎，当甲赢了两次，乙赢了一次的饿时候，双方都不愿意再赌下去了，那么赌本应该如何分呢? 帕斯卡提出如下算法：在甲赢两次乙只赢了一次的时候．最多只需要在玩两次就可以结束这次赌博，而再玩两次可能会出现四种结果。

其中前三种结果

1，2，3，只要有任意—个发生都能使甲得100 法郎，只有当4发生时．甲得O 法郎，乙得100法郎。由于这四种结果都是等可能的，故甲得100法郎的概率为3／4，乙得100法郎的概率为l/4。从而甲应期望得到100×(3／4)=75法郎。完整的说，甲应期望得到(甲有希望得到)：100×3／4+0 ×1／4=75(法郎) 这就是帕斯卡的答案。意思是：如果再进行这样的赌博多次，甲每次平均可以得到75法郎。

二、数学期望的概念

定义1（1）设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk}=pk，k=1,2,…，若级数绝对收敛，则称级数为离散型随机变量X的数学期望(或均值),记为EX,即。若级数发散,则称随机变量X的数学期望不存在；

（2）设连续型机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称其为连续型随机变量X的数学期望或均值,记为E(X),

定义2设Y为随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)，（1)X是离散型随机变量，分布律为P{X=xk}=pk，k=1,2,…,若级数绝对收敛，则有（2)X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x)。

三、数学期望的应用

1.进货问题

设某种商品每周的需求X是从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，经销商进货量为区间[10，30]中的某一整数，商店销售一单位商品可获利5000元，若供大于求，则削价处理，没处理一单位商品亏价100元，若供不应求，则可以外部调剂供应，此时一单位商品获利300元，为使商品所获利润期望不少于9280，试确定进货量。

2.保险公司获利问题

一年中一个家庭晚万元被盗的概率是0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交纳保险费100元，若一年内万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元(a>100)，试问a如何确定才能使保险公司获利？

解：只需考虑保险公司对任一参保家庭的获利情况，设X表示保险公司对任一参保家庭的收益，则X的取值为100或100-a，其分布为

3.选择最优存储量

例3一商场某种食品的进价为65元/千克, 零售价为70元/千克, 若卖不出去, 则削价20%处理, 如供应短缺, 有关部门每千克罚款10元。已知客户对该食品的需求量ζ服从[ 20000, 80000 ]上的均匀分布, 求该商场在春节期间对该食品的最优库存策略。

解：设库存量为y，则20000≤y≤80000，库存量为y时所得利润为

即库存量为57500千克时期望利润最大，且最大利润为81250.

4.选择最佳进货量

例4设市场对某商品的需求量X（单位：吨）是服从[2,4]上的均匀分布的随机变量，每销售一吨商品可赚3万元，但销售不出去每吨浪费1万元，问应组织多少货源才能取得最大收益？

5.总利润最大

例5.1 J.R.Ryland计算机公司正在考虑一项厂房扩建计划，以生产一种新的计算机产品。公司总裁必须决定扩建项目是中型还是大型的，但又无法确定对新